01.028 – Matemática – Aritimética. Frações, razão, proporção, operações com frações -Divisão.

Vamos dividir frações?

  • Ao estudar as quatro operações da aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. De onde poderíamos deduzir que, para dividir duas frações, basta dividir os numeradores entre si e os denominadores entre si. De fato, isso funciona, porém apresenta alguns problemas na hora de resolver. Mas existe uma maneira alternativa que é fácil de resolver e não apresenta dificuldades. Vamos ver um exemplo.
  • \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Navy}{{\frac{6}{10}}\div{\frac{2}{5}}}}}\]
  • Fica assim:
  • \[\mathbf{\color{Navy}{\frac{(6 / 2)}{(10 / 5)}  = \frac{3}{2}}}\]

Escolhi essas frações por que nelas não aparece nenhum problema para fazer a divisão entre numeradores e denominadores. Assim, fica mais fácil explicar o modo alternativo que iremos utilizar na continuação. O segredo é transformar a divisão em uma multiplicação e, para isso, basta inverter os termos da fração divisor. Assim:

  • \[\mathbf{\color{Navy}{\frac{\frac{6}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{6}{10}\times\frac{5}{2}}}\]

Cancelando os fatores comuns entre numeradores e denominadores temos:

  • \[\mathbf{\color{Navy}{\frac{2\times 3}{2\times 5}\times{\frac{5}{2}}= \frac{3}{2}}}\]
  • Vemos que o resultado é o mesmo e podemos portanto converter toda divisão de frações em multiplicação. Basta inverter a posição do numerador e denominador da fração divisor.

Vejamos outro exemplo:

  • \[\mathbf{\color{Navy}{{\frac{3}{5}}\div{\frac{4}{7}} = \frac{3\cdot 7}{5\times 4}  = \frac{21}{20}}}\]
  • Não há fatores comuns, mas a fração resultante é imprópria, podendo ser transformada em número misto.
  • \[\mathbf{\color{Navy}{\frac{21}{20} = 1\frac{1}{20}}}\]

Agora vamos lembrar a ordem em que devem ser resolvidas as operações em uma expressão com várias operações e sinais de reunião como parênteses, colchetes e chaves.

  • Sinais de reunião: os sinais de reunião são resolvidos de dentro para fora. Em geral os mais internos são os parênteses, depois os colchetes e finalmente as chaves.
  • Operações: numa expressão, contendo várias operações em diferentes ordens, devemos resolver primeiramente as potenciações, depois multiplicações e divisões na ordem indicada, para finalmente resolver as adições e subtrações na ordem indicada.
  • Dito assim parece bastante simples. De fato é simples, desde que se tenha atenção em todos os sinais, não esquecendo de nenhum, principalmente os que ficam para solução posterior.

Exemplo 1.

  • $\color{Navy}{ 7 + \{3\times [ 15 – (6 + 4) +25 ]\}  = 7 + \{3\times[15 – 10 + 25]\} \\ = 7 + \{3\times{30}\}  = 7 + 90 = 97}$

Exemplo 2.

  • $\color{Navy}{\{18 + 2\times[12 + (21 – 9)\div 3] – 30\}\div 5  = \{18 + 2\times[12 + 12\div 3] – 30\}\div5  = \{18 + 2\times[12 + 4] – 30\}\div 5}$
  •   =
  • $\color{Navy} {\{18 + 2\times{16} – 30\}\div 5 = \{18 + 32 – 30\}\div 5  = \{50 – 30\}\div 5  = {20}\div 5 = 4 }$

Exemplo 3.

  • $\color{Navy}{{1\over2} + \left\{{3\over 5} – {2\over 10}\times\left[{7\over 3} – {5\over 6}\right]\right\}\times {2\over 3}  = {1\over2} + \left\{{3\over 5} – {1\over 5}\times\left[{{7\times 2} – {5\times 1}\over 6}\right]\right\}\times {2\over 3}}$
  • =
  • $\color{Navy}{{1\over2} + \left\{{3\over 5} – {1\over 5}\times\left[{{14 – 5}\over 6}\right]\right\}\times {2\over 3} = {1\over2} +\left\{{3\over 5} – {1\over 5}\times {9\over 6}\right\}\times {2\over 3}}$
  • =
  • $\color{Navy}{{1\over2} + \left\{{3\over 5} – {1\over 5}\times {3\over 2}\right\}\times {2\over 3}  = {1\over 2} + \left\{{3\over 5} – {3\over 10}\right\}\times {2\over 3}} $
  • =
  • $\color{Navy}{{1\over2} + {{{3\times 2} – {3\times 1}}\over 10}\times {2\over 3} = {1\over 2} + {{6 – 3}\over{10}}\times {2\over3 }= {1\over2} + {3\over{10}}\times{2\over 3}}$
  • =
  • $\color{Navy}{{1\over 2} + {1\over 5}  = {{1\times 5 + 1\times 2 }\over {10}} = {7\over {10}}}$

Exemplo 4.

  • $\color{Navy}{{{{3\over 7}\times\left[{4\over 5} + {3\over 6} – {1\over 3}\right] + {2\over 5}}\over{{2\over 5} + {1\over 7}}} \times {5\over 18}  ={{{3\over 7}\times\left [{{4\times 6 + 3\times 5 – 1\times 10}\over 30}\right] + {2\over 5}}\over{{2\times 7 + 1\times 5}\over 35 }}\times {5\over 18}}$
  • =
  • $\color{Navy} {{{{3\over 7}\times\left [{{24 + 15 – 10}\over 30}\right] + {2\over 5}}\over{{14 + 5}\over 35}} \times {5\over 18}  = {{{3\over 7}\times {29\over 30} + {2\over 5}} \over {19\over 35}}\times {5\over 18}}$
  • =
  • $\color{Navy} {{{{3\times 29}\over {7\times 30}} + {2\over 5}}\over {19\over 35}}\times{5\over18} = {{{29\over70} + {2\over 5}}\over{19\over35}}\times{5\over18}$
  • =
  • $\color{Navy}{{{{29 + 2\times 14}\over 70}\times{35\over19}}\times{5\over 18}  = {{57\over 70}\times{35\over 19}}\times{5\over 18}}$
  • =
  • $\color{Navy}{{{57\times 35\times 5}\over{70\times 19\times 18}}  = {{19\times 3\times 35\times 5}\over{35\times 2 \times 19\times 3\times 6}}}$
  • =
  • $\color{Navy}{{{1\times 1\times 1\times 5}\over{1\times 2\times 1\times 1\times 6 }}  = {5\over {12}}}$

Alguns exercícios para fixar o conteúdo.

  • Efetue as divisões entre as frações dos exemplos abaixo.
  • $\mathbf{\color{Navy}{{7\over 11}\div {14\over 33}}} $
  • $\mathbf{\color{Navy}{{5\over 8}\div{2\over 16}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{{6\over 12}\div{3\over 9}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{{8\over 5}\div {4\over 3}}}$
  •  Resolva passo a passo as expressões aritméticas.
    • $\mathbf{\color{Navy}{{25\over 5} +\{7 – 2\times3 +[{15\over 3} + {4\times 2}] – 5 \} + 6}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{\{ 6 + 8\times[3 + 5 – 2\times 3 + 9] \} \times 5}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{{3\over 7} + \{{5\over 3} + [{6\over 7} – {2\over 9}] \times {1\over7}\}\over\{{3\over 7} + {5\over 4}\}}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{\{{5\over4} – {3\over 7} + {6\over 4}\}\over \{{3\over 10} \times {7\over2}\}}}$

    Obs.: Em caso de dúvida, acesse um desses canais para fazer contato comigo e tirar suas dúvidas.

    Curitiba, 08 de abril de 2015 (Revisado e melhorado em data de hoje 21 de julho de 2016)

Republicado em 18 de novembro de 2017.

Décio Adams

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