Transformar dízimas periódicas em frações.

• O que estou propondo é encontrar a fração que recebe o nome de geratriz da dízima periódica. Vamos começar com as dízimas denominadas simples, isto é, sem algarismos não repetidos. A parte periódica começa logo depois da vírgula. Vamos começar com um exemplo bem simples.
  • $\color{Brown}{0,33…= ?}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{0,33 = {3\over 9}}}$
• Temos uma fração cujos termos numerador e denominador tem divisor comum $\color{Navy}{3}$. Pode portanto ser simplificada para a forma irredutível, dividindo ambos os termos por$3$. Assim:
  • $\mathbf{\color{Navy}{{3\over 9 }  = {{3 \div 3}\over {9\div 3}} = {1\over 3}}}$
• A geratriz é uma fração que tem como numerador o período (algarismos repetidos) e como denominador tantos algarismos 9, quantos forem os algarismos do período. No exemplo acima, havia apenas um algarismo no período, portanto, também usamos apenas um algarismo 9 no denominador. Se quiser tirar a prova basta dividir o numerador (1) pelo denominador (3) e encontrará a dízima periódica
• Vejamos mais exemplos.
  • $\mathbf{\color{Navy}{0,5757…=?}}$ $\rightarrow$ $\mathbf{\color{Navy}{0,57 = {{57}\over {99}}}}$
• A fração geratriz novamente apresenta os termos com o divisor comum $\color{Navy}{3}$ e podemos determinar a sua forma irredutível.
  • $\mathbf{\color{Navy}{{{57}\over {99}} = {{57 \div 3}\over {99 \div3}} = {{19}\over{33}}}}$
• $\mathbf{\color{Navy}{0,437… = ?}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{0,437… = {{437}\over {999}}}}$
• Não há como simplificar, pois não existe divisor comum entre os termos da fração geratriz além da unidade. Por isso ela permanece assim. Já está na forma irredutível.

Continue lendo “01.030 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção, números decimais, dízimas periódicas (conversão)”