Transformar dízimas periódicas em frações.

• O que estou propondo é encontrar a fração que recebe o nome de geratriz da dízima periódica. Vamos começar com as dízimas denominadas simples, isto é, sem algarismos não repetidos. A parte periódica começa logo depois da vírgula. Vamos começar com um exemplo bem simples.
  • $\color{Brown}{0,33…= ?}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{0,33 = {3\over 9}}}$
• Temos uma fração cujos termos numerador e denominador tem divisor comum $\color{Navy}{3}$. Pode portanto ser simplificada para a forma irredutível, dividindo ambos os termos por$3$. Assim:
  • $\mathbf{\color{Navy}{{3\over 9 }  = {{3 \div 3}\over {9\div 3}} = {1\over 3}}}$
• A geratriz é uma fração que tem como numerador o período (algarismos repetidos) e como denominador tantos algarismos 9, quantos forem os algarismos do período. No exemplo acima, havia apenas um algarismo no período, portanto, também usamos apenas um algarismo 9 no denominador. Se quiser tirar a prova basta dividir o numerador (1) pelo denominador (3) e encontrará a dízima periódica
• Vejamos mais exemplos.
  • $\mathbf{\color{Navy}{0,5757…=?}}$ $\rightarrow$ $\mathbf{\color{Navy}{0,57 = {{57}\over {99}}}}$
• A fração geratriz novamente apresenta os termos com o divisor comum $\color{Navy}{3}$ e podemos determinar a sua forma irredutível.
  • $\mathbf{\color{Navy}{{{57}\over {99}} = {{57 \div 3}\over {99 \div3}} = {{19}\over{33}}}}$
• $\mathbf{\color{Navy}{0,437… = ?}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{0,437… = {{437}\over {999}}}}$
• Não há como simplificar, pois não existe divisor comum entre os termos da fração geratriz além da unidade. Por isso ela permanece assim. Já está na forma irredutível.

Vamos exercitar um pouco.

• Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas.
  • $\color{Brown}{0,555… = ?}$
  • $\color{Brown}{0,888… = ?}$
  • $\color{Brown}{0,444… = ?}$
  • $\color{Brown}{0,3535… = ?}$
  • $\color{Brown}{0,2727… = ?}$
  • $\color{Brown}{0,123123… = ?}$
  • $\color{Brown}{2,8787… = ?}$
  • $\color{Brown}{6,3434… = ?}$
  • $\color{Brown}{3,6969… = ?}$

• E se a dízima for do tipo composta, como procedemos para obter a fração geratriz?

  • Vejamos o exemplo: $\color{Maroon}{ 0,9333… = ?}$
• Vemos que há um algarismo não repetido, ocupando a posição dos décimos, na primeira casa depois da vírgula. O algarismo do período ocupa a posição dos centésimos. Podemos desdobrar a dízima em uma parte decimal e uma periódica. O denominador da parte periódica será formado por um algarismo 9, seguido de um algarismo zero, pois trata-se de centésimos. Já o algarismo da parte não periódica, é tratado como número decimal e teremos esse algarismo como numerador e como denominador o 1 (um), seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos não periódicos. Nesse caso, apenas 1 (um).
  • $\mathbf{\color{Navy}{0,933… = {9\over {10}} + {3\over {90}}}}$
• As duas frações precisam ser reduzidas ao mesmo denominador.
  • $\color{Sepia}{m.m.c. (10, 90) = 90}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{{9\over {10}} + {3\over {90}}  = {{{9\cdot 9} + {3\cdot 1}}\over {90}} = {{81 +3}\over {90}} \\ = {{84}\over {90}} = {{{84}\div 6}\over {{90}\div 6}} = {{14}\over{15}}}}$
• Há uma maneira alternativa de fazer a mesma conversão. Colocamos como numerador o número formado pela parte não periódica e o período, menos o valor da parte não periódica. No denominador colocamos tantos algarismos 9 quantos forem os do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
• $\mathbf{\color{Navy}{0,933… = {{93 – 9}\over {90}} = {{84}\over {90}} \\ = {{84 : 6}\over {90 : 6}} = {14\over 15}}}$
• Podemos notar que a fração resultante é a mesma e dessa forma encurtamos o processo, embora os dois procedimentos sejam equivalentes.
  • Vamos tratar de um caso com mais algarismos.
    • $\color{Sepia}{0,123535…=?}$ $\rightarrow$ $\mathbf{\color{Navy}{0,123535…= {{1235 – 12}\over {9900}}\\ = {{1223}\over{9900}}}}$
  • Vamos ver como fica fazendo da outra forma.
    • $\mathbf{\color{Sepia}{0,12353… = {{12}\over {100}} + {{35}\over {9900}}\\ = {{{12}\cdot {99} +{35}\cdot 1}\over {9900}} = {{1188 + 35}\over {9900}} \\ = {{1223}\over{9900}}}}$
  • Não há simplificação possível. Portanto a forma obtida é a geratriz.

• $\mathbf{\color{Sepia}{0,75454…=?}}$ $\rightarrow$ $\mathbf{\color{Navy}{0,7545…  = {{754 – 7}\over{990}} = {{747}\over {990}}\\ = {{747\div 9}\over{990\div 9}} = {{83}\over {110}}}}$

– Se fizermos pelo outro método temos:

• $\mathbf{\color{Sepia}{0,7545… = {7\over {10}} + {{54}\over {990}}\\ = {{{7\cdot 99} + {54}\cdot 1}\over {990}} = {{693 + 54}\over{990}} \\ = {{747}\over {990}} = {{747\div 9}\over {990\div 9}}\\ = {{83}\over {110}}}}$
• Podemos notar que os resultados são sempre os mesmos, sendo portanto válido usar qualquer das maneiras de resolver. Você pode adotar aquele que lhe parecer mais fácil.

Vamos a mais alguns exercícios para fixar o assunto.

• Determine a fração geratriz das dízimas periódicas compostas.
  • $\color{Navy}{0,877…=?}$
  • $\color{Navy}{2,7555…=?}$
  • $\color{Navy}{0,2888…=?}$
  • $\color{Navy}{1,56363…=?}$
  • $\color{Navy}{0,32555…=?}$
  • $\color{Navy}{0,834545…=?}$
  • $\color{Navy}{3,45777…=?}$
  • $\color{Navy}{0,321999…=?}$
  • $\color{Navy}{0,7734545…=?}$

Obs.: Havendodúvidas, faça contato comigo num dos canais fornecidos abaixo. Não se assuste, pois é apenas um raciocínio lógico. Com bastante exercícios tudo fica bem fácil. Não esqueça, para se tornar um campeão em qualquer área, é preciso treinar, exercitar. Matemática é a mesma coisa. Ninguém nasce sabendo, aprende tudo passo a passo.

Curitiba, 21 de abril de 2015 (Atualizado em 22/07/2016)

Republicado em 18 de novembro de 2017

Décio Adams

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