Triângulo retângulo
Como mencionei no final do post anterior, vamos dedicar esse especialmente ao estudo do triângulo retângulo.
Triângulo retângulo pitagórico
Já no tempo a.C., o matemático e filósofo grego Pitágoras, estabeleceu uma relação importante entre os lados de um triângulo retângulo. Analisando detidamente os lados desse polígono, descobriu que, se construirmos um quadrado com as medidas dos respectivos lados do triângulo, os dois quadrados correspondentes aos catetos, somados tem a mesma área do quadrado que corresponde à hipotenusa.
Essa conclusão é denominada de Teorema de Pitágoras. Seu enunciado ficou assim estabelecido:
“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
${{a^2} = {b^2} + {c^2}}$
Nem todos os triângulos retângulos têm os lados na exata medida para resultarem em três números inteiros. Na verdade a imensa maioria deles resulta em lados com aproximação decimal. Aqueles que têm os lados na exata medida, são denominados Triângulos Pitagóricos.
Vamos tomar dois exemplos e mostrar como funciona.
- Determinar a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem respectivamente 6,0 cm e 8,0 cm.
${b = 6,0 cm}$ e ${c = 8,0 cm}$
${{a^2} = {b^2} + {c^2}}$ $\Leftrightarrow$ $a^2 = {(6,0)}² + {(8,0)}² $
$a² = 36,0 + 64,0$ $\Leftrightarrow$ $ a = \sqrt{100,0} = 10,0 cm$
Esse é mais um exemplo de triângulo pitagórico.
2. Determinar o outro cateto do triângulo, que tem por hipotenusa um segmento de 8,0 cm e um dos catetos mede 5,0 cm.
$a = 8,0 cm$
$b = 5,0 cm$
$a² = b² +c²$ $\Leftrightarrow$ $(8,0)² = (5,0)² + c²$
$64,0 = 25,0 + c²$ $\Leftrightarrow$ $c² = 64,0 – 25,0$
$\sqrt{c²} = \sqrt{39,0}$ $\Leftrightarrow$ $c \simeq 6,245$
Este já não é triângulo pitagórico, embora o teorema se aplique também nele.
3. Vamos determinar a altura do triângulo da figura, em relação ao lado maior $a = 7,0 m$, sendo os dois outros lados respectivamente $b = 5,0 m$ e $c =3,0m$.
Vamos traçar pelo vértice $\hat{A}$, a altura em relação ao lado $a$.
Temos agora os triângulos retângulos $\Delta{ABMA}$ e $\Delta{ACMA}$.
No primeiro:
$c $ $\Rightarrow$ hipotenusa
$m ; h$ $\Rightarrow$ catetos
$c² = h² + m² $ $\Leftrightarrow$ $h² = c² – m²$ (I)
No segundo
$b$ $\Rightarrow$ hipotenusa
$n; h$$\Rightarrow$ catetos
$b² = h² + n²$ $\Leftrightarrow$ $h² = b² – n²$ (II)
Igualando as expressões (I) e (II), teremos:
$ c² – m² = b² – n²$ (III)
Na figura temos que: $m + n = a$ $\Leftrightarrow$$m = a – n$ (IV)
Substituindo (IV) em (III): $c² – {(a – n)}² = b² – n²$
$c² -(a² – 2an + n²) = b² – n²$ $\Leftrightarrow$ $c² – b² = a² – 2an + n² – n²$
$(3,0)² – (5,0)² = (7,0)² – 2\cdot{7,0}\cdot{n}$
$9,0 – 25,0 = 49,0 – 14,0 n$ $\Leftrightarrow$ $14,0n = 40,0 + 25,0$
$n = {{65,0}\over{14}}$$\Leftrightarrow$ $ n = 4,64 m$
$h²= b² – n²$ $\Leftrightarrow$ $ h² = (5,0)² – (4,64)²$
$h² = 25,0 – 21,53$ $\Leftrightarrow$ $ h = \sqrt{3,47} \simeq 1,86 m$
4. Determine a altura de um triângulo equilátero cujos lados medem 5,0 m cada.
Sabemos que os lados medem $ 5,0 m$. A altura divide o lado oposto ao vértice $\hat{A}$ em duas metades, de modo que os dois triângulos resultantes são congruentes.
$a = 5,0 m$; $b = 5,0 m$ e $c = 5,0 m$
Aplicando o Teorema de Pitágoras a um dos triângulos retângulos, teremos:
$b² = h² + {\left(a\over 2\right)}²$ $\Leftrightarrow$ $(5,0)² = h² + {\left(5\over 2\right)}²$ $\Leftrightarrow$ $h² = 25,0 – {{25}\over{4}}$
$\sqrt{h²} = \sqrt{(25,0 – 6,25)}$ $\Leftrightarrow$ $ h = \sqrt{18,75} = 4,33 m$
Demonstramos que a medida aproximada da altura do triângulo equilátero é $h\simeq 4,33 m$.
Hora de se virar sozinho
- Um triângulo isósceles têm os lados congruentes medindo 8,0 cm e o lado oposto ao ângulo formado pelos primeiros, mede 6,0 cm. Determine a altura desse triângulo em relação ao lado menor.
- Um triângulo retângulo tem a hipotenusa medindo 13,0 cm e um dos catetos mede 5,0 cm. Determine a medida do outro cateto e também a altura em relação à hipotenusa.
- Um triângulo equilátero obtuso, mede 10,0 cm na sua base e a altura até seu vértice é de 5,0 cm. Determine a medida dos dois lados congruentes.
- Um triângulo escaleno tem os lados com as medidas $a = 7,0 cm$, $b = 9,0 cm$ e $c= 12,0 cm$. Determine a altura em relação ao lado maior e as medidas dos segmentos que ela determina sobre este lado $c$.
- Se a altura de um triângulo retângulo, em relação à hipotenusa mede $h = 9,0 cm$ e um dos catetos mede $b = 12,0 cm$, determine o outro cateto $c$, a hipotenusa e os dois segmentos em que a hipotenusa fica dividida.
- Sendo a base de um triângulo isósceles $a = 18,0 cm$, e a altura medindo $h = 24,0cm$, pede-se determinar os dois lados congruentes.
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Curitiba, 26 de outubro de 2019
Décio Adams
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