Trapézio
É um quadrilátero que tem pelo menos dois lados paralelos, sendo os outros inclinados em relação a eles.
O perímetro é a soma dos quatro lados. Os lados paralelos são geralmente denominados bases, sendo um a base maior e o outro a base menor.
Há também os trapézios escalenos, onde os lados não paralelos não são congruentes e todos os seus ângulos são diferentes entre si.
Diagonais dos trapézios, como nos outros polígonos, unem dois vértices não consecutivos. No caso dos trapézios isósceles elas são congruentes.
Os ângulos adjacentes às bases são congruentes para cada uma das duas bases.
Área do trapézio
É sempre possível determinar uma base média, entre as bases maior e menor. Isso permite formar um retângulo cujo comprimento é a média das bases e o outro lado é a altura do trapézio. Assim:
$S_{t}= {{{B + b}\over2} \cdot h}$
A área do trapézio é igual à média das bases multiplicada pela altura.
- Um trapézio isósceles tem os lados paralelos medindo $B= 8,0 cm$ e o outro $b= 4,0 cm$. A altura do polígono é de $h=3,0 cm$. Determine a área deste trapézio.
$S_{t}= {{{B + b}\over2} \cdot h}$
$S_{t}={{{{8,0}+{4,0}}\over{2}}\cdot {3,0}}$
$S_{t}= {6,0}\cdot{3,0} = 18,0 cm²$
2. Um trapézio isósceles, mede em sua base maior $B = 30,0 cm$. Se os ângulos que os lados oblíquos formam com a base são de $\theta = 45º$, quanto medem os ângulos obtusos que eles formam com a base menor? Se a altura é $h=10,0 cm$, quanto medem os lados não paralelos e qual é a área do trapézio?
Os lados não paralelos são duas transversais que interceptam duas retas paralelas. Formam de cada lado um par de ângulos alternos internos. Estes são, como vimos no estudo desse assunto, ângulos suplementares. Portanto: Um trapézio isósceles, mede em sua base maior $B = 30,0 cm$. Se os ângulos que os lados oblíquos formam com a base são de $\theta = 45º$, quanto medem os ângulos obtusos que eles formam com a base menor. Se a altura é $h=10,0 cm$, quanto medem os lados não paralelos e qual é a área do trapézio?
Os lados não paralelos são duas transversais que interceptam duas retas paralelas. Formam de cada lado um par de ângulos alternos internos. Estes são, como vimos no estudo desse assunto, ângulos suplementares. Portanto:
$â + 45º = 180º$ $\Leftrightarrow$$â = 180º – 45º$
$â = 135º$
$\overline{MP} = c$
A base da altura do trapézio determina um cateto do triângulo retângulo. Como a altura é o outro cateto, temos que os dois tem a mesma medida.
$c² = h² + b²$$\Leftrightarrow$$ c² = {10,0}² + {10,0}²$
$c² = 100,0 + 100,0$$\Leftrightarrow$$c = \sqrt{200}$
$c = 10\sqrt{2}cm$
Área: $S= {{30,0 + 10,0}\over2}\cdot 10$
$S = {40,0\over2}\cdot 10$$\Leftrightarrow$$ S = 200,0 cm²$
3. Dada a figura poligonal a seguir:
Sendo a área do triângulo $\Delta{(AEDA)}$ igual a $S=800,0cm²$ e é de $3\over 5$ a razão entre as áreas dos triângulos $\Delta{(AMEA)}$ e $\Delta{((DMED)}$ determine:
a)primeiramente a altura $\overline{ME}$ do triângulo;
$S_{\Delta} = {{b\cdot h}\over2}$$\Leftrightarrow$$800,0 = {{80\cdot h}\over2}$
${{{800,0}\cdot{2}}\over{80,0}} = h$$\Leftrightarrow$$ h = 20,0 cm$
b)conhecendo o segmento $\overline{ME}$, podemos determinar o segmento $\overline{EN}$;
$\overline{MN} – \overline{ME} = \overline{EN}$$\Leftrightarrow$$50,0 – 20,0 = \overline{EN}$
$\overline{EN} = 30,0 cm$
c)determine a área do retângulo $S_{ret}{(ABCDA)}$ e depois subtraia dessa área a do triângulo.
$S_{ret} = l\cdot c$$\Leftrightarrow$$S_{ret}= {50,0}\cdot{80,0}$
$S_{ret}= 4000,0 cm^2$
$S = S_{ret} – S_{\Delta}$$\Leftrightarrow$$ S = 4000,0 – 800,0$
$S = 3200,0 cm^2
d)determine os segmentos $\overline{AM} = m$ e $\overline{MD} = n$ que são as alturas dos trapézios ${(ABNEA)}$ e ${(BCNEB)}$.
$S_{\Delta_{1}} = {{m\cdot 20}\over 2}$
$S_{\Delta_{2}} = {{n\cdot20}\over 2}$
${ S_{\Delta_{1}}\over S_{\Delta_{2}}} = {{{{m\cdot 20}\over 2}}\over{{n\cdot20}\over 2}} = {3\over5}$
${ S_{\Delta_{1}}\over S_{\Delta_{2}}} = {{{{m\cdot 20}\over 2}} \cdot{{2\over{n\cdot20}}}} = {3\over 5}$
Simplificando os fatores comuns
${ S_{\Delta_{1}}\over S_{\Delta_{2}}} = {m\over n} = {3\over 5}$
$m = {{3\cdot n}\over5}$ (I)
$m + n = 80$$\Leftrightarrow$$m = 80 – n$ (II)
Substituindo (I) em (II);
$80 – n = {3n\over5}$$\Leftrightarrow$$ 5\cdot{(80 – n)} = 3n$
$400 – 5n = 3n$$\Leftrightarrow$$800 = 3n + 5n$
$8n = 400$$\Leftrightarrow$$n = {400\over8} = 50,0cm$ (III)
Substituindo (III) em (II)
$m = 80 – 50 = 30,0\,cm$
Área do trapézio $S = {{B + b}\over2}\cdot h$
$S_{1} = {{50,0 + 30,0}\over2}\cdot 30$$\Leftrightarrow$$S = 1200,0\, cm^2$
$S_{2}= {{50 + 30}\over 2}\cdot 50$$\Leftrightarrow$$S_{2}= 2000,0\, cm^2$
$S_{1} + S_{2} = 2000,0 + 1200,0 = 3200,0\, cm^2$
Exercícios para resolver
01. Calcule a área de um trapézio de altura 5 cm e bases de 8 cm e 3 cm.
02. Determine a medida da base menor de um trapézio de 100 cm2 de área, 10 cm de altura e base maior de 15 cm.
03. Qual a altura de um trapézio com área de 50 cm2, base maior de 6 cm e menor de 4 cm?
04. Calcule a área de um trapézio de bases medindo 10 cm e 5 cm e altura 6 cm.
05. Determine a medida da base maior de um trapézio com 150 cm2 de área, 10 cm de altura e base menor medindo 12 cm.
06. Num trapézio de 8,0 cm de altura, a base maior é o dobro da base menor. Determine a medida dessas bases sabendo que a área desse trapézio é 180 cm^2.
07. Determine a altura de um trapézio de $45,0\, cm^2$ de área, base maior medindo 11.0 cm e base menor com 7,0 cm de comprimento.
08. Calcule a área colorida em azul da figura abaixo, usando as áreas do retângulo e do trapézio.
09. Analise a figura poligonal e divida-a em partes das quais seja possível calcular a área e obter o total da área da figura.
10. A figura é composta por dois polígonos. Determine as suas áreas e a área total da figura.
Havendo dúvidas, recorra por meio de um dos canais abaixo para esclarecer. Não tenha acanhamento.
Curitiba, 06 de novembro de 2019.
Décio Adams
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