Algarismos podem perder o significado?
Tenho quase certeza de que, ao ler esse título, muitas pessoas ficarão perplexas, talvez chocadas. Como pode um algarismo perder o significado? O significado não é sempre o mesmo?
É importante não confundir o significado com o valor. O valor representado pelo algarismo depende dele mesmo e da posição que ocupa dentro do número. O significado depende da possibilidade de podermos medir o valor que ele representa.
Quando se aprende a usar as unidades empregadas na medição das grandezas com que iremos lidar no dia a dia, vemos que ela tem múltiplos e submúltiplos. Estes servem para exprimir medidas com frações da unidade e também com grande número delas. É por aí que começa a questão dos algarismos significativos.
Tomemos por exemplo a unidade de comprimento metro (m). Nas atividades diárias, a maioria das pessoas que empregam essa unidade no seu trabalho, se atém à sua subdivisão em decímetros (dm), centímetros (cm) e milímetros (mm). Um carpinteiro, por exemplo, precisa cortar uma peça de madeira com comprimento de 2 m, 3 dm, 5 cm e 8 mm. Ele pegará seu instrumento de medir (metro ou uma trena), contará as partes e no final cortará a peça de madeira. Se nada houver de errado, ela deverá servir exatamente para a finalidade com que foi cortada. Como nós iríamos escrever o comprimento dessa peça de madeira?
Irá depender da unidade em que queremos exprimir a medida. Poderemos ter o resultado em m, dm, cm ou mm. A diferença estará meramente na colocação da vírgula. Assim poderemos escrever:
- $\color{NavyBlue}{7,358 m}$
- $\color{NavyBlue}{73,58 dm}$
- $\color{NavyBlue}{735,8 cm}$
- $\color{NavyBlue}{7358 mm}$
Se alguém resolvesse escrever essa medida, colocando um ou dois algarismos ${0}$ após o último algarismo, qual seria a mudança produzida? Outro poderia medir a mesma peça e dizer que ela não tem essa medida, mas $\color{NavyBlue}{7,35867 m}$. Há alguma razão para acreditar que essa outra expressão está mais correta do que qualquer uma das anteriores?
Parece ridículo alguém acrescentar ${0}$ em qualquer quantidade no final do número, depois da vírgula, sem motivo algum, assim como alguém se arrogar a capacidade de estimar um, dois ou mais algarismos, além daqueles que podem ser obtidos com as subdivisões do instrumento usado no processo de medição. Portanto estamos diante da questão. Até onde os algarismos de um número, exprimindo uma medida, são significativos? Só tem significado escrever os algarismos que podemos ler diretamente no instrumento de medida, sendo, em geral, admitida a estimativa de um algarismo após isso.
O que nos permitiria, no exemplo usado da peça de madeira cortada pelo carpinteiro, escrever a medida dessa forma:
- $\color{Brown}{7,3580\, m = 73,580\, dm = 735,80\, cm = 7358,0\, mm}$
O último algarismo, sendo feito por estimativa do executor da medição, dependerá da acuidade visual deste. Se vários fizerem a medição, poderão aparecer diferenças nesse último algarismo, o que não significa de maneira alguma que uma delas esteja mais ou menos correta do que as outras.
Vejamos uma situação comum que sempre está presente em muitos momentos da nossa vida. Estou falando da velocidade da luz: 299 792 458\, m/s. Este valor é obtido por intermédio de experiências realizadas em laboratórios de física, de bastante complexidade, tendo em vista a precisão do resultado. Corresponde à distância que um pulso de luz percorre no espaço, no tempo de um segundo. Poderíamos então perguntar: Alguém conseguiu medir isso com exatidão, usando um instrumento de medição? A resposta seria invariavelmente: Não! Não existem instrumentos capazes de tamanha precisão, sem contar que seria necessário colocar uma pessoa ou um veículo espacial estacionário naquela posição exatamente, o que por si é um desafio gigantesco.
Qual é o valor que habitualmente usamos no dia a dia, quando falamos de distâncias percorridas pela luz em um segundo?
Invariavelmente usamos o valor: $\color{BavyBlue}{c = {3,0}\cdot{10}^{6} m\cdot{s}^{-1}}$ ou$\color{NavyBlue}{ 3,0}\cdot{10}^{3}\, km\cdot{s}^{-1}$.
Mas isso não introduz um erro grande no resultado?
Essa pergunta é bem lógica. Mas basta calcular a porcentagem do erro que iremos cometer. Vejamos o erro absoluto:
- $\color{NavyBlue}{300.000.000 – 299.792.458 = 201.542 m{s}^{-1} }$
- $\color{NavyBlue}{{201.542 m\cdot{{s}^{-1}}}\over{300.000.000m\cdot{{s}^{-1}}}} = {0,000671}$
- Um erro menor do que sete milésimos de por cento. Dificilmente teríamos a possibilidade de realizar qualquer medição com tal precisão por mais precisos que fossem nossos instrumentos de medição. Portanto, no nosso uso cotidiano, a velocidade da luz pode ser considerada realmente igual ao valor acima mostrado $\color{NavyBlue}{{3,0}\cdot{10}^{6}m{s}^{-1}}$. Os erros que estaremos cometendo, dificilmente poderão ser detectados por qualquer instrumento de medição disponível habitualmente.
- Quando se trata de equipamentos eletrônicos de localização, obtemos níveis de precisão bem mais acentuados. Por exemplo um aparelho de GPS, fornece uma margem de erro menor do que 5,0\, m na localização de um ponto. Significativamente menor do que o habitual. Em um sistema de navegação espacial, sempre existe necessidade de verificação da rota ou da direção seguida. Constatada alguma divergência, mecanismos de correção de rumo são acionados, redirecionando o voo da nave.
Estamos pois com a questão resolvida. De que dependem os algarismos significativos de uma medida? Podemos afirmar, sem dúvida, que é do grau de precisão do instrumento utilizado. Voltando ao exemplo do nosso carpinteiro. Se ele estivesse fazendo um traballho mais minucioso, onde a necessidade de precisão fosse maior, o que ele deveria fazer? Seria obrigado a usar um instrumento de medição mais preciso, como um paquímetro por exemplo. Estes estão disponíveis no mercado, com vários graus de precisão. O mínimo é de 0,1 mm (um décimo de milimetro), há os que apresentam precisão de 0,02 mm (dois centésimos de milimetro), 0,01 mm (um centésimo de milimetro) ou mesmo 0,005mm (cinco milésimos de milímetro). Em cada caso teríamos um nível de precisão diferente e os algarismos significativos seriam em número diferente. Notamos que tudo isso depende da situação que estamos enfrentando. Apenas para completar, podemos citar ainda o uso do micrômetro, onde podemos obter índices de presisão mais apurados. Geralmente são empregados em situações de ajustes de peças metálicas, que são trabalhadas em tornos, fresas e outras máquinas de usinagem. Essas peças precisam funcionar sem folga, para maior eficiência e durabilidade das máquinas em que são empregadas.
Nota.: Os instrumentos para medidas de precisão, trazem sempre indicado o seu grau de precisão no corpo do mesmo, facilitando a leitura das medidas. Basta que o usuário saiba manejar o aparelho e fazer as leituras corretamente.
- Vamos analisar a precisão e em consequência a expressão das medidas em algarismos significativos, para alguns instrumentos.
- Balança de braço. Embora nos dias atuais seja pouco utilizada, ela foi, durante muito tempo, o instrumento fundamental em açougues, mercearias, padarias, frutarias e um sem número de estabelecimentos. Ela poderia apresentar variados graus de precisão, conforme a necessidade do negócio. Para vender carne, basta que ela tenha precisão de ${1,0g}$, ou seja ${0,001kg}$. Ninguém irá querer saber se a carne comprada tem alguns dg, cg ou mg a mais ou a menos. Já em uma joalheria, o ouro, a prata, os diamantes e demais pedras preciosas, exigem que se saibam o valor da massa em décimos, centésimos ou mesmo milésimos de grama. O que requer uma balança, de menor dimensão, mas com muito mais precisão. Vejamos uns exemplos:
No exemplo dessa balança eletrônica pode-se escrever os valores que ela fornece com quatro algarismos significativos após a vírgula do ${Kg}$.
Na sequência de imagens acima, vemos a mesma balança eletrônica que oferece graduação em grama (g) e também em onças (Oz), que é uma unidade antiga, usada antes do estabelecimento do sistema métrico e posteriormente do SI.
Na graduação em grama (g), não há fração e os algarismos significativos são indicados com essa precisão. Na escala em onças (Oz), há uma casa decimal, sendo essa a limitação dos algarismos significativos nessa escala. Pela comparação dos valores, podemos perceber que a equivalência entre as duas unidades é:
$${\frac{831 g}{29,3 Oz}}\simeq { 28,36 g/Oz}$$
O paquímetro da figura nos permite medir até a precisão de ${0,01 mm}$, sendo o último algarismo feito por estimativa. Qualquer medida efetuada com esse instrumento, tem seu último algarismo significativo na casa decimal dos centésimos de mm. Qualquer algarismo que seja acrescentado depois disso, carece de significado, pois sua obtenção é inviável com o instrumento de medição disponível.
Este micrômetro tem em seu corpo a indicação de que sua precisão é de ${0,01 mm}$, mas é possível obter a leitura do último algarismo na escala auxiliar que fica colocada na circunferência da parte móvel que gira em torno do parafuso micrométrico.
Há micrômetros de formas variadas, com alcances variados de abertura, dependendo de sua aplicação. A precisão também pode ser mais aproximada, permitindo leitura de até milésimos (0,001 mm).
Isso nos mostra que o número que exprime uma medida qualquer, tem sua forma de escrever ligada ao fator de precisão do instrumento de medição utilizado.
O surgimento da eletrônica e principalmente da micro-eletrônica, obrigaram os pesquisadores e as indústrias a aliar esforços no sentido de obter meios de medir com mais precisão. Há situações em que é necessário poder determinar dimensões da ordem do diâmetro de um átomo aproximadamente. Isso evidentemente envolve sistemas altamente sofisticados de medição.
Dos exemplos descritos acima e das situações expostas, ilustradas com fotografias, vemos que não devemos escrever o valor de uma medida, especialmente se calculada com uma calculadora por meio de qualquer uma das operações, com todas os algarismos decimais, especialmente os situados após a vírgula. Devemos verificar se o instrumento usado permite fazer leituras equivalentes. Os algarismos que ultrapassam o grau de precisão do instrumento, são desprezados, recorrendo-se aos critérios de arredondamento no último algarismo que permanece. Em geral, se o primeiro desprezado é ${\ge 5}$, arredondamos o último algarismo para a unidade imediatamente superior. Se o primeiro algarismo desprezado é ${\lt 5}$ o último algarismo permanece como está.
Depois de bastante explanação, vamos fazer alguns exercícios.
Imaginemos que estamos utilizando um paquímetro, com precisão de ${0,02\, mm}$. Se calculamos a medida de uma peça, tendo resultado o valor ${7,592348\,cm}$. Usando somente os algarismos significativos para medir com esse paquímetro, como ficaria a medida?
Note que a vírgula está na casa dos $cm$. Se a deslocarmos uma casa para direita, estará na casa dos $mm$. Se o paquímetro nos dá precisão de centésimos de milímetro, poderemos contar mais duas casas para direita, chegando ao algarismo $$2, onde terminam os significativos. O primeiro algarismo desprezado é $3$ e por isso o arredondamento é feito simplesmente mantendo o último algarismo significativo e portanto a medida da peça será de $7,592\,cm$.
Se estivéssemos usando um paquímetro com precisão de 0,1 mm, o último algarismo significativo da nossa medida seria o algarismo 9, ficando pois 7,59\, cm.
Se estivermos usando uma balança graduada para fornecer a menor medida em $cg$. Vamos exprimir com algarismos significativos as massas a seguir:
a) ${{30,7456 g } = {30,75 g}}$ $\Rightarrow$ o primeiro algarismo desprezado é $5$ e por isso arredondamos o último para cima.
b) ${{4,3085692\, kg} = {4,30857\, kg}}$ $\Rightarrow$ o primeiro algarismo desprezado foi 9 e por isso arredondamos o $6$ para $7$.
c)${{56,957823 dag} = {56,958dag}}$ $\Rightarrow$ o primeiro algarismo desprezado é $8$ por isso arredondamos o $7$ para $8$.
d)${{4243,89352g} = {4243,89 g}}$ $\Rightarrow$ o primeiro algarismo desprezado é $3$ e por isso o último permanece como está ao fazer o arredondamento.
Algarismo duvidoso
Vimos que o último algarismo sempre é arredondado ou então estimado. Esse processo lança uma dúvida sobre o seu valor. Uma outra pessoa poderia usar o mesmo instrumento de medição e obter uma medida com um algarismo diferente na última posição. Isso nos leva a denominar o último algarismo significativo de duvidoso. Qualquer algarismo que for colocado após esse duvidoso, é errado e não tem significado algum.
O uso de notação científica (exponencial), não altera os algarismos significativos. Todos os algarismos da medida são significativos, menos os algarismos da potência.
Assim ${{3,0\cdot{10}^{8}} m\cdot{s^{-1}}}$, valor habitualmente usado para exprimir a velocidade da luz no vácuo. Os algarismos significativos são apenas ${2}$, sendo o ${3}$ e o ${0}$. Neste caso o ${0}$ é o algarismo duvidoso.
Exercitando um pouco
Quantos são os algarismos significativos das seguintes medidas e qual é seu algarismo duvidoso?
a) ${8,74 m} $ $\Rightarrow$
b)${8,435kg}$ $\Rightarrow$
c)${35,82 m/s}$ $\Rightarrow$
d)${8, 7325km}$ $\Rightarrow$
e)${37,25kg}$ $\Rightarrow$
f) ${{6,23}\cdot{10^{23}} mol}$ $\Rightarrow$
g)${423,47 cm}$ $\Rightarrow$
h)${{7,8}\cdot{10^{12}}}$ $\Rightarrow$
Há inúmeras situações em que isso é usado para indicar sempre o grau de precisão das medidas. Via de regra, se a medida tem somente um algarismo, ela está errada, pois devemos ter pelo menos um algarismo não duvidoso. Então é comum colocar-se os dados de um conjunto de medidas com pelo menos um zero após a vírgula. Assim como ${7,0 m}$, ${3,0kg}$ e assim por diante.
Se restarem dúvidas a respeito do assunto, use um dos canais abaixo listados para comunicar-se comigo e fazermos assim o esclarecimento do que ficou obscuro.
Curitiba, 21 de outubro de 2019.
Décio Adams
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