Uma das principais aplicações das proporções é a conhecida Regra de Três. Cabe talvez a pergunta, por que o nomeRegra de Três?
Na verdade, o nome se deve ao fato de serem fornecidos três valores e existir um quarto valor desconhecido. São valores de duas grandezas que se correspondem. A existência de proporção entre esses valores, permite que seja determinado o quarto valor, através do conhecimento dos outros três.
Normalmente essa palavra se refere a habilidade humana de raciocinar, pensar, elaborar teorias e conceitos. Aqui, na matemática, ela tem um significado ligeiramente diferente. Denominamos razãoà divisão indicada entre dois números. Facilmente ela é confundida com uma fração, o que aliás não chega a ser nada muito grave, contanto que saibamos algumas regras aplicáveis às razões. Vamos começar com um exemplo. O fato de poder ser representada da mesma forma como as frações, não atrapalha o desenvolvimento do assunto.
O que estou propondo é encontrar a fração que recebe o nome de geratriz da dízima periódica. Vamos começar com as dízimas denominadas simples, isto é, sem algarismos não repetidos. A parte periódica começa logo depois da vírgula. Vamos começar com um exemplo bem simples.
$\color{Brown}{0,33…= ?}$
$\mathbf{\color{Navy}{0,33 = {3\over 9}}}$
Temos uma fração cujos termos numerador e denominador tem divisor comum $\color{Navy}{3}$. Pode portanto ser simplificada para a forma irredutível, dividindo ambos os termos por$3$. Assim:
A geratriz é uma fração que tem como numerador o período (algarismos repetidos) e como denominador tantos algarismos 9, quantos forem os algarismos do período. No exemplo acima, havia apenas um algarismo no período, portanto, também usamos apenas um algarismo 9 no denominador. Se quiser tirar a prova basta dividir o numerador (1) pelo denominador (3) e encontrará a dízima periódica
Não há como simplificar, pois não existe divisor comum entre os termos da fração geratriz além da unidade. Por isso ela permanece assim. Já está na forma irredutível.
Pode parecer no primeiro momento que todas as frações são decimais ou números decimais, pois o resultado da divisão do numerador pelo denominador, via de regra, resulta em uma parte inteira, seguida da vírgula e uma ou mais casasdecimais. Para não deixar dúvidas, vejamos os exemplos.
$\color{Navy}{{3 \div 5} = 0,6}$
$\color{Navy}{{4 \div 7 } = 0,571428571428…}$
$\color{Navy}{{10 \div 8} = 1,25 }$
$\color{Navy}{{10 \div 7} = 1,428571428571…}$
Podemos notar que existem frações onde a divisão termina exata, isto é, o resto é zero. Há outras em que o resto nunca dá zero e os algarismos decimais se repetem em uma mesma sequência. É o caso dos exemplos 2 e 4. Aquelas frações em que a divisão dá exata, isto é resulta um número decimal exato, sem sobrar resto, são as frações decimais ou números decimais exatos.
As frações que resultam em divisão não exata com repetição de algarismos, sobrando sempre um resto diferente de zero, são frações e o resultado da divisão recebe o nome de dízima periódica. Esse nome vem do fato da repetição periódica dos algarismos resultantes no quociente. Teremos nesse caso sempre que optar por um valor arredondado, ou seja, aproximado, pois o número exato só é representado pela fração.
Ao estudar as quatro operações da aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. De onde poderíamos deduzir que, para dividir duas frações, basta dividir os numeradores entre si e os denominadores entre si. De fato, isso funciona, porém apresenta alguns problemas na hora de resolver. Mas existe uma maneira alternativa que é fácil de resolver e não apresenta dificuldades. Vamos ver um exemplo.
Escolhi essas frações por que nelas não aparece nenhum problema para fazer a divisão entre numeradores e denominadores. Assim, fica mais fácil explicar o modo alternativo que iremos utilizar na continuação. O segredo é transformar a divisão em uma multiplicação e, para isso, basta inverter os termos da fração divisor. Assim:
Vemos que o resultado é o mesmo e podemos portanto converter toda divisão de frações em multiplicação. Basta inverter a posição do numerador e denominador da fração divisor.
Se você procurar no dicionário o significado da palavra fração, deverá encontrar entre diferentes respostas uma que é relativa ao que pretendo apresentar nesse artigo. Denominamos fração a um número representado pela divisão indicada de dois números quaisquer. Ao primeiro chamamos numerador e é escrito acima de um traço horizontal ou inclinado para direita. Ao segundo chamamos denominadore é escrito abaixo do mesmo traço. Vejamos os exemplos:
No primeiro exemplo temos como numerador $\color{navy}{3}$ e denominador $\color{navy}{4}$. O numerador indica quantas partes do inteiro foram tomadas e o denominador, indica em quantas partes o inteiro foi dividido. Podemos representar isso graficamente assim:
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Fração três quartos de um inteiro.
Note que o circulo foi dividido em quatro partes iguais. Destas foi removida uma parte, restando três. Essa figura representa a fração
$\mathbf{\color{Navy}{3/4}}$ ou $\mathbf{\color{Navy}{\frac {3}{4}}}$
A parte que foi removida corresponde ao que falta para o inteiro e é representada pela fração
$\mathbf{\color{Navy}{1\over 4}}$
Obs.: Repare no detalhe do numerador, partes tomadas e do denominador, partes em que foi dividido o inteiro.
