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20 de junho de 201826 de maio de 2020

043.0 – Matemática, Álgebra – Produtos Notáveis – Quadrado da soma de dois números

O que é algo notável?

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Usamos o adjetivo notável, quando percebemos uma coisa extraordinária em alguma coisa, situação ou fato. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e com aplicações relevantes em algum momento futuro. Vejamos quais são esses casos e o que eles tem de tão diferente.

– Quadrado da soma de dois números.

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Nisso você tem toda razão. Por que então vamos dedicar tempo especial a esse assunto? Lembre-se que já estudamos álgebra, onde números são substituídos por letras ou mesmo outros símbolos. Se for esse o caso, ou houver letras e números, como fica o resultado? Vamos ver?

$\underbrace{ (a + b)} $

É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$\underbrace{( a + b)^2} $

Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo, sendo a o primeiro termo e b o segundo.

$\underbrace{(a + b)}\cdot{\underbrace{(a + b)}} $

Multiplicamos cada um dos termos do primeiro binômio, por cada um dos termos do segundo e ficará:

$\underbrace{ {a}\cdot {a}} +\underbrace{{a}\cdot{b}} +\underbrace {{b}\cdot {a} }+ \underbrace{{b}\cdot{b}}$

${ a^2 + \underbrace{ab + ba} + b^2} $

Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem. Aqui estamos vendo uma aplicação da propriedade vista quando estudamos as quatro operações, está lembrado?. Lá ela não parecia ter importância, mas aqui fica claro que para alguma coisa ela serve.

${ a^2 +\underbrace{ ab + ab} + b^2}$

O coeficiente numérico que não é escrito, sempre é igual a unidade (1). Então:

${a^2 +\underbrace{ 1\cdot {ab} + 1\cdot {ab}} + b^2}$

Fazemos a redução dos termos semelhantes (somando seus coeficientes numéricos) e fica:

${a^2 +\underbrace{(1 + 1)}\cdot {ab} + b^2}$

${ a^2 + 2ab + b^2}$

O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado, pouco importando ser somente de letras ou letras e números.

“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Se observar bem, verá que o primeiro termo da soma (a), aparece primeiro com o expoente 2, depois com o expoente 1 e por último com o expoente 0, o que o torna igual a 1 (unidade). Já o segundo termo tem os expoentes em ordem inversa: 0, 1 e por último 2.

Expoentes do a: 2>1>0

Expoentes do b: 0<1<2

Se a = 9 e b = 5, podemos substituir esses valores nas duas formas e efetuar as operações. Os resultados devem ser iguais. Vejamos:

$\underbrace{(a + b)^2}$

$\underbrace{(9 + 5)^2}$

$ 14^2 = 196 $

$ a^2 + 2ab + b^2$

$ 9^2 +\underbrace{ 2\cdot 9\cdot 5} + 5^2$

$ 81 +90 + 25 = 171 + 25 = 196 $

NOTA: Vemos que na substituição os resultados numéricos são os mesmos, o que valida a regra.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $\underbrace{(2x + y)^2}$

Primeiro termo é$ 2x$ o segundo termo é$ y$.

${ {(2x)}^2 + \underbrace{2\cdot 2\cdot{x}{y}} + y^2} $

${\underbrace{(2^2)\cdot (x^2)} +\underbrace{2\cdot 2\cdot{x}{y}} + (y^2)}$

$ {4x^2 + 4xy + y^2}$

b) $\underbrace{(3m + 5)^2}$

O primeiro termo é $3m$ e o segundo termo é $5$.

$ \underbrace{(3m)^2} +\underbrace{ 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5} + 5^2$

$ {9m^2 + 30m + 25 }$

c) $\underbrace{( 6 + 4xy)^2}$

O primeiro termo é $6$ e o segundo termo é $4xy$.

$6^2 +\underbrace{ 2\cdot 6\cdot {(4xy)}} +\underbrace {(4xy)^2} $

${36 + 48xy + 16x^{2}y^{2} }$

d) $\underbrace{( p + 3q)^2}$

Primeiro termo é $p$ o segundo termo é $3q$.

$ p^2 + \underbrace{2\cdot {p}\cdot{3q}} + {(3q)}^2 $

$ {p^2 + 6pq + 9q^2}$

Resolva, aplicando a regra vista, os quadrados da soma de dois números na lista a seguir.

a)${(3ax + 2by)}^2= ?$

b)${(7n + 3m)}^2= ?$

c)${(2 + 8mx)}^2= ?$

d)${(5a + 3b)}^2= ?$

e)${(11 + 5mn)}^2= ?$

f)${(4mx + 7n)}^2= ?$

g)${(6xy^2 + 2x^2y)}^2= ?$

h)${(9pq + 13)}^2= ?$

Curitiba, 09 de junho de 2018.

Décio Adams

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11 de janeiro de 20183 de julho de 2020

01.065 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (Cont. II)

Mais um pouco desse assunto.

No último post analisamos as inequações que têm apenas um valor que torna nula a expressão. Creio que nem é necessário falar daquelas em que as raízes não pertencem ao conjunto dos Reais. Vamos ver como ficam as incompletas, do tipo

\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ ax^2 + bx \not = 0}}\]
\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ ax^2 + c \not= 0}}\]

Para começar vamos estudar a inequação

\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ 2x^2 – 32 \lt 0}}\]. Não temos o termo com a variável $\color{Navy}{x}$ apresentando o expoente $\color{Navy}{1}$. Portanto podemos resolver a questão, pelo método abreviado.

Continue lendo “01.065 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (Cont. II)”

7 de janeiro de 20182 de julho de 2020

01.063 – Matemática, Álgebra. Inequações do 2º Grau.

Inequações do 2º Grau.

Agora complicou!

Bem, já sabemos o que é uma inequação, não é? Por que complicou?

É que agora as que antes eram equações, agora são inequações e o conjunto verdade é um pouco mais difícil de determinar, mesmo aplicando a $\color{Green}{ f \acute { o } rmula}$ $\color{Green}{de}$ $\color{Green}{ Bhaskara}$, pois os sinais variam dependendo das condições que a inequação apresenta.
A forma geral é semelhante àquela que vimos para as equações, apenas em lugar de uma igualdade, temos uma desigualdade, onde novamente iremos usar os símbolos $\color{Blue}{ \lt} $, $\color{Blue}{\gt}$, $\color{Blue}{\le}$, $\color{Blue}{\ge}$, principalmente, pelo menos no primeiro momento. Talvez você me pergunte, por que vamos estudar esse assunto? Isso é importante mesmo? Vou responder que é muito, mas muito importante mesmo. Só para adiantar alguma coisa, digo que chegará o momento de estudar as funções e estas serão representadas graficamente, num plano cartesiano, formando retas, parábolas, hipérboles, senoides, cossenoides e outras mais. Nesse momento o conhecimento do estudo dos sinais será muito importante e é o que iremos aprender aqui.

Continue lendo “01.063 – Matemática, Álgebra. Inequações do 2º Grau.”

7 de janeiro de 20181 de julho de 2020

01.061 – Matemática, Álgebra. Inequação do primeiro grau.

Inequação! Que é isso?

Lembremos que uma equação é uma igualdade, entre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:

“Menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\lt}} $
“maior do que” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\gt}} $
“menor ou igual a” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\le}} $
“maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{ \ge}} $
“Diferente” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\neq}} $
“Não menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\lt}} $
“Não maior do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\gt}} $
“Não menor ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\le}}$
“Não maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\not\ge}}$

Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x -3 \lt 0}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}}$
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
A determinação do conjunto verdade de uma inequação, é feita de modo semelhante ao procedimento adotado nas equações, com algumas peculiaridades próprias.

Vamos pegar como exemplo a primeira das quatro citadas acima:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x – 3\lt 0}}$.
O objetivo é obter uma desigualdade que indique onde estão localizados os valores que servem para substituir x nessa inequação. Temos então que deixar o x isolado no primeiro membro.
\[ 2x – 3 + 3 \lt 0 + 3 \] \[2x \lt 3 \] \[ {{2x}\over 2} \lt {3\over 2} \] \[ x \lt {3\over 2} \]
Isso nos mostra que todos os números reais, menores do que o número 3/2 servem para x, isto é, transformam a expressão em uma sentença verdadeira. Logo: \[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V =\left\{ x\in R | {x\lt {3\over 2}}\right\}}} \]
Representando o conjunto dos números reais na Reta Real, o conjunto verdade dessa inequação será formado por todos os números associados aos pontos dessa reta, à esquerda do ponto que corresponde ao número 3/2.

Rendered by QuickLaTeX.com

A vez da terceira:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}} $
Aplicando o mesmo procedimento, ficamos com:
\[ 8 – 8 – x \ge 5 – 8 \] \[ -x \ge -3 \]
Observe que o os dois membros da inequação são precedidos do sinal $-$, o que nos indica que para melhor interpretação, devemos multiplicar a expressão toda $-1$. Lembrando da reta numérica, vamos observar que a posição dos números negativos, fica invertida em relação ao zero$(0)$, isto é, quanto maior for o módulo, mais à esquerda ele se situa. A consequência disso é que, a multiplicação de uma inequação por $-1$, inverte o sentido da desigualdade, ou seja se era $\le$, passa para $\ge$ e vice-versa. Vamos ver como fica nosso exemplo.
\[ {(-x \ge – 3)}\cdot{(-1)} \] \[ x\le 3 \]
O conjunto verdade dessa inequação será pois:
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{x\in R|{x\le 3}\}}} \]
Neste caso o número $3$, faz parte do conjunto verdade. Ficam excluídos apenas os números à direita do $3$. Na Reta Real fica:

Rendered by QuickLaTeX.com

O último exemplo:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
Aplicando o raciocínio par isolar a variável, temos:
\[ 4 – 4 + x \le 2x – 4 \] \[ x – 2x \le 2x – 2x – 4 \] \[ -x \le -4 \]
Novamente é preciso multiplicar por $-1$, e inverter o sinal da desigualdade.
\[{(-x \le -4)}\cdot{(-1)} \] \[ x \ge 4 \]
O conjunto verdade será composto por todos os números reais, desde o $4$ inclusive, até infinito$\infty$.
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{x\in R|{x\ge 4}\}}} \]
Na Reta Real, teremos:

Rendered by QuickLaTeX.com

O final da resolução de qualquer inequação de primeiro grau será sempre a variável, seguida de um sinal de desigualdade e depois um número. Se a variável tiver sinal negativo, devemos multiplicar por $\color{Brown}{-1}$ e inverter o sinal da desigualdade. Isso não pode ser esquecido.

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.

$\color{navy}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}$
$\color{navy}{ 11 + 3x \gt – 8} $
$\color{navy}{ – 6 + 2x \ge 3x + 1}$
$\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x} $
$\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y} $
$\color{navy}{15 – 4x \lt 11 +x}$
$\color{navy}{ 6x + 5\gt 4x – 7}$
$\color{navy}{ 2 + 7x \ge 6x + 4} $

Curitiba, 21 de maio de 2016.

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Revisto e republicado)

Décio Adams

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27 de dezembro de 20171 de julho de 2020

01.057 – Matemática, Álgebra. Equações incompletas do 2ºGrau, exercícios resolvidos.

Resolvendo exercícios

Determine o conjunto verdade das equações incompletas do segundo grau que seguem.

a) $ 6x² = 0 $

Um produto é nulo se um dos fatores é nulo. No caso, temos dois fatores onde um é igual a seis (6) e o outro $ x^2$. O único fator que pode ser nulo é o segundo e portanto:

$ x^2 = 0 $

$ x = 0 $

$ V = \{0\} $

b) $ x² – 16 = 0 $

Podemos aplicar o método abreviado ou reduzido na resolução dessa equação. Assim:

$ x^2 – 16 = 0 $

${x^2 – 16 +16 = 0 + 16}$

$ x^2 = 16 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{16} $

$ x = \pm {4 } $

$ V = \{ – 4, + 4\} $

c) $ 5x² – 125 = 0 $

O mesmo caso do exercício anterior.

$ 5x^2 – 125 = 0 $

$ 5x^2 – 125 + 125 = 0 + 125 $

$ 5x^2 = 125 $

$ {{5x^2}\over 5} = {125\over {5}} $

$ x^2 = 25 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{25} $

$x = \pm 5 $

$ V = \{ -5, + 5\} $

d) $ 2x² + 10x = 0$

Esta é uma equação incompleta do tipo em que o termo independente c é nulo. O procedimento agora é diferente, como vimos na parte explicativa.

$ 2x^2 + 10x = 0 $

Entre os dois termos da equação existe um fator comum

$ 2x $

Vamos colocar em evidência esse fator comum, dividindo os dois membros por esse mesmo fator.

$ {2x} [{{2x^2 + 10x)}\over 2x}] = 0 $

$ 2x{(x + 5)} = 0 $

Para concluir, vamos igualar os dois fatores a zero e obter as duas raízes correspondentes.

$ 2x = 0 $

${2x\over 2} = {0\over 2}$

$ x = 0$

$ x + 5 = 0 $

$ x + 5 – 5 = 0 – 5 $

$ x = -5 $

$ V = \{-5, 0\} $

e) $ 7x² – 49x = 0$

O mesmo caso anterior. O fator comum entre os dois termos da equação é

$ 7x $

Colocando em evidência:

${7x}\cdot[{{7x^2 – 49x}\over 7x}] = 0 $

$ 7x[ x – 7] = 0 $

Igualando os dois fatores a zero temos:

$ 7x = 0 $

${7x\over 7} = {0\over 7}$

$ x = 0$

$ x – 7 = 0 $

$ x – 7 + 7 = 0 + 7 $

$ x = 7 $

$ V = \{0, 7\} $

f) $ x² + 4x = 0 $

Fator comum entre os dois termos $ x $. Colocando em evidência:

$ x\cdot[{{x^2 + 4x}\over x}] = 0 $

$ x\cdot [x + 4] = 0 $

Igualando os fatores à zero, teremos:

$ x = 0$

$ x + 4 = 0 $

$ x + 4 – 4 = 0 – 4$

$ x = -4$

$ V = \{-4, 0\} $

g) $ 3x² + 18x = 0$

Mais um do mesmo tipo. Fator comum é $ 3x $ Colocamos em evidência:

${3x}\cdot({{3x^2 + 18x}\over {3x}}) = 0 $

$ 3x\cdot({x + 6}) = 0 $

$ 3x = 0 $

$ x = 0 $

$ x + 6 = 0 $

$ x + 6 – 6 = 0 – 6$

$ x = -6 $

$V = \{-6, 0\} $

h) $ 2x² + 12 = 0$

Voltamos ao exemplo visto primeiro. Vamos resolver.

$2x^2 + 12 – 12 = 0 -12 $

$2x^2 = -12 $

${{2x^2}\over 2} = {-12\over 2} $

$ x^2 = -6 $

${ \sqrt[2]{x^2}} = {\sqrt[2]{-6}} $

$ {V = \emptyset} $

i) $ 10 x² – 90 = 0 $

Vamos resolver.

${ 10 x^2 – 90 + 90 = 0 + 90 }$

$ {10x^2 = 90 }$

$ {{10x^2}\over 10} = {{90}\over 10} $

${ x^2 = 9 }$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{9} }$

$ x = \pm 3 $

$ V = \{-3, +3\} $

j) $ {3x^2 = 0 }$

Outro exemplo da equação que só tem o termo em $x^2$. Um produto só pode ser nulo se um dos fatores for nulo. Nesse caso, o fator que pode ser nulo é $x^2$. Portanto:

$ x^2 = 0 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{0}$

$ x = 0 $

$V = \{0\}$

l) ${10x^2 – 15x = 0}$

Estamos novamente com uma equação incompleta, onde falta o termo independente da variável, isto é, onde $x^0$. Temos um fator comum entre os dois termos restantes que é $5x$. Colocamos em evidência o fator comum, ficando:

${5x}\cdot[{{10x^2 – 15x}\over{5x}}] = 0 $

${5x[2x – 3] = 0} $

Igualando os dois fatores a zero, temos:

${5x = 0}$

$ x = 0$

${2x – 3 = 0}$

${2x = 3}$

${{2x}\over{2}} = {{3}\over {2}}$

${ x = 3/2 }$

$ V = \{0, 3/2\}$

m) ${7x^2 – 28 = 0}$

Nesta equação o termo inexistente é o que contem a variável $x^1$. Vamos pelo método abreviado:

${7x^2 – 28 = 0}$

$ {{7x^2 – 28}\over 7} = 0$

$ x^2 – 4 = 0$

${ x^2 = 4}$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{4}}$

${ x = \pm{2}}$

$ { V = \{- 2, +2\}}$

n) ${3x^2 – 27 = 0 }$

O mesmo caso do anterior.

${3x^2 – 27} = 0$

${{3x^2 – 27}\over 3} = 0$

${x^2 – 9 = 0}$

${x^2 = 9}$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{9}}$

${ x = \pm 3}$

$ V = \{-3, +3\} $

o) $ {5x^2 + 25 = 0}$

Vamos ver como fica esse.

${5x^2 + 25 = 0}$

${{5x^2 + 25}\over 5} = 0$

$ {x^2 + 5 = 0} $

$ x^5 = -5 $

$ \sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{-5} $

$ \sqrt[2]{-5} ∉ R $

Por isso

${V = \emptyset }$

Curitiba, 13 de maio de 2016.

Republicado em 27 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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25 de dezembro de 20171 de julho de 2020

01.054 – Matemática, Álgebra, Equações incompletas do 2º Grau.

Incompletas?

Isso mesmo. Até o presente momento, vimos só as equações do segundo grau, ditas completas, isto é, contendo coeficientes numéricos diferentes de zero em todos os termos, na forma geral.

$$\color{NavyBlue}{ ax² + bx + c = 0 }$$

Mas há as equações do segundo grau que têm um dos coeficientes igual a zero (0), com exceção do a, pois nesse caso deixaria de ser do segundo grau, passando a ser uma equação do primeiro grau. Temos, pois, a possibilidade de uma equação com os coeficientes b ou c iguais a zero (0). Elas ficam com a forma:

$$\color{Orchid} {ax² + c = 0}$$

$$\color{Orchid} {ax² + bx = 0} $$

$$\color{Orchid} {ax² = 0} $$

Continue lendo “01.054 – Matemática, Álgebra, Equações incompletas do 2º Grau.”

22 de dezembro de 201730 de junho de 2020

01.051 – Matemática, Álgebra, Equação do segundo grau.

Equação do segundo grau

Vimos a equação do primeiro grau, onde a incógnita (variável), tem o expoente igual a unidade. Agora é a vez de termos uma igualdade algébrica, com uma incógnita e o expoente máximo é igual a 2. A forma algébrica dessa equação é formada por um trinômio, igualado a zero. Assim:

$$\color{NavyBlue}{ ax^2 + bx +c = 0} $$

As letras a, b e c, substituem as constantes, isto é, os coeficientes numéricos. Assim, temos um termo com expoente 2, um termo com expoente 1 e o terceiro termo, chamado de termo independente, pois não contém variável, onde consideramos o expoente da mesma igual a zero (0).

Um pouco de história.

A equação do segundo grau é conhecida, em sua forma primitiva há milhares de anos. Há notícias dela nos registros da época dos babilônios. Posteriormente vários matemáticos da Índia deixaram trabalhos relacionados com ela. Hoje usamos na resolução das equações do segundo grau uma fórmula, que leva o nome de um desses matemáticos. É conhecida como Fórmula de Bhaskara. Somos levados a acreditar que foi ele quem desenvolveu a fórmula, porém ela já existia. Ele apenas lhe deu a forma final, ou seja, ele a aprimorou, dando-lhe a forma aproximada do que usamos hoje. Foi no fim da Idade Média, começo do Renascimento que ela recebeu os retoques finais, ficando como é hoje. Vejamos o que é afinal essa fórmula.

$$\color{Sepia}{{x} = { – b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}\over2a}}$$

Na hora de determinar as soluções de qualquer equação do segundo grau, bastará usar esta fórmula e teremos como resultado dois valores, o que é uma característica dessas equações. O número de raízes (soluções) corresponde ao numeral indicativo do grau.

Mas cabe uma pergunta, que provavelmente, pelo menos alguns, estarão se fazendo nesse momento. Como se chega a essa fórmula, partindo da forma geral da equação? Será que alguém, em uma linda noite de luar, olhou para as estrelas e, num lampejo de clarevidência, teve uma iluminação, sentou-se e escreveu a fórmula? Isso seria uma linda fábula infantil, que, nos dias de hoje, até as crianças teriam dificuldade em aceitar. E logicamente não foi assim. Provavelmente o raciocínio foi sendo aperfeiçoado ao longo de gerações, até que se deparou finalmente com essa forma que usamos hoje, o que ocorreu depois da era renascentista.

Vamos ver como se pode mostrar que a fórmula é realmente a solução para as equações do segundo grau. É necessário usar alguns artifícios e aplicar o raciocínio algébrico, aritmético até chegar ao resultado final. Começamos por eliminar o termo independente no primeiro membro, pela adição de um termo (- c) aos dois membros da equação. Assim teremos:

$$\color{Sepia}{ax^2 + bx + c – c = -c }$$

$$\color{Sepia}{ax^2 + bx = -c }$$

Se multiplicarmos todos os termos da igualdade por um determinado valor, a igualdade permanece. Não podemos introduzir elementos estranhos na expressão e por isso vamos multiplicar tudo por $${4a}$$, o que nos leva à seguinte expressão.

$${(ax^2 + bx)}\cdot{(4a)} = {(-c)}\cdot{(4a)} $$

$${ 4a^2x^2 + 4abx} = -4ac $$

Observemos o primeiro membro da equação, nesse ponto. Podemos notar que está faltando apenas um termo $ b^2$ para resultar em um trinômio quadrado perfeito, isto é, o quadrado da soma de dois números. Então podemos chegar a isso, se adicionarmos esse termo aos dois membros da equação e teremos:

$${4a^2x^2 + 4abx + b^2} = {b^2 – 4ac}$$

Se o primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito, podemos substituí-lo pelo quadrado da soma correspondente. Basta extrairmos a raiz quadrada dos termos que são quadrados perfeitos e poderemos escrever:

$${4a^2x^2 + 4abx + b^2} = {(2ax + b)}^2 $$

Agora podemos substituir na equação do segundo grau o primeiro membro por esse quadrado da soma.

$${(2ax + b)}^2 = b^2 – 4ac $$ Na continuação, extraímos a raiz quadrada de ambos os membros, o que resulta assim:

$$\sqrt{{(2ax + b)}^2} = \sqrt{b^2 – 4ac} $$

Note que no primeiro membro, temos a raiz quadrada de um binômio elevado ao quadrado, o que nos permite cancelar o índice com o expoente, isto é, resta apenas o binômio, sem o expoente nem o radical. Fica assim:

$$ 2ax + b = \sqrt{b^2 – 4ac} $$

Se somarmos aos dois membros o simétrico do termo b, teremos:

$$ 2ax + b – b = -b\pm\sqrt{b^2 – 4ac} $$

$$ 2ax = – b\pm\sqrt{b^2 – 4ac} $$

Dividindo ambos os membros por (2a), estaremos terminando a demonstração.

$${2ax\over 2a} = {{-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}$$

$$\color{Orchid}{{x} ={{-b^+_-\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}}$$

E esta é a fórmula mostrada no começo, conhecida mundialmente como Fórmula de Bhaskara e usada em toda parte para solucionar inúmeros problemas envolvendo as equações do segundo grau.

Lembre-se do que falamos nos parágrafos anteriores. Essas equações têm duas soluções ou raízes. Como isso é obtido?

Olhando bem para a fórmula, vemos que o radical existente no segundo membro é precedido pelos sinais (+) e (-). Isso se deve ao fato de que um número elevado ao quadrado, sempre resulta em positivo. Consequentemente, para cada número positivo, existem duas raízes quadradas simétricas. Por exemplo: $\sqrt{ + 4} = \pm {2}$, pois tanto ${(+2)}^2 = + 4 $ quanto ${(-2)}^2 = +4$

Podemos então dizer que existem duas soluções ou raízes (x’ e x”) para a equação do segundo grau. Iremos obter essas soluções, da seguinte maneira:

$${x’} = {{-b +\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a} $$

$${x”} = {{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a} $$

Uma das soluções é obtida pela soma do resultado da raiz quadrada e a outra pela subtração. Isso traz algumas considerações que serão vistas mais adiante. Por enquanto, vejamos como se aplica essa fórmula na solução de uma equação do segundo grau.

Obs.:Essa demonstração não é cobrada em provas e concursos, salvo em se tratando de concurso para professores de matemática. Eu costumo mostrar para que o aluno saiba que ela não surgiu do nada. Existe todo um raciocínio que leva a esse resultado final. Mesmo não sendo exigida a memorização da demonstração, o fato de saber que ela existe e é obtida seguindo uma lógica, serve de estímulo ao entendimento e aplicação da mesma.

Seja a equação $$\color{Red}{x^2 + x – 6 = 0}$$

Começamos por identificar os coeficientes numéricos. Vamos comparar essa equação com a forma geral. Escrevendo lado à lado, temos:

$${ax^2 + bx + c = 0} $$

$${x^2 + x – 6 = 0}$$

Comparando as duas, vemos que o coeficiente ${a = 1} $ ${b = 1}$ ${c} = {-6} $. Substituindo na fórmula, teremos:

$${x} = {{-1 \pm\sqrt{1^2 – 4\cdot {1}\cdot{(-6)}}}\over {2\cdot{1}}} $$

$${x} = {{-1\pm\sqrt{1 + 24}}\over 2} $$

$${x} = {{-1\pm\sqrt{25}}\over 2}$$

$${x} = {{-1\pm5}\over 2} $$

Agora é a hora de separar para obter as duas raízes.

$${x’} = {{-1 + 5}\over 2} $$

$$ {x’} = {{4\over 2}}$$

$ x’ = 2 $

$${x”} = {{-1 – 5}\over 2}$$

$${x”} = {-6\over 2} $$

$ x” = -3$

Daí resulta que: \[\color{Blue}{V = \{ -3, 2\}}\]

A equação dada, torna-se uma expressão verdadeira se substituirmos o x por -3 ou por 2. Basta verificar.

$$\begin{align} {(-3)}^2 + (-3) – 6 = 9 – 3 – 6 &= 0\end{align}$$

$$\begin{align}{2^2 + 2 – 6} = 4 + 2 – 6 &= 0\end{align}$$

Agora é hora de praticar.

Determine os conjuntos verdade ou as soluções das equações do segundo grau a seguir.

a)$\color{Sepia}{x^2 -4x + 3 = 0}$

b)$\color{Sepia} {x^2 -2x – 15 = 0} $

c)$\color{Sepia} {x^2 + 2x -35 = 0}$

d)$\color{Sepia} {4x^2 -8x + 3 = 0}$

e)$\color{Sepia} {3x^+ 5x – 2 = 0} $

f)$\color{Sepia} {4x^2 + 4x – 15 = 0}$

g)$\color{Sepia}{x^2 + 3x – 40 = 0}$

Curitiba, 06 de maio de 2016. Republicado em 22 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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22 de dezembro de 201730 de junho de 2020

01.050 – Matemática, álgebra. Equações do primeiro grau, exercícios resolvidos e para resolver.

Exercícios de equações do primeiro grau

Vamos determinar o conjunto verdade das equações do primeiro grau a seguir.

a)\[\color{Sepia}{7 y – 2 = 26}\] \[{7 y – 2 + 2} = {26 + 2}\] \[{7y} = {28}\] \[{(7y)\over{7}} = {(28\over 7}\] \[y = 7 \]

\[\color{Orchid}{V =\{7\}}\]

b) \[\color{Sepia}{ 25 – 3x = 17 – 7}\] \[25 – 3x -25 = 10 – 25\] \[ -3x = -15\]\[{-3x\over-3}= {-15\over -3}\] \[x = 5\]

\[\color{Orchid}{ x =\{5\}}\]

c)$$\color{Sepia}{ 4x + 12 – x = 25 – 7 }$$

$ 4x – x + 12 – 12 = 18 – 12 $

$3x = 6 $

$ {3x\over 3} = {6\over 3}$

$ x = 2$

\[\color{Orchid}{V=\{2\}}\]

d)$$\color{Sepia}{ 6x – 9 = x + 26}$$

$ 6x – 9 + 9 -x = x – x + 26 + 9 $

$5x = 35 $

${5x\over 5} = {35\over 5} $

$ x = 7 $

\[\color{Orchid}{V =\{7\}}\]

e)$$\color{sepia}{{2\over 3}{x} +{ 5} = {44\over{ 4}}}$$

${2\over3}{x}+ (+ 5 – 5) = 11 – 5 $

${2\over 3}{x}\cdot 3 = 6\cdot 3 $

$ 2x = 18 $

${2x\over 2} = {18\over 2} $

$ x = 9 $

\[\color{Orchid}{V=\{ 9\}}\]

Resolvendo alguns problemas.

José vendeu em sua loja, no decorrer de um dia de semana, várias quantidades de uma mesma mercadoria. Dependendo das quantidades e disposição dos clientes, ele concedeu alguns descontos. Vendeu 3 unidades a um cliente, pelo valor de $R\$ 140,00$. Outro pagou por duas unidades $R\$ 100,00$ e um terceiro pagou por uma unidade $R\$ 60,00$. Qual foi o valor médio de venda de cada unidade?

Vamos representar por$ x $ o valor médio de venda de cada unidade. Podemos assim escrever uma pequena equação.

$\begin{align}{3x + 2x + x} = {140,00 + 100,00 + 60,00}\end{align} $

$\begin{align}{6x} = 300,00\end{align} $

$\begin{align}{6x\over 6} = {300,00\over 6}\end{align}$

$\begin{align} {x} = {50,00}\end{align}$

$$\color{Orchid}{V = R\$ 50,00}$$.

As seis unidades foram vendidas pelo preço médio de $\color{Indigo}{R\$ 50,00}$

2. Uma peça de tecido tem, ao todo, $40\,m$ de comprimento. Uma confecção usa esse tecido para fabricar conjuntos de moleton. Cada conjunto consome 2,5 m de tecido. Quantos conjuntos podem ser fabricados com 5 peças de tecido?

A nossa incógnita nesse problema é a quantidade de conjuntos e vamos representa-la pela letra $y$. O total de tecido obtemos multiplicando o comprimento de cada peça por $5$. Esse total é igual ao número de conjuntos pelo comprimento do tecido gasto na confecção de cada um. Assim:

$\begin{align}{2,5y} = 5\cdot 40\end{align}$

$\begin{align}{2,5y\over 2,5} = {200\over 2,5}\end{align} $

$\begin{align}{y} = {80}\end{align}$

\[\color{Orchid}{V = 80}\].

Podem ser fabricados 80 conjuntos com as 5 peças de tecido.

Alguns exercícios para treinar em seu caderno ou bloco de anotações.

a) Determine o conjunto verdade (solução) das equações do primeiro grau listadas a seguir.

I) $\color{Brown}{24 – 3x = x – 16}$

II)$\color{Brown}{{5\over3}x +{ 8\over6} = {12\over4}}$

III)$\color{Brown}{2x + 7 = 5x + 22}$

IV)$\color{Brown}{{4/3}x – 5/2 = 3x – 42}$

V)$\color{Brown}{81 – 5y = – 3y + 11}$

VI)$\color{Brown}{ – 64 + 2x – 7/2 = 9}$

VII)$\color{Brown}{ 18 + 5y – 9/5 = y -4}$

VIII)$\color{Brown}{ 3x + 25 = – x + 5}$

IX) $\color{Brown}{7x – 26 = 2x + 14}$

X) $\color{Brown}{ 243 – 9x = 27 – 3x}$

b)Resolva, usando equações do primeiro grau, os pequenos problemas propostos a seguir.

I) Dona Elisa resolveu dar uma volta no Shopping Center que havia nas redondezas. Enquanto ia vendo as vitrines, viu um par de sapatos que lhe agradou. Comprou um que lhe servia e na cor preferida por ${ R\$ 145,00}$. Na continuação do seu passeio encontrou também um cinto de que estava necessitada. O preço era de promoção e ela decidiu adquirir o cinto, que custou ${R\$ 45,00}$. Também comprou uma blusa para combinar com uma saia que ganhara de presente do amigo secreto por ocasião do Natal. O preço foi de ${R\$ 55,00}$. A fome bateu e foi até a praça de alimentação, onde comeu uma salada de frutas, junto com um copo de água de coco. Havia verificado que seu limite no cartão de crédito, ao sair de casa, era de ${R\$ 300,00}$. Depois de pagar as compras e o lanche, verificou que ainda lhe restavam ${R\$ 37,00}$ do limite. Qual foi o preço que pagou pela salada de frutas com o copo de água de côco?

II) Pedro foi ao centro da cidade a procura de brinquedos para comprar de presente de Natal para a família. Levava suas contas a sério e não poderia gastar mais do que ${R\$ 500,00}$ nas compras que iria fazer. A vida andava difícil. Começou comprando um par de sandálias para a esposa por ${R\$ 115,00}$, também um tênis para a filha por ${R\$ 83,00}$. Foi até a loja de brinquedos onde adquiriu um boneco dos power rangers para o filho caçula por ${R\$ 145,00}$. Faltava o presente para o filho mais velho, que queria um par de tênis de marca. vamos ajudar Pedro a saber de quanto pode dispor na compra do tênis para o filho, sem ultrapassar o valor inicialmente estabelecido como limite?

III)Joãozinho recebeu de sua mãe uma nota de ${R\$ 50,00}$, junto com um bilhete onde estavam anotadas as compras que deveria trazer da mercearia de seu José, onde fazia o abastecimento da família das pequenas compras do dia-a-dia. Ao chegar no estabelecimento, Joãozinho viu um doce de que gostava muito. Ficou pensando se daria uma sobrinha para comprar um daqueles doces que tanto gostava. No bilhete constavam: 1,0 kg de carne moída de primeira, 1,0 kg de tomate bem maduro, 0,5 kg de cebola, um pacote de 500 g de espaguetti para fazer uma macarronada, dois pés de alface, uma dúzia de ovos, dois litros de leite UHT integral. O menino foi juntando suas compras num pequeno carrinho. O açougueiro colocou um punhado de carne moída e pôs na balança. Na etiqueta do preço constava ${R\$ 22,50}$. Na balança das verduras alguns tomates totalizaram ${R\$ 5,80}$, as cebolas custaram ${R\$ 3,75}$; o pacote de espaguetti saiu por ${R\$ 4,25}$ e os dois litros de custaram ${R\$ 3,20}$ cada um. Os ovos ficaram por ${R\$3,85}$ e cada pé de alface não ficou por menos de ${R\$ 1,35}$. Ajude o Joãozinho a verificar se dá para comprar um daqueles doces, que custam ${R\$ 2,50}$ cada um? Será que vai dar?

Curitiba, 06 de maio de 2016. Melhorado e republicado em 22 de dezembro de 2017.

Décio Adams