Matemática – Conjuntos. Relações e funções

Relação de um conjunto em outro.

Dados dois conjuntos $A =\{2; 5; 8\}$ e $B = \{1; 3; 6; 10\}$, denominamos Relação de ${r: A \to B}$ ao conjunto de pares ordenados $\{(x,y)| x\in A \land y\in B\}$. A relação é um sub-conjunto do produto cartesiano dos dois conjuntos.

Note que nem todos os elementos do conjunto $A$ fazem parte da relação com o conjunto $B$ e ao mesmo elemento de $A$ podem corresponder mais de um elemento do conjunto $B$.

${R_{1} = \{(2;1), (2;3), (8;6), (8;10)\}}$

Uma outra relação entre os mesmos conjuntos poderia ser:

$R_{2} = \{(2;1),(5;3), (5;6)\}$

O segundo elemento de cada par ordenado é denominado Imagem do primeiro. O conjunto $A$, dito conjunto de partida, habitualmente recebe a denominação Domínio da relação e o conjunto $B$, conjunto de chegada, é o Contra Domínio da relação. Podemos inverter a ordem dos conjuntos, passando o $A$ a ser contra domínio e o $B$ o Domínio. Os diagramas de Venn dos conjuntos Domínio e Contra Domínio, com as setas unindo os elementos do primeiro aos elementos do segundo recebe o nome Diagrama de Flechas.

Função

Uma relação de um conjunto $A$ em outro $B$, onde cada elemento do Domínio, tem uma e somente uma imagem no Contra Domínio, recebe o nome de função.

Nos diagramas de Venn da figura, a relação f não é função, pois há um elemento do conjunto $A$ sem a correspondente imagem no conjunto $B$.

A relação g não é função pois há um elemento do conjunto $A’$ ao qual correspondem duas imagens no conjunto $B’$.

A relação h é uma função pois a cada elemento do conjunto $A”$ corresponde uma e somente uma imagem no conjunto $B”$. Observe que o conjunto que contém os elementos imagens pode conter elementos que não são imagem de nenhum elemento de $A”$. Também vemos que um mesmo elemento pode ser imagem de mais de um elemento do conjunto domínio.

O primeiro conjunto, no caso $A”$, é o domínio da função. O conjunto $B”$ contém o conjunto imagem e recebe a denominação de contra domínio.

$D_{h} = A”= \{9,11, 13\}$

$CD_{h} = B”= \{12, 16, 17, 18\}$

$I_{h} = \{16, 18\}$

$I_{h} \subset B”$

$B” \supset I_{h}$

Classificação das funções

Função sobrejetora

Sobrejetora

É a função em que todos os elementos do Contra Domínio são imagem de pelo menos um elemento do Domínio, isto é, não sobram elementos no contra domínio.

Função injetora

Injetora

A função é injetora se cada elemento do Domínio tem uma imagem distinta no Contra domínio.

Função bijetora

Bijetora

É bijetora a função que preenche os requisitos de ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Em outras palavras não sobram elementos do Contra Domínio e nenhum elemento é imagem de dois ou mais elementos do Domínio.

No estudo das funções algébricas via de regra o Domínio e o Contra Domínio são o mesmo conjunto numérico.

Por exemplo:

$f: R\to R$

$f:N\to N$

$f:Z\to Z$

$f:Q\to Q$

Exercitemos um pouco.

01. Sendo $A = \{1,2\}$ e $B = \{1,3,4\}$, determine:

a) ${A X B} = \{(1,1); ( 1,3); (1,4); (2,1); (2,3); (2,4)\}$

b) A relação formada pelos pares ordenados em que o $1^{0}$ elemento é menor que o $2^{0}$ elemento:

$r_{1} = \{(1,3); (1,4); (2,3); (2,4)\}$

c)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ é maior que o ${2^{0}}$ elemento;

$r_{2} = \{(2,1)\}$

d)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ elemento é igual ao ${2^{0}}$ elemento;

$r_{3} = \{(1,1)\}$

e)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ elemento é o dobro do ${2^{0}}$ elemento.

$r_{4} = \{(2,1)\}$

f) A relação formada pelos pares ordenados em que o ${2^{0}}$ é o dobro do ${1^{0}}$ elemento;

${r_{5} = \{(2,4)\}}$

02. Qual é a relação formada pelos pares ordenados do produto cartesiano de $A =\{1,2,3\}$ por $B =\{2,4,5\}$, tal que o segundo elemento de cada par seja o dobro do primeiro elemento?

$r = \{(1,2); (2,4)\}$

03. Dados os conjuntos $A =\{1,3,5\}$ e $B = \{2,3\}$, determinemos:

a)${A X B} = \{(1,2); (1,3); (3,2); (3,3); (5,3); (5,3)\}$

b)${B X A} = \{(2,1); (2,3); (2,5); (3,1); (3,2); (3,5)\}$

c)${A^{2}} = {A X A}= \{(1,1); (1,3); (1,5); (3,1); (3,3); (3,5); (5,1); (5,3), (5,5)\}$

d)${B^{2}} = {B X B} =\{(2,2); (2,3); (3,2); (3,3)\}$

04. Dados os conjuntos $A = \{1,3,5,7\}$ e $B =\{3,9,15,20\}$, a relação $R: A\to B$ de modo que $(x,y)\in(AXB) | b = 3a$, será formada pelos pares ordenados $\{(1,3); (3,9), (5,15)\}$.

Relação de $A\to B$ representada em diagrama de Venn

Representando num diagrama de flechas, ficamos com:

05. Dados os conjuntos $A =\{1,2,3,4\}$ e $B = \{4,5,6,7\}$. A relação mostrada no Diagrama de flechas a seguir, define uma função $f: A\to B$ para a qual $(x,y)\in(AXB)| x\in A \land y\in B$.

Função ${f:A\to B}$

Nesta função temos:

  • Domínio: $D_{f} =\{1,2,3,4\}$
  • Contra domínio: $CD_{f} = \{4,5,6,7\}$
  • Imagem: $I_{f} = \{4,5,7\}$
  • $f:(1) = {(4)}$
  • $f:(2) = {(7)}$
  • $f:(3) = {(5)}$
  • $f:(4) = {(7)}$

Na expressão $f:(1) = {(4)}$, lê-se “função de 1 é igual a 4”. O 4 é imagem de 1.

Exercícios para resolver

01. Dados os conjuntos $A = \{3,5,7\}$ e $B = \{3,9,15,35\}$, determine os produtos cartesianos:

a) ${A X B}$; b) ${B X A}$; c) ${A^{2}}$; d) ${B^{2}}$

02. Dados os conjuntos $A = \{-2, -1, 0, 1\}$ e $B =\{0,1,2,3\}$,

determine:

a) a relação $R_{1} = \{(x,y) \in {A X B}| y = x^{2} -1\}$

b) a relação $R_{2} =\{(x,y)\in A^{2}| b = a^{2}\}$

c) a relação $R_{3} =\{(x,y)\in {B X A}| y = x^{2}\}$

d) determine o domínio e a imagem de cada relação.

03. Dados os conjuntos $A = \{3,5,7\}$ e $B = \{3,9,15,35\}$, determine:

a) a relação $R: A\to B$, de modo que $R = \{(x,y)\in (AXB)| \frac{y}{x}\in N\}$. Construa o diagrama de flechas da relação.

b) o domínio e a imagem de $R$

04. Dados os conjuntos $A = \{1,2,7,10\}$ e $B = \{2,5,33,50,101\}$

a) determine a relação $R_{1}: A\to B$, tal que $R_{1} = \{(x,y)\in(AXB)| x \land y \}$ são números primos. Faça o diagrama de flechas.

b) determine a relação $R_{2}: A\to B$, tal que $R_{2} =\{x,y)| y = x^{2} + 1\}$. Faça o diagrama de flechas.

c) a relação $R_{1}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.

d) a relação $R_{2}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.

05. Dados os conjuntos $A = \{3,8,15,24\}$ e $B = \{2,3,4,5\}$

a) determine a relação $R_{1}: A\to B$, tal que $R_{1} =\{(x,y)\in(| b = \sqrt{a + 1}\}$. Diagrama de flechas

b) determine a relação $R_{2}: B\to A$, tal que $R_{2}=\{(x,y)| y = x – 1\}$. Faça o diagrama de flechas.

c) A relação ${R_{1}}$ é uma função? Explique. Sendo função, determine a imagem da mesma.

d) A relação $R_{2}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.

06.  – Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas.

07. Observe o diagrama de flechas abaixo, onde temos o conjunto P formado pelos nomes dos planetas de nosso sistema solar e no conjunto E estrelas e constelações do Universo. O gráfico representa uma função ou é apenas uma relação? Se for função qual é sua classificação?

08. O diagrama de flechas a seguir representa os principais estados do Brasil no conjunto Domínio e os nomes de cidades brasileiras. Os estados estão ligados às suas respectivas capitais. O diagrama representa uma função ou não? Se for função, qual é sua classificação?

No próximo post daremos mais um passo no estudo das funções. Agora elas serão definidas por equações.

Curitiba, 24 de novembro de 2020

Décio Adams, IWA

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