Matemática – Geometria espacial – Poliedros.

Voltemos aos conceitos básicos de geometria ou conceitos primitivos. Aqueles que não têm uma definição, mas servem de base para definir os outros elementos que vem em sua esteira.

Plano

Representação de um plano

Vimos na geometria plana que um plano é um conjunto infinito de pontos que podemos imaginar ao olhar para uma folha de papel ou o tampo de uma mesa, uma parede e estendendo essa porção de plano até o infinito. Em geral o plano é representado por um quadrilátero, como se fosse uma folha de papel em perspectiva.

Dividindo um plano por uma reta $r$, obtemos dois semiplanos, como mostra a figura que segue abaixo.

Depois dobramos a folha segundo a reta $r$, obtendo uma figura formada pelos dois semiplanos e uma aresta que é a reta. Esta figura é um diedro.

Os dois semiplanos passaremos a denominar faces do diedro. A reta que é formada pelos pontos de contato das faces denominamos aresta.

Neste diedro temos pois as faces $\alpha \land \beta$, a reta $r$ é a aresta. Entre as faces temos o ângulo $\theta$ que mede a abertura do diedro. É também denominado ângulo diedro.

Classificação dos diedros

a) Diedro nulo: – é o diedro formado por dois semiplanos ou faces sobrepostas.

$\theta = 0^0$$\to $ diedro nulo.

b) Diedro raso ou plano: diedro formado por dois semiplanos opostos, isto é, formados por um plano cortado por uma reta. Podemos visualizar na figura do plano dividido pela reta acima.

$\theta = 180^0$

Diedro reto

c) Diedro reto: – é o diedro em que as faces formam entre si um ângulo reto.

$\theta = 90^0$

d) Diedro agudo: – o ângulo formado pelas faces do diedro é um ângulo agudo, isto é, menor que $90^0$

$\theta \lt 90^{0}$

e) Diedro obtuso: – o ângulo entre as faces do diedro é maior que $90^0$.

Diedro obtuso

$\theta \gt 90^0$

f) Diedros adjacentes: – são dois diedros que têm uma face comum e a mesma aresta.

g) Diedros complementares: – são diedros cuja soma dos ângulos é igual a $90^{0}$

h) Diedros suplementares: – são diedros cuja soma dos ângulos é igual a $180^{0}$

Diedro cortado por plano secante

Vejamos a figura a seguir, onde aparece um plano $\gamma$ cortando o diedro num ângulo qualquer.

Intersecção por plano secante.

As linhas de intersecção do plano $\gamma$ com as faces do diedro formam o ângulo plano $\widehat{ACB}$.

Intersecção por plano ortogonal.

Intersecção por plano ortogonal

Se o plano secante ao diedro for ortogonal à aresta o ângulo plano $\widehat{ACB}$ formado será igual ao ângulo do diedro, como mostramos na figura a seguir.

Diedros opostos pela aresta.

Imagine dois planos que se interceptam segundo uma linha reta. Mostraremos na figura a seguir como fica, mas certamente, com um pouco de abstração poderá visualizar mentalmente a forma da figura. Cada plano ficará dividido em dois semiplanos, que formarão diedros OPA. Cada semiplano será uma face de dois diedros. Também teremos diedros adjacentes como se pode notar na figura.

Diedros opostos pela aresta e também diedros adjacentes.

Denominei com as letras $a, a_{1}, b, b_{1}$ os quatro semiplanos. Estes semiplanos são as faces de quatro diedros. Podemos afirmar que os diedros:

$\widehat{arb} \land \widehat{a_{1}rb_{1}}$$\to$ são OPA

$\widehat{arb_{1}} \land \widehat{bra_{1}}$$\to$ são OPA

Os diedros adjacentes tem uma face comum. Assim podemos afirmar que:

$\widehat{arb}\land \widehat{bra_{1}}$$\to$ são adjacentes.

$\widehat{arb}\land\widehat{arb_{1}}$$\to$ são adjacentes.

$\widehat{arb_{1}}\land\widehat{b_{1}ra_{1}}$$\to$ são adjacentes.

$\widehat{bra_{1}}\land\widehat{a_{1}rb_{1}}$$\to$ são adjacentes.

Obs.: Cada um dos diedros da figura é adjacente ao diedro cuja medida é a soma dos outros três diedros determinados e que completa a volta.

Se a interseção dos planos for ortogonal, teremos quatro diedros retos.

Bissetor de um diedro.

Inserindo em um diedro de medida $\theta = x^0$, de modo a dividí-lo em dois diedros iguais, teremos traçado um bissetor.

Diedro dividido ao meio por um bissetor.

A partir desse ponto denominaremos as faces de um diedro pela letra maiúscula $F$. Para distingui-las entre si usaremos um índice numérico $1,2,3,…$.

Isso posto temos na figura o diedro formado pelas faces $F_{1}\land F_{2}$. A face bissetora é $F_{bs}$. É fácil observar que $F_{bs}$ é comum aos dois diedros resultantes e adjacentes pela aresta.

$\widehat{F_{1}rF_{bs}}\land\widehat{F_{bs}rF_{2}}$$to$ são adjacentes e sua medida é igual à metade de $\widehat{F_{1}rF_{2}}$

Triedro de faces $F_{1}, F_{2} \land F_{3}$

Triedro

A secção de um diedro por um plano secante determina determina um ângulo e as linhas de intersecção serão as arestas de dois novos diedros, o que resulta em uma figura denominada triedro. Vejamos a figura ao lado.

Triedro reto vista interna

Secção por plano oblíquo

Seccionando um triedro por um plano oblíquo aos lados, as linhas de intersecção formarão um triângulo, que nos é útil para entender os próximos teoremas.

Triedro agudo vista superior

Teorema da relação entre as faces do triedro.

Em todo triedro a medida de uma face é menor que a soma das medidas das outras duas”.

$F_{1} \lt F_{2} + F_{3}$

$F_{2} \lt F_{1} + F_{3}$

$F_{3} \lt F_{1} + F_{2}$

Obs.: Este teorema pode ser comprovado pela soma dos lados do triângulo de secção.

Triedro reto vista lateral

Teorema do módulo das faces

Toda face de um triedro é maior que o módulo da diferença entre as outras faces.

$F_{1}\gt |F_{2} – F_{3}|$

$F_{2}\gt|F_{1} – F_{3}|$

$F_{3}\gt |F_{2} – F_{1}|$

Teorema da soma das medidas das faces

A soma das medidas das faces expressas em graus é menor que $360^{0}$.

$F_{1} + F_{2} + F_{3} \lt 360^{0}$

Classificação dos triedros

a) Triedro agudo: – as faces do triedro medem menos que $90^0$.

Triedro agudo

A soma das medidas das faces é menor do que $270^{0}$

b) Triedro reto: – as faces medem todas $90^{0}$.

Triedro reto

A soma das medidas das faces é igual a $270^{0}$

c) Triedro obtuso: – as faces medem acima de $90^{0}$ e sua soma é menor do que $360^{0}$

d) Triedros adjacentes: – são dois triedros que possuem uma face comum aos dois.

Teorema da soma dos diedros que formam o triedro

Se observarmos um triedro perceberemos que cada duas faces formam um diedro. Denominando-os $D_{1}, D_{2} e D_{3}$, temos que: “ A soma dos diedros formadores do triedro é maior que $180^{0}$ e menor que $540^{0}$”

$180^{0}\lt D_{1} + D_{2} + D_{3} \lt 540^{0}$

Para compreender esse teorema, temos que lembrar que cada diedro tem sua medida compreendida no intervalo entre $0^{0}$ e $180^{0}$. Isso nos leva a entender o limite superior da soma dos três diedros. Se são três, teremos $3\times D \lt 540^{0}$. Um plano secionando o triedro, forma um triângulo, cuja soma dos ângulos internos será sempre igual a $180^{0}$. Dessa forma a soma dos ângulos diedros será sempre maior do que esse valor.

Triedros opostos pelo vértice

São dois triedros cujas arestas são concorrentes no mesmo ponto e estão contidas em semi retas colineares, com origem no ponto de intersecção, que é o vértice.

Triedros opostos pelo vértice
Triedros retos, opostos pelo vértice.

Traçando um par de planos ortogonais, seccionados por um terceiro plano, ortogonal à intercessão dos dois primeiros, formaremos um conjunto de oito triedros retos, opostos pelo vértice dois a dois e adjacentes dois a dois. Veja a figura.

Exercitemos um pouco.

01. Se em um triedro houver dois diedros medindo respectivamente $60^{0}$ e $110^{0}$. Qual é o intervalo em que estará compreendida a medida do terceiro diedro?

Vimos que em qualquer triedro há três faces, cujas medidas seguem a regra:

$180^{0}\lt F_{1} + F_{2} + F_{3}\lt 540^{0}$

$180^{0}\lt 60^{0} + 110^{0} + F_{3}\lt 540^{0}$

$180^{0} – 170^{0}\lt F_{3} \lt 540^{0} – 170^{0}$

$10^{0}\lt F_{3}\lt 370^{0}$

Também vimos que:

$F_{3}\lt F_{1} + F_{2}$$\Leftrightarrow$$F_{3}\lt 60^{0} + 110^{0}$

$F_{3}\lt 170^{0}$

A intercessão dos dois intervalos nos dará o intervalos que responde à nossa questão:

$F_{3} = \{X| 10^{0} \lt X \lt 170^{0}\}$

02. Em um triedro duas faces medem $100^{0}$ e $150^{0}$. Quais são os possíveis valores da terceira face?

$F_{1} + F_{2} + F_{3}\lt 360^{0}$$\Leftrightarrow$$100^{0} +150^{0} + X \lt 360^{0}$

$X\lt 360^{0} – 250^{0}$$\Leftrightarrow$$X\lt 110^{0}$

Temos também:

$F_{3}\gt |F_{2} – F_{1}$$\Leftrightarrow$$ X\gt|150 – 100|$

$X \gt 50^{0}$

Fazendo a intercessão dos dois intervalos teremos

$F_{3} = \{X| 50\lt X \lt 110^{0}\}$

03. Se em um triedro dois diedros são retos, o terceiro diedro necessariamente estará compreendido em qual intervalo?

$180^{0}\lt 90^{0} + 90^{0} + X \lt 540^{0}$

$180^{0} – 180^{0} \lt X \lt 540^{0} – 180^{0}$

$0^{0}\lt X \lt 360^{0}$

$D_{3} = \{X| 0^{0}\lt X \lt360^{0}\}$

04. Responder se está certa ou errada a afirmação e justifique sua resposta.

4.1. O ângulo de um diedro é ângulo  de secção reta.

4.2. Se duas secções de um diedro são congruentes, então elas são paralelas.

4.3. Não existe o triedro cujas faces medem $120^{0}, 75^{0} e 45^{0}$

4.4. A terceira face do triedro, cujas duas outras medem $50^{0} e 130^{0}$ devem ser maior que $60^{0}$ e menor que $160^{0}$

4.5. O terceiro diedro do triedro, cujos outros dois medem $70^{0} e 130^{0}$ só pode ser $20^{0}\lt X \lt 120^{0}$

05. Dois diedros retos adjacentes são também:

( )a) coincidentes;

( )b) suplementares;

( )c) complementares;

( )d) implementares;

( )e) replementares.

06. Dois triedros adjacentes:

( )a) têm uma face comum;

( )b) têm as mesmas medidas das faces;

( )c) são opostos pelo vértice;

( )d) são complementares;

( )e) são suplementares.

07. Um plano secante a um diedro determina sobre suas faces um:

( )a) triângulo retângulo;

( )b) quadrado;

( )c) um losango;

( )d) triângulo;

( )e) N.d.a.

08. Dois diedros opostos pela aresta determinam também um par de ângulos:

( )a) complementares;

( )b) replementares;

( )c) OPA e suplementares dos dois outros;

( )d) implementares;

( )e) suplementares entre si.

09. Se as medidas das faces de um triedro são $60^{0}$, o triângulo formado por um plano secante ortogonal a linha de intercessão dos bissetores dos diedros será:

( )a) escaleno;

( )b) equilátero e equiângulo;

( )c) retângulo;

( )d) obtusângulo;

( )e) N.d.a.

10. O triângulo que pode funcionar como quarta face para a figura do triedro, transforma o mesmo em um:

( )a) tetraedro;

( )b) cubo;

( )c) pirâmide quadrangular;

( )d) prisma triangular;

( )e) tronco de pirâmide.

Se houver dúvida, use um dos canais abaixo listados para se comunicar e expor suas dificuldades. Estou sempre à disposição para ajudar.

Curitiba, 26 de novembro de 2020

Décio Adams, IWA

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Matemática – Conjuntos. Relações e funções

Relação de um conjunto em outro.

Dados dois conjuntos $A =\{2; 5; 8\}$ e $B = \{1; 3; 6; 10\}$, denominamos Relação de ${r: A \to B}$ ao conjunto de pares ordenados $\{(x,y)| x\in A \land y\in B\}$. A relação é um sub-conjunto do produto cartesiano dos dois conjuntos.

Note que nem todos os elementos do conjunto $A$ fazem parte da relação com o conjunto $B$ e ao mesmo elemento de $A$ podem corresponder mais de um elemento do conjunto $B$.

${R_{1} = \{(2;1), (2;3), (8;6), (8;10)\}}$

Uma outra relação entre os mesmos conjuntos poderia ser:

$R_{2} = \{(2;1),(5;3), (5;6)\}$

O segundo elemento de cada par ordenado é denominado Imagem do primeiro. O conjunto $A$, dito conjunto de partida, habitualmente recebe a denominação Domínio da relação e o conjunto $B$, conjunto de chegada, é o Contra Domínio da relação. Podemos inverter a ordem dos conjuntos, passando o $A$ a ser contra domínio e o $B$ o Domínio. Os diagramas de Venn dos conjuntos Domínio e Contra Domínio, com as setas unindo os elementos do primeiro aos elementos do segundo recebe o nome Diagrama de Flechas.

Função

Uma relação de um conjunto $A$ em outro $B$, onde cada elemento do Domínio, tem uma e somente uma imagem no Contra Domínio, recebe o nome de função.

Nos diagramas de Venn da figura, a relação f não é função, pois há um elemento do conjunto $A$ sem a correspondente imagem no conjunto $B$.

A relação g não é função pois há um elemento do conjunto $A’$ ao qual correspondem duas imagens no conjunto $B’$.

A relação h é uma função pois a cada elemento do conjunto $A”$ corresponde uma e somente uma imagem no conjunto $B”$. Observe que o conjunto que contém os elementos imagens pode conter elementos que não são imagem de nenhum elemento de $A”$. Também vemos que um mesmo elemento pode ser imagem de mais de um elemento do conjunto domínio.

O primeiro conjunto, no caso $A”$, é o domínio da função. O conjunto $B”$ contém o conjunto imagem e recebe a denominação de contra domínio.

$D_{h} = A”= \{9,11, 13\}$

$CD_{h} = B”= \{12, 16, 17, 18\}$

$I_{h} = \{16, 18\}$

$I_{h} \subset B”$

$B” \supset I_{h}$

Classificação das funções

Função sobrejetora

Sobrejetora

É a função em que todos os elementos do Contra Domínio são imagem de pelo menos um elemento do Domínio, isto é, não sobram elementos no contra domínio.

Função injetora

Injetora

A função é injetora se cada elemento do Domínio tem uma imagem distinta no Contra domínio.

Função bijetora

Bijetora

É bijetora a função que preenche os requisitos de ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Em outras palavras não sobram elementos do Contra Domínio e nenhum elemento é imagem de dois ou mais elementos do Domínio.

No estudo das funções algébricas via de regra o Domínio e o Contra Domínio são o mesmo conjunto numérico.

Por exemplo:

$f: R\to R$

$f:N\to N$

$f:Z\to Z$

$f:Q\to Q$

Exercitemos um pouco.

01. Sendo $A = \{1,2\}$ e $B = \{1,3,4\}$, determine:

a) ${A X B} = \{(1,1); ( 1,3); (1,4); (2,1); (2,3); (2,4)\}$

b) A relação formada pelos pares ordenados em que o $1^{0}$ elemento é menor que o $2^{0}$ elemento:

$r_{1} = \{(1,3); (1,4); (2,3); (2,4)\}$

c)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ é maior que o ${2^{0}}$ elemento;

$r_{2} = \{(2,1)\}$

d)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ elemento é igual ao ${2^{0}}$ elemento;

$r_{3} = \{(1,1)\}$

e)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ elemento é o dobro do ${2^{0}}$ elemento.

$r_{4} = \{(2,1)\}$

f) A relação formada pelos pares ordenados em que o ${2^{0}}$ é o dobro do ${1^{0}}$ elemento;

${r_{5} = \{(2,4)\}}$

02. Qual é a relação formada pelos pares ordenados do produto cartesiano de $A =\{1,2,3\}$ por $B =\{2,4,5\}$, tal que o segundo elemento de cada par seja o dobro do primeiro elemento?

$r = \{(1,2); (2,4)\}$

03. Dados os conjuntos $A =\{1,3,5\}$ e $B = \{2,3\}$, determinemos:

a)${A X B} = \{(1,2); (1,3); (3,2); (3,3); (5,3); (5,3)\}$

b)${B X A} = \{(2,1); (2,3); (2,5); (3,1); (3,2); (3,5)\}$

c)${A^{2}} = {A X A}= \{(1,1); (1,3); (1,5); (3,1); (3,3); (3,5); (5,1); (5,3), (5,5)\}$

d)${B^{2}} = {B X B} =\{(2,2); (2,3); (3,2); (3,3)\}$

04. Dados os conjuntos $A = \{1,3,5,7\}$ e $B =\{3,9,15,20\}$, a relação $R: A\to B$ de modo que $(x,y)\in(AXB) | b = 3a$, será formada pelos pares ordenados $\{(1,3); (3,9), (5,15)\}$.

Relação de $A\to B$ representada em diagrama de Venn

Representando num diagrama de flechas, ficamos com:

05. Dados os conjuntos $A =\{1,2,3,4\}$ e $B = \{4,5,6,7\}$. A relação mostrada no Diagrama de flechas a seguir, define uma função $f: A\to B$ para a qual $(x,y)\in(AXB)| x\in A \land y\in B$.

Função ${f:A\to B}$

Nesta função temos:

  • Domínio: $D_{f} =\{1,2,3,4\}$
  • Contra domínio: $CD_{f} = \{4,5,6,7\}$
  • Imagem: $I_{f} = \{4,5,7\}$
  • $f:(1) = {(4)}$
  • $f:(2) = {(7)}$
  • $f:(3) = {(5)}$
  • $f:(4) = {(7)}$

Na expressão $f:(1) = {(4)}$, lê-se “função de 1 é igual a 4”. O 4 é imagem de 1.

Exercícios para resolver

01. Dados os conjuntos $A = \{3,5,7\}$ e $B = \{3,9,15,35\}$, determine os produtos cartesianos:

a) ${A X B}$; b) ${B X A}$; c) ${A^{2}}$; d) ${B^{2}}$

02. Dados os conjuntos $A = \{-2, -1, 0, 1\}$ e $B =\{0,1,2,3\}$,

determine:

a) a relação $R_{1} = \{(x,y) \in {A X B}| y = x^{2} -1\}$

b) a relação $R_{2} =\{(x,y)\in A^{2}| b = a^{2}\}$

c) a relação $R_{3} =\{(x,y)\in {B X A}| y = x^{2}\}$

d) determine o domínio e a imagem de cada relação.

03. Dados os conjuntos $A = \{3,5,7\}$ e $B = \{3,9,15,35\}$, determine:

a) a relação $R: A\to B$, de modo que $R = \{(x,y)\in (AXB)| \frac{y}{x}\in N\}$. Construa o diagrama de flechas da relação.

b) o domínio e a imagem de $R$

04. Dados os conjuntos $A = \{1,2,7,10\}$ e $B = \{2,5,33,50,101\}$

a) determine a relação $R_{1}: A\to B$, tal que $R_{1} = \{(x,y)\in(AXB)| x \land y \}$ são números primos. Faça o diagrama de flechas.

b) determine a relação $R_{2}: A\to B$, tal que $R_{2} =\{x,y)| y = x^{2} + 1\}$. Faça o diagrama de flechas.

c) a relação $R_{1}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.

d) a relação $R_{2}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.

05. Dados os conjuntos $A = \{3,8,15,24\}$ e $B = \{2,3,4,5\}$

a) determine a relação $R_{1}: A\to B$, tal que $R_{1} =\{(x,y)\in(| b = \sqrt{a + 1}\}$. Diagrama de flechas

b) determine a relação $R_{2}: B\to A$, tal que $R_{2}=\{(x,y)| y = x – 1\}$. Faça o diagrama de flechas.

c) A relação ${R_{1}}$ é uma função? Explique. Sendo função, determine a imagem da mesma.

d) A relação $R_{2}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.

06.  – Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas.

07. Observe o diagrama de flechas abaixo, onde temos o conjunto P formado pelos nomes dos planetas de nosso sistema solar e no conjunto E estrelas e constelações do Universo. O gráfico representa uma função ou é apenas uma relação? Se for função qual é sua classificação?

08. O diagrama de flechas a seguir representa os principais estados do Brasil no conjunto Domínio e os nomes de cidades brasileiras. Os estados estão ligados às suas respectivas capitais. O diagrama representa uma função ou não? Se for função, qual é sua classificação?

No próximo post daremos mais um passo no estudo das funções. Agora elas serão definidas por equações.

Curitiba, 24 de novembro de 2020

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Matemática – Conjuntos. Produto Cartesiano

Plano Cartesiano

O Plano Cartesiano é formado por um par de eixos, preferencialmente ortogonais, que se interceptam em um ponto, denominado origem e ao qual associamos o número $0$ (zero). Um eixo tido geralmente como “horizontal” e o outro “vertical”. O primeiro é denominado eixo das abcissas e o segundo era o eixo das ordenadas.

Cada ponto desse plano pode ser identificado por meio de um par de números, que são medidos sobre os eixos. Os dois números recebem o nome de “par ordenado“. O primeiro é a abcissa ou $x$ e o segundo é a “ordenadaou $y$. Vamos ver um exemplo de Plano Cartesiano, com alguns pontos identificados pelos pares ordenados.

Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes. Os pontos do primeiro quadrante são identificados por dois números positivos; no segundo quadrante a abcissa é negativa e a ordenada positiva; no terceiro quadrante os dois números do par ordenado são negativos. Por último, no quarto quadrante a abcissa é positiva e a ordenada é negativa. É convencionado universalmente que o sentido dos quadrantes é anti-horário.

Os pontos situados sobre o eixo das abcissas terão todos o valor $0$ (zero) na ordenada, como por exemplo $(5; 0)$. Já os pontos do eixo das ordenadas terão todos como abcissa o valor $0$ (zero), como por exemplo $(0; -7)$

Para facilitar o entendimento desse assunto, vamos retomar o estudo dos conjuntos. Na ocasião vimos várias operações com conjuntos. Aqui iremos ver mais uma de nominada Produto Cartesiano.

\begin{align}\color{Sepia}{A = \{ 1; 2; 3\}}\end{align}

\begin{align}\color{Sepia}{B = \{1; 3; 5; 7\}}\end{align}

Denominamos produto cartesiano do conjunto A, pelo conjunto B, ao conjunto de pares ordenados (x, y), onde o elemento $x$ pertence ao conjunto A e o elemento $y$ pertence ao conjunto B. Isso pode ser traduzido em símbolos matemáticos da seguinte forma:

\begin{align}\color{NavyBlue}{A\times B = \{(x,y)| x\in A \land y\in B \}}\end{align}

Num Diagrama de Venn teremos esse produto assim representado.

Note que de cada elemento do conjunto A, saem quatro setas dirigidas aos elementos do conjunto B. Isso nos indica que o numero de pares ordenados desse produto cartesiano é igual ao produto do número de elementos de ambos os conjuntos.

$$\color{Brown}{n(A X B) = 3\times 4 = 12}$$

${A X B = \{(1; 1), (1; 3), (1; 5), (1; 7), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (2;7), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (3; 7)\}}$

Esse assunto é de fundamental importância no desenvolvimento dos programas de informática, especialmente na construção dos chamados Bancos de Dados.

Podemos também fazer o produto cartesiano invertido, isto é, trocando a ordem dos conjuntos. Será:

\begin{align}{B X A = \{(1; 1),(1; 2),(1; 3),(3;1),(3;2),(3;3),(5;1),(5;2),(5;3),(7;1),(7;2),(7;3)\}}\end{align}

Se contarmos os pares, também iremos encontrar o número $12$, uma vez que o número de elementos de cada conjunto apenas inverteu a ordem, isto é aplicamos a propriedade comutativa.

Podemos estabelecer o produto cartesiano ${A X A}$, o que equivale a ${A^2}$, e ${B X B}$ equivalendo a ${B^2}$.

Neste caso o número de pares será:

$n(A X A) = 3\times 3 = 3^2 = 9$

${A^2 = \{(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3),(3;1),(3;2),(3;3)\}}$

$n{B^2} = 4\times 4 = 4^2 = 16$

${B^2 = \{(1;1),(1;3),(1;5),(1;7),(3;1),(3;3),(3;5),(3;7),(5;1),(5;3),(5;5),(5;7),(7;1),(7;3),(7;5),(7;7)\}}$

No estudo das funções, usaremos sempre conjuntos numéricos, que podem ser limitados, conforme a situação em análise.

Temos o conjunto dos números naturais, representado pela letra N, que inclui todos os números inteiros, inclusive o $0$ (zero).

${N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …+\infty\}}$

Temos o conjunto dos números naturais não nulos, onde fica excluído o $0$ (zero).

${N_{\neq 0} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … +\infty\}}$

Temos os números inteiros relativos, representado pela letra $Z$. Começa no menos infinito e vai até o mais infinito.

${Z = \{-\infty, …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … , +\infty\}}$

Temos o conjunto dos números inteiros relativos positivos, que coincide com os naturais e o representamos por $Z_{+}$

${Z_{+} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … , + \infty\}}$

O conjunto dos números inteiros relativos negativos, representado por $Z_{-}$.

${Z_{-} =\{-\infty, … , -5, -4, -3, -2, -2, -1, 0\}}$

Conjunto dos números racionais, simbolizado por $Q$.

${Q = \{-\infty, … , – \frac{13}{3}, … , -\frac{10}{3}, -3, … , -\frac{5}{2}, …, -1, …-\frac{2}{3}, …, 0, … \frac{1}{2}, …, \frac{7}{3},…, 3, …, \frac{11}{3}, …, +\infty\}}$

Observamos que o conjunto numérico fica cada vez mais amplo. Tanto que para escrever o mesmo, recorremos aos intervalos de reticências entre alguns elementos, uma vez que fica impossível relacionar todos.

Temos ainda o conjunto dos números Reais, no qual reunimos todos os demais conjuntos em um só. Representado por $R$. Pode ser tomado só o lado positivo, o lado negativo ou o conjunto inteiro, excluindo o $0$ (zero).

${R_{+}}$$\Rightarrow$ Números reais positivos, inclusive o zero.

${R_{-}}$$\Rightarrow$ Números reais negativos, incluindo o zero.

${R_{\neq 0}}$$\Rightarrow$ Números reais, excluído o zero.

${R}$$\Rightarrow$ Conjunto dos números reais.

Chegará o momento em que iremos nos deparar com uma nova ampliação do conjunto dos números. Será o momento dos Números imaginários. Reunido aos números Reais formarão o conjunto dos Números complexos.

Vamos exercitar um pouco.

01. Dados os conjuntos ${A= \{3; 5\}}$ e ${B =\{2; 5; 8\}}$, represente-os em um Diagrama de Venn e faça um gráfico de flechas indicando o produto cartesiano ${A X B}$.

O conjunto dos pares ordenados resultante desse produto cartesiano é o que segue.

${A X B = \{(3;2), (3;5), (3;8), (5;2), (5;5), (5;8)\}}$

${n(A X B) = 2\times 3 = 6\,pares}$

02. Use os conjuntos do exercício 01 e faça o produto cartesiano ${B X A}$. Represente um diagrama de flechas num Diagrama de Venn.

${B X A = \{(2;3), (2;5), (5;3), (5;5), (8;3), (8;5)\}}$

${n(B XA) = 3\times 2 = 6\,pares}$

03. Dado o produto cartesiano entre os conjuntos $M$ e $N$. Seus elementos são ${M = \{-3, 0, 4, 7\}}$ e ${N = \{-1, 1, 3\}}$. Determine os pares ordenados do produto e represente-os num plano cartesiano.

${M X N =\{(-3; -1),(-3; 1),(-3; 3),(0;-1),(0; 1),(0; 3),(4; -1),(4; 1),(4;3),(7; -1),(7; 1),(7;3)\}}$

Notamos que os pontos representados ficam alinhados segundo as ordenadas e também segundo as abcissas.

04. Se tomarmos os elementos do conjunto $N$, símbolo dos números naturais, quantos pares ordenados poderemos formar fazendo o produto cartesiano $N^2$?

05. No produto cartesiano de dois conjuntos, pode haver um elemento que seja excluído do produto?

06. Seja o conjunto ${G =\{(x \in Z_{+}| 10\lt x \le 15\}}$. Faça o produto cartesiano ${G X G}$. Escreva o conjunto dos pares ordenados do produto e faça um gráfico de flechas, bem como represente no plano cartesiano.

Havendo dúvidas, peça esclarecimento por um dos canais abaixo listados.

Curitiba, 06 de julho de 2020.

Décio Adams

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01.047-01 – Matemática. Álgebra. Divisão de polinômios por polinômios.

Vamos começar com as divisões exatas, onde não sobram restos. Seja dividir as expressões abaixo.

\begin{align}{(a^3x^3 + 9a^2x^2y + 27axy^2 + 27y^3)}\div {(ax + 3y)}\end{align}

Vamos colocar os polinômios numa chave como fazemos na divisão de números com vários algarismos. Antes vamos verificar se os polinômios estão ordenados segundo os expoentes de uma ou mais variáveis.

Observe que começamos dividindo o primeiro termo do dividendo pelo primeiro do divisor. Multiplicamos todos os termos do divisor e subtraímos os resultados dos termos semelhantes do dividendo. Fica evidente que no primeiro termo o resto deve ser zero. Na sequência colocamos o outro termo do dividendo ao lado do resto e seguimos o procedimento, até que tenhamos utilizado todos os termos do dividendo. Se o resto for zero, a divisão é exata. Se houver resto, no momento de efetuar a multiplicação do quociente pelo divisor, será necessário adicionar esse resto. No exemplo mostrado, a divisão foi exata.

Podemos então escrever o resultado desse modo:

\begin{align}{(a^3x^3 + 9a^2x^2y + 27axy^2 + 27y^3)}\div{(ax + 3y)}\\= {(a^2x^3 + 6axy + 9y^2)}\end{align}

Vejamos mais um exemplo.

\begin{align}{(3x^3 + 14x^2y + 17xy^2 + 6y^3)}\div{(x + 3y)}\end{align}

Mais um exemplo de divisão exata entre dois polinômios. Um detalhe a ser sempre levado em consideração é o grau dos polinômios. O divisor nunca poderá ter grau mais elevado do que o dividendo. Isso nos levaria a uma situação impossível de realizar no campo de álgebra.

\begin{align}{(3x^3 +14x^2y + 17xy^2 + 6y^3)}\div{(x + 3y)} \\= {(3x^2 + 5xy + 2y^2)}\end{align}

Vamos ver um exemplo em que a divisão não seja exata.

\begin{align}{(5x^4y + 7x^3y^2 – 8x^2y^3 + 12xy^4)}\div{(x + 3y)}\end{align}

Para fazer o caminho de retorno, teremos que multiplicar o quociente, pelo divisor e adicionar o resto que ficou ao final do processo. Veja como fica:

\begin{align}{(5x^3y – 8x^2y^2 + 16xy^2)}\times{(x + 3y)} + {-36xy^4}\end{align}

Mais um exemplo para confirmar e tirar as dúvidas.

\begin{align}{(x^2 + x^2y – xy^2 – y^3)}\div{(x – y)}\end{align}

Podemos notar que o quociente e o divisor são fatores que formam um produto notável, que é conhecido como quadrado da soma multiplicado pela diferença. Ele nos ajuda a entender qualquer outra divisão de polinômios entre si.

Chegou a hora de deixar um trabalho para você fazer.

\begin{align}{(x^3 +x^2y – sy^2 – y^3)}\div{(x – y)}\\ = {(x^2 + 2xy + y^2)}\end{align}

Efetue a divisão dos polinômios listados a seguir.

a) \begin{align}{(x^3 – x^2y + xy^2 – y^3)}\div {(x + y)}\end{align}

b)\begin{align}{(8a^3x^3 + 4a^2x^2y – 2axy^2 – y^3)}\div{(4a^2x^2 + 4axy + y^2)}\end{align}

c)\begin{align}{(8a^3x^3 – 4a^2x^2y + 2axy^2 – y^3)}\div{(2ax + y)}\end{align}

d)\begin{align}{(81x^4 – 108x^3y + 48xy^3 – 16y^4)}\div{(9x^2 – 4y^2)}\end{align}

e)\begin{align}{(2a^3 – 11a^2b + 12ab^2 + 9b^3)}\div{(2a + b)}\end{align}

f)\begin{align}{(75x^3 – 160x^2z – 68x^2 – 16z^3)}\div{(5x – 2z)}\end{align}

g)\begin{align}{(3u^3v^3 + 5u^2v^2w + uvw^2 -w^3)}\div{(3uv – w)}\end{align}

h)\begin{align}{(10x^3 + 15x^2y -6xy^2 – 2y^3)}\div{(2x – y)}\end{align}

i)\begin{align}{(8a^3x^3 – 4a^2x^2y 6axy^2 – 3y^3)}\div{(2ax + y)}\end{align}

j)\begin{align}{(2a^3 – 11a^2b + 12ab^2 + 13b^3)}\div{(2a + b)}\end{align}

Havendo dúvidas na resolução, faça contato por meio de um dos canais que estão listados abaixo. Estou disponível para ajudar.

Curitiba, 28 de junho de 2020

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01.035 – Matemática – Aritmética. Razão e proporção. Regra de três composta.

No estudo da regra de três simples, usamos apenas duas grandezas que se relacionam. Sendo um dos valores desconhecido, é possível descobrir seu valor com o uso dos outros três valores conhecidos, formando uma proporção. A aplicação das regras das proporções nos fornece procedimentos para atingir nossa finalidade.

Quando o problema envolve três ou mais grandezas, a regra simples não nos ajuda. Mas podemos recorrer à chamada Regra de Três composta. Para isso é conveniente elaborar uma tabela com tantas colunas quantas forem as grandezas. Haverá grandezas diretamente proporcionais e as inversamente proporcionais, ocasionando a inversão da ordem em que aparecem no cálculo. Vamos tomar um exemplo.

  1. Sabendo que $5$ torneiras iguais, totalmente abertas, enchem um tanque de $6000$ litros de água, em $4$ horas de fluxo. Se colocarmos $8$ torneiras iguais, enchendo um tanque de $10000$ litros, qual será o tempo para conclusão do processo?
TorneirasLitrosHoras
560004
810000X
Analisando o problema, notamos que, se o volume de água permanecer o mesmo, o número maior de torneiras tornará o tempo gasto menor. O que nos leva a concluir que o número de torneiras é inversamente proporcional ao tempo.
Se o número de torneiras permanecer constante, haverá uma demora maior do que as 4 horas para encher o tanque de 10000 litros. Volume de água e tempo diretamente proporcionais. Então podemos escrever a proporção da seguinte forma.

$ {4\over X} ={8\over 5}\times{6000\over 10000}$

${4\over X} = {48000\over 50000}$

Multiplicando os extremos e os meios entre si, teremos:

$48000\times X = 4\times 50000$$\Leftrightarrow$$X = {200000\over 48000}$

$$\color{Brown}{X \simeq 4,17 horas}$$

2. Usando um ferro elétrico $1$ hora por dia, durante $20$ dias, o consumo de energia será de $10\, kW/h$. Se o mesmo ferro elétrico for usado $110$ minutos por dia durante $30$ dias, qual será o consumo? 

tempo/dia DiasConsumo(kW/h)
602010
11030x
As grandezas todas são diretamente proporcionais. Usando o ferro por mais dias, aumentará o consumo. Usando o mesmo ferro por mais tempo diariamente o consumo em 20 dias também aumentará. Então a proporção ficará:

${10\over X} = {60\over 110}\times{20\over 30}$$\Leftrightarrow$${10\over X} = {1200\over 3300 }$

$ 1200\times X = 10\times 3300$$\Leftrightarrow$$ X = {10\times 3300\over 1200}$

$$\color{Sepia}{X = 27,5\, kW/h}$$

3. Trabalhando $10$ horas por dia, durante $18$ dias, João recebeu $R\$ 2 100,00$. Se trabalhar $8$ horas por dia, quantos dias ele deverá trabalhar para receber $R\$ 2 700,00$?

Horas/diaDiasRemuneração
10182.100,00
8x2.700,00
O número de horas diárias é inversamente proporcional ao número de dias. Os dias de trabalho são proporcionais ao valor da remuneração. Então devemos estabelecer a proporção:

${18\over X} = {8\over 10}\times{2100,00\over 2700,00}$$\Leftrightarrow$${18\over X}= {16800,00\over 27000,0}$

${16800\times X} = {27000\times 18}$$\Leftrightarrow$$X ={27000\times 18\over 16800}$

$$\color{Sepia}{x\simeq 29 dias}$$

4. Em uma empresa, $10$ funcionários produzem $3 000$ peças, trabalhando $8$ horas por dia durante $5$ dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza $7 000$ peças em $15$ dias, trabalhando $4$ horas por dia, será de quanto?
Nº funcionáriosNº peçash/diaDias
10300085
X7000415
O número de peças é proporcional ao número de funcionários. O número de horas dia é inversamente proporcional ao número de funcionários. O número de dias é inversamente proporcional ao número de funcionários. Portanto a proporção fica sendo:

${10\over X} = {3000\over 7000}\times{4\over 8}\times{15\over 5}$

${10\over X} = {3000\times\not{4}\times\not{15}\over 7000\times\not{8}\times\not{5}}$

${10\over X} ={30\times 3\over 70\times 2}$$\Leftrightarrow$${90\times X} = {10\times 140}$

$$\color{Sepia}{X ={1400\over 90}\simeq15,56}$$

Serão 16 funcionários pois não existe fração de funcionário.

Exercitando.

01. (Unifor–CE) Se $6$ impressoras iguais produzem $1000$ panfletos em $40$ minutos, em quanto tempo $3$ dessas impressoras produziriam $2000$ desses panfletos? 

02.(UFMG)- Uma empresa tem $750$ empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante $25$ dias. Se essa empresa tivesse mais $500$ empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? 

03.(Unifor–CE)Um texto ocupa $6$ páginas de $45$ linhas cada uma, com $80$ letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para $30$ o número de linhas por página e para $40$ o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

04.(UFRGS-RS)-Se foram empregados $4\, kg$ de fios para tecer $14$ m de uma maquete de fazenda com $80\,cm$ de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir $350\,m$ de uma maquete de fazenda com $120\,cm$ largura?

05.Em $8 horas$, $20$ caminhões descarregam $160\,m^{3}$ de areia. Em $5 horas$, quantos caminhões serão necessários para descarregar $125\,m^{3}$?

06.Em uma fábrica de brinquedos, $8$ homens montam $20$ carrinhos em $5$ dias. Quantos carrinhos serão montados por $4$ homens em $16$ dias?

07.Dois pedreiros levam $9$ dias para construir um muro com $2\,m$ de altura. Trabalhando $3$ pedreiros e aumentando a altura para $4\,m$, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

08. Três torneiras enchem uma piscina em $10$ horas. Quantas horas levarão $10$ torneiras para encher $2$ piscinas?

09.Uma equipe composta de $15$ homens extrai, em $30$ dias, $3,6$ toneladas de carvão. Se a equipe for aumentada para $20$ homens, em quantos dias conseguirão extrair $5,6$ toneladas de carvão?

10.Vinte operários, trabalhando $8$ horas por dia, gastam $18$ dias para construir um muro de $300\,m$. Quanto tempo levará uma turma de $16$ operários, trabalhando $9$ horas por dia, para construir um muro de $225\,m$? 

11.Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando $8\, horas$ por dia, a uma velocidade média de $50\,km/h$. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em $20$ dias, a uma velocidade média de $60\,km/h$?

12.Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz $5400\,m$ de tecido com $90\,cm$ de largura em $50\, minutos$. Quantos metros de tecido, com $1$ metro e $20$ centímetros de largura, seriam produzidos em $25\, minutos$? 

Havendo dúvidas na resolução dos exemplos ou sobre o raciocínio a ser desenvolvido de modo geral, use um dos canais abaixo listados para pedir ajuda. Não fique na dúvida. Aproveite para esclarecer tudo sem problema algum.

Curitiba, 15 de junho de 2020

Décio Adams

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Matemática – Aritmética – Algarismos significativos.

Algarismos podem perder o significado?

Tenho quase certeza de que, ao ler esse título, muitas pessoas ficarão perplexas, talvez chocadas. Como pode um algarismo perder o significado? O significado não é sempre o mesmo?

É importante não confundir o significado com o valor. O valor representado pelo algarismo depende dele mesmo e da posição que ocupa dentro do número. O significado depende da possibilidade de podermos medir o valor que ele representa.

Quando se aprende a usar as unidades empregadas na medição das grandezas com que iremos lidar no dia a dia, vemos que ela tem múltiplos submúltiplosEstes servem para exprimir medidas com frações da unidade e também com grande número delas. É por aí que começa a questão dos algarismos significativos.  

Continue lendo “Matemática – Aritmética – Algarismos significativos.”

Matemática – Aritmética – Divisão parte II

Divisão.

  • Vamos continuar aprendendo mais um pouco.
  • Vou tentar apresentar alguns exemplos onde apareçam as dificuldades que podem atrapalhar e explicar como se procede para contornar.
  • Vejamos o caso:
  • $$\color{NavyBlue}{1516\div 76 = ?}$$

Temos que dividir os três primeiros algarismos do dividendo, para ser possível. Observe que ${15\div 7 = 2}$. Isso nos daria o primeiro algarismo do quociente igual a 2. Mas, ao multiplicar ${2\times 76 = 152}$, vemos que não é possível subtrair esse valor de ${151}$. Assim, temos que reduzir o primeiro algarismo do quociente para 1. Isso acontece com frequência. É preciso ter cuidado para não se perder nesse momento.

Colocando ${1}$ no quociente e fazendo a multiplicação, subtraímos de ${151-76 = 75}$. O resto é ${75}$. Note que faltou pouco para o quociente ser ${2}$. Baixamos o ${6}$ para a direita do resto e temos o número ${756}$. Importante notar que nunca se colocam dois algarismos de uma vez no quociente. Por isso o máximo que pode aparecer é ${9}$, nunca mais. A multiplicação ${9\times 76 = 684}$, subtraímos  ${756-684=72}$. Temos portanto o resultado da divisão: $\color{NavyBlue}{1516\div 76 = 19}$, $\color{NavyBlue}{resto = 72}$ $\Leftrightarrow $ $\color{NavyBlue}{19\times 76 + \color{Red}{72} = 1516}$

$\color{NavyBlue}{5356\div 52 = ?}$

O primeiro algarismo do quociente será ${1}$ (um) e teremos resto ${1}$. Ao baixarmos o próximo algarismo, forma-se o número ${15\lt 52}$ e neste caso escrevemos, como próximo algarismo do quociente um ${0}$ (zero), antes de baixar o outro algarismo, formando agora o número ${156}$. A divisão de ${15\div5 = 3}$ o que deve permitir divisão por ${3}$ (três). Multiplicando ${3\times 52 = 156}$, que subtraído do dividendo, deixará resto${0}$ (zero). Resulta que $\color{NavyBlue}{5356\div 52 = 103}$, $\color{NavyBlue}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{103\times 52 = 5356}$.

  • $\color{NavyBlue}{4009\div 64 = ?}$

Os dois primeiros algarismos do dividendo formam um número menor que o divisor ${40\lt 64}$. Então temos que começar dividindo o número com três algarismos ${400\gt 64}$. Dividindo ${40\div 6 = 6}$, resto ${4}$. Devemos ter como primeiro algarismo do quociente o ${6}$ (seis). ${6\times 64 =384\lt 400}$. Subtraindo ${400 – 384 =16}$. Escrevemos ao lado direito do resto o último algarismo do dividendo, formamos ${169}$. A divisão ${16\div 6 = 2}$ com resto ${4}$. O próximo algarismo do quociente será ${2}$. ${2\times 64 = 128}$, que subtraído ${169 – 128 = 41}$. O quociente da divisão será pois ${62}$ e o resto ${41}$. Podemos escrever: $\color{NavyBlue}{4009\div 64 = 62}$, $\color{NavyBlue}{resto = 41}$, $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{62\times 64 +\color{red}{41} = 4009}$

  • $\color{navy}{2401\div 49 = ?}$
  • O número para começar a divisão, deve ter três algarismos, pois ${24\lt 49}$. Então ${24\div 4 = 6}$. Fazendo ${6\times 49 = 294\gt 240}$ o que não permite a divisão. Diminuímos para ${5\times 49 = 245\gt 240}$, também não permite a divisão. Devemos começar com o algarismo ${4}$ no quociente. Multiplicando ${4\times 49 = 196}$. Subtraindo ${240 – 196 = 44}$.
  • Escrevemos à direita do resto o último algarismo do dividendo ficamos com ${441}$. Dividindo ${44\div 4 = 11\gt 9}$. Portanto o próximo algarismo pode ser no máximo ${9}$. Multiplicamos ${9\times 49 = 441}$. Subtraímos ${441 – 441 = 0}$. Então:
  • $\color{NavyBlue}{2401\div 49 = 49}$,$\color{NavyBlue}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{49\times 49 = 2401}$.
  • $\color{NavyBlue}{2581\div 89 =?}$

A divisão começa pelo número ${258}$, onde temos ${25\div 8 = 3}$, restando ${1}$. Multiplicando ${3\times 89 = 267\gt 258}$. Temos que diminuir uma unidade. Agora ${2\times 89 = 178}$, que diminuído ${258 – 178 = 80}$. Escrevendo o algarismo final ${1}$ à direita do resto fica ${801}$. Para saber o valor do próximo algarismo do quociente, vejamos quanto dá ${80\div 8 = 10\gt 9}$, por isso devemos usar no máximo ${9}$. Multiplicamos ${9\times 89 = 801}$. Diminuímos ${801 – 801 = 0}$. $\color{NavyBlue}{2581\div 89 = 29}$, $\color{NavyBlue}{resto = 0}$, $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{29\times 89 = 2581}$.

Exercícios, lá vamos nós!

Efetue as divisões a seguir, usando para isso a forma de escrever os termos dentro da chave e realizando as operações, passo a passo. 

  • $\color{OliveGreen}{3792\div 65 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{7921\div 89  = ?}$
  • $\color{OliveGree}{4036\div 53  = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{5123\div 47 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{3584\div 37 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{10548\div 96 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{3230\div 65 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{3792\div 72 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{9486\div 75 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{5392\div 82 =?}$

Obs.: Em caso de qualquer dúvida, faça contato com um dos meios abaixo para tirar suas dúvidas. Mande outro tipo de dúvida que tentarei ajudar se for possível. 

Confira as respostas que obteve para os exercícios acima. 

  • $\color{OliveGreen}{3792\div 65 = 58 \Rightarrow (58\cdot 65) + 22}$
  • $\color{OliveGreen}{7921\div 89 = 89\Rightarrow(89\cdot 89) = {(89)}^2}$
  • $\color{OliveGreen}{4036\div 53  = 76\Rightarrow (76\cdot 53) + 8}$
  • $\color{OliveGreen}{5123\div 47 =109\Rightarrow (109\cdot 47)}$
  • $\color{OliveGreen}{3584\div 37 = 96 \Rightarrow(96\cdot 37) + 32}$
  • $\color{OliveGreen}{10548\div 96 = 109 \Rightarrow (109\cdot 96) + 84}$
  • $\color{OliveGreen}{3230\div 65 = 49 \Rightarrow (49\cdot 65) +45}$
  • $\color{OliveGreen}{3792\div 72 = 52 \Rightarrow(52\cdot 72) + 48}$
  • $\color{OliveGreen}{9486\div 75 =126 \Rightarrow(126\cdot 75) + 36}$
  • $\color{OliveGreen}{5392\div 82 =65 \Rightarrow (65\cdot 82) + 62}$

Curitiba, 14 de julho de 2016. Revisado e atualizado em 12 de outubro de 2019.

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Matemática – Aritmética – Divisão

Divisão

  • Divisão. Do mesmo modo que a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a inversa da multiplicação.

Vamos tomar um exemplo.

  • A mãe volta do trabalho e passa pelo mercado. Compra os mantimentos necessários para fazer a janta e café da manhã. Para agradar seus três filhos, passa na seção de balas e doces, pegando um pacote de bombons, com 15 unidades.
Continue lendo “Matemática – Aritmética – Divisão”

Matemática – Aritmética Quatro operações – Multiplicação (continuação).

Multiplicação

  • Vamos ver como se procede para multiplicar fatores com múltiplos algarismos. No post anterior, multiplicamos números com vários algarismos, por um algarismo. Mas há muitas situações em que isso não basta. É muito mais frequente multiplicar dois números sendo ambos formados por mais de um algarismo.
  • $\color{navy}{15\times 327= ?}$
  • Vamos começar por escrever os dois números na forma de colunas, sempre colocando como multiplicando o fator com mais algarismos.

Iniciamos multiplicando o algarismo das unidades do multiplicador (5), pelo algarismo das unidades do multiplicando. $\color{navy}{5\times 7 = 35}$. Resulta 3 dezenas e cinco unidades. Até aí fazemos igual ao que já vimos. O ${5}$ (cinco), é escrito na coluna das unidades.

Continue lendo “Matemática – Aritmética Quatro operações – Multiplicação (continuação).”