Matemática – Aritmética – Divisão parte II

Divisão.

  • Vamos continuar aprendendo mais um pouco.
  • Vou tentar apresentar alguns exemplos onde apareçam as dificuldades que podem atrapalhar e explicar como se procede para contornar.
  • Vejamos o caso:
  • $$\color{NavyBlue}{1516\div 76 = ?}$$

Temos que dividir os três primeiros algarismos do dividendo, para ser possível. Observe que ${15\div 7 = 2}$. Isso nos daria o primeiro algarismo do quociente igual a 2. Mas, ao multiplicar ${2\times 76 = 152}$, vemos que não é possível subtrair esse valor de ${151}$. Assim, temos que reduzir o primeiro algarismo do quociente para 1. Isso acontece com frequência. É preciso ter cuidado para não se perder nesse momento.

Colocando ${1}$ no quociente e fazendo a multiplicação, subtraímos de ${151-76 = 75}$. O resto é ${75}$. Note que faltou pouco para o quociente ser ${2}$. Baixamos o ${6}$ para a direita do resto e temos o número ${756}$. Importante notar que nunca se colocam dois algarismos de uma vez no quociente. Por isso o máximo que pode aparecer é ${9}$, nunca mais. A multiplicação ${9\times 76 = 684}$, subtraímos  ${756-684=72}$. Temos portanto o resultado da divisão: $\color{NavyBlue}{1516\div 76 = 19}$, $\color{NavyBlue}{resto = 72}$ $\Leftrightarrow $ $\color{NavyBlue}{19\times 76 + \color{Red}{72} = 1516}$

$\color{NavyBlue}{5356\div 52 = ?}$

O primeiro algarismo do quociente será ${1}$ (um) e teremos resto ${1}$. Ao baixarmos o próximo algarismo, forma-se o número ${15\lt 52}$ e neste caso escrevemos, como próximo algarismo do quociente um ${0}$ (zero), antes de baixar o outro algarismo, formando agora o número ${156}$. A divisão de ${15\div5 = 3}$ o que deve permitir divisão por ${3}$ (três). Multiplicando ${3\times 52 = 156}$, que subtraído do dividendo, deixará resto${0}$ (zero). Resulta que $\color{NavyBlue}{5356\div 52 = 103}$, $\color{NavyBlue}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{103\times 52 = 5356}$.

  • $\color{NavyBlue}{4009\div 64 = ?}$

Os dois primeiros algarismos do dividendo formam um número menor que o divisor ${40\lt 64}$. Então temos que começar dividindo o número com três algarismos ${400\gt 64}$. Dividindo ${40\div 6 = 6}$, resto ${4}$. Devemos ter como primeiro algarismo do quociente o ${6}$ (seis). ${6\times 64 =384\lt 400}$. Subtraindo ${400 – 384 =16}$. Escrevemos ao lado direito do resto o último algarismo do dividendo, formamos ${169}$. A divisão ${16\div 6 = 2}$ com resto ${4}$. O próximo algarismo do quociente será ${2}$. ${2\times 64 = 128}$, que subtraído ${169 – 128 = 41}$. O quociente da divisão será pois ${62}$ e o resto ${41}$. Podemos escrever: $\color{NavyBlue}{4009\div 64 = 62}$, $\color{NavyBlue}{resto = 41}$, $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{62\times 64 +\color{red}{41} = 4009}$

  • $\color{navy}{2401\div 49 = ?}$
  • O número para começar a divisão, deve ter três algarismos, pois ${24\lt 49}$. Então ${24\div 4 = 6}$. Fazendo ${6\times 49 = 294\gt 240}$ o que não permite a divisão. Diminuímos para ${5\times 49 = 245\gt 240}$, também não permite a divisão. Devemos começar com o algarismo ${4}$ no quociente. Multiplicando ${4\times 49 = 196}$. Subtraindo ${240 – 196 = 44}$.
  • Escrevemos à direita do resto o último algarismo do dividendo ficamos com ${441}$. Dividindo ${44\div 4 = 11\gt 9}$. Portanto o próximo algarismo pode ser no máximo ${9}$. Multiplicamos ${9\times 49 = 441}$. Subtraímos ${441 – 441 = 0}$. Então:
  • $\color{NavyBlue}{2401\div 49 = 49}$,$\color{NavyBlue}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{49\times 49 = 2401}$.
  • $\color{NavyBlue}{2581\div 89 =?}$

A divisão começa pelo número ${258}$, onde temos ${25\div 8 = 3}$, restando ${1}$. Multiplicando ${3\times 89 = 267\gt 258}$. Temos que diminuir uma unidade. Agora ${2\times 89 = 178}$, que diminuído ${258 – 178 = 80}$. Escrevendo o algarismo final ${1}$ à direita do resto fica ${801}$. Para saber o valor do próximo algarismo do quociente, vejamos quanto dá ${80\div 8 = 10\gt 9}$, por isso devemos usar no máximo ${9}$. Multiplicamos ${9\times 89 = 801}$. Diminuímos ${801 – 801 = 0}$. $\color{NavyBlue}{2581\div 89 = 29}$, $\color{NavyBlue}{resto = 0}$, $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{29\times 89 = 2581}$.

Exercícios, lá vamos nós!

Efetue as divisões a seguir, usando para isso a forma de escrever os termos dentro da chave e realizando as operações, passo a passo. 

  • $\color{OliveGreen}{3792\div 65 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{7921\div 89  = ?}$
  • $\color{OliveGree}{4036\div 53  = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{5123\div 47 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{3584\div 37 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{10548\div 96 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{3230\div 65 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{3792\div 72 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{9486\div 75 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{5392\div 82 =?}$

Obs.: Em caso de qualquer dúvida, faça contato com um dos meios abaixo para tirar suas dúvidas. Mande outro tipo de dúvida que tentarei ajudar se for possível. 

Confira as respostas que obteve para os exercícios acima. 

  • $\color{OliveGreen}{3792\div 65 = 58 \Rightarrow (58\cdot 65) + 22}$
  • $\color{OliveGreen}{7921\div 89 = 89\Rightarrow(89\cdot 89) = {(89)}^2}$
  • $\color{OliveGreen}{4036\div 53  = 76\Rightarrow (76\cdot 53) + 8}$
  • $\color{OliveGreen}{5123\div 47 =109\Rightarrow (109\cdot 47)}$
  • $\color{OliveGreen}{3584\div 37 = 96 \Rightarrow(96\cdot 37) + 32}$
  • $\color{OliveGreen}{10548\div 96 = 109 \Rightarrow (109\cdot 96) + 84}$
  • $\color{OliveGreen}{3230\div 65 = 49 \Rightarrow (49\cdot 65) +45}$
  • $\color{OliveGreen}{3792\div 72 = 52 \Rightarrow(52\cdot 72) + 48}$
  • $\color{OliveGreen}{9486\div 75 =126 \Rightarrow(126\cdot 75) + 36}$
  • $\color{OliveGreen}{5392\div 82 =65 \Rightarrow (65\cdot 82) + 62}$

Curitiba, 14 de julho de 2016. Revisado e atualizado em 12 de outubro de 2019.

Décio Adams

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Matemática – Aritmética – Divisão

Divisão

  • Divisão. Do mesmo modo que a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a inversa da multiplicação.

Vamos tomar um exemplo.

  • A mãe volta do trabalho e passa pelo mercado. Compra os mantimentos necessários para fazer a janta e café da manhã. Para agradar seus três filhos, passa na seção de balas e doces, pegando um pacote de bombons, com 15 unidades.
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Matemática – Aritmética – Multiplicação

Multiplicação.

– Vamos supor que nos seja proposta a soma:

3 laranjas + 3 laranjas + 3 laranjas = 9 laranjas sem dúvida.

  • $\color{navy}{3 + 3 + 3 = 9}$
  • Quantas parcelas de 3 laranjas foram somadas?
  • A resposta será:${3}$ parcelas.

A matemática sempre procura uma forma de escrever as coisas de maneira mais simplificada, mais compacta. Nesse caso, uma soma de 3 parcelas de 3 laranjas, pode ser representada pela multiplicação

  • $\color{navy}{3\times 3}$ laranjas = 9 laranjas.
  • Podemos representar isso na forma de reunião de conjuntos do quantidades iguais de elementos.
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013.6 – Matemática, aritmética. Operações com radicais. Exercícios.

Exercitando com radicais

I.- Simplifique os radicais e efetue as operações indicadas entre eles.

a)$\left({\root 3\of {81}} + {2\cdot \root 3\of {2187}}\right)\cdot \root 3\of {625} = $

$\left({\root 3\of {3^4}} +{2\cdot \root 3\of{3^7}}\right) \cdot \root 3\of {5^4} = $

$\left({\root 3 \of{{3^3}\cdot {3}}} + {2\cdot \root 3\of {{3^6}\cdot{3}}}\right)\cdot \root 3\of{{5^3}\cdot {5}} = $

$\left({3\cdot \root 3\of {3}} + {2\cdot {3^2}\cdot\root 3\of {3}}\right) \cdot {5}\cdot \root 3\of {5} = $

$\left({3\cdot \root 3\of {3}} + {2\cdot {9}\cdot \root 3\of {3}}\right) \cdot 5\cdot \root 3\of {5} = $

$\left[{(3 + 18)\cdot \root 3\of {3}}\right] \cdot 5 \root 3\of {5} = $

$ 21\cdot\root 3\of {3} \cdot {5}\root 3\of {5} = [21\cdot 5]\cdot \root 3\of {3\cdot 5} = 105\cdot \root 3\of {15}$

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013.5 Matemática, aritmética. Redução de radicais ao mesmo índice.

Redução ao mesmo índice.

Vimos que é importante dar atenção ao índice dos radicais, especialmente na realização de algumas operações com eles. Então vejamos se é possível fazer algo para que estes índices se tornem iguais em radicais onde eles são diferentes. Vamos ver um exemplo bem simples.

$\sqrt {3} \cdot \root 3\of {5} =?$

No primeiro temos o índice 2 (subentendido) e no segundo o índice é 3. Lembram-se de um assunto visto anteriormente denominado Mínimo múltiplo comum?  ou apenas mmc? Pois é hora de recorrer a essa ferramenta de cálculo.

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013.3 – Matemática, aritmética. Simplificação de radicais

Vamos tornar os radicais mais simples

O que vimos no post anterior, permite fazer algumas transformações que nos ajudam em muitas situações a obter um radical mais simples ou escrito de forma mais conveniente à situação com que nos deparamos.

Tomemos como exemplo o radical.

$\root 6 \of {2000} = ?$

Decompondo o radicando $2000$ em seus fatores primos, teremos:

$\root 6 \of {{2^4}\cdot {5^3}}=?$

Transformando em potências com expoentes fracionários fica:

${2^ \frac{4}{6}}\cdot{5^ \frac{3}{6}} = ?$

Simplificando os expoentes ficamos com:

${2^ \frac{2}{3}}\cdot {5^\frac{1}{2}} =?$

Reescrevendo na forma de radical, fica:

$\root 3\of {2^2}\cdot \sqrt {5} $

Resultou um produto de dois radicais de índices diferentes e expoentes menores.

Vejamos um exemplo diferente:

$\root 3 \of {1728} =?$

Em fatores primos, temos:           

$\root 3 \of{{2^6}\cdot{3^3}} = ?$

Em forma de expoentes fracionários:

${2^\frac{6}{3}}\cdot {3^\frac{3}{3}} =?$

${{2^2}\cdot {3^1} = 4\cdot 3 = 12}$

Neste caso temos um radicando com raiz exata e não há mais necessidade do uso de radical.

Vamos ver outro exemplo:

$\root 5 \of {256} = ?$

Começamos novamente decompondo em fatores primos.

$\root 5 \of {2^6} = \root 5 \of {{2^5}\cdot {2}} $

Obs.: a potência $2^6$ foi desdobrada em multiplicação de potências de mesma base $ {2^5}\cdot {2}$.

${2^\frac{5}{5}}\cdot {2^\frac{1}{5}} = 2\cdot {\root 5 \of2}$

Veja que ficou bem simplificado o radical.

Mais um exemplo:

$\sqrt {216} = ?$

Da decomposição em fatores primos resulta:

$\sqrt {{2^3}\cdot {3^3}}= ?$

Escrevendo as potências como produtos de potências de mesma base, fica:

$\sqrt{{2^2}\cdot{2}\cdot{3^2}\cdot{3}} =?$

${2\cdot 3}\cdot \sqrt{2\cdot3} = 6\cdot\sqrt{6}$

Novo exemplo: $\root 3\of {10125} =?$ 

$\root 3\of {{3^4}\cdot{5^3}} =?$

$\root 3\of {{3^3}\cdot{3}\cdot{5^3}} = ?$

$ 3\cdot \root 3\of {3}\cdot {5} = 15\cdot\root 3\of{3}$

Último exemplo.

$\root 5\of {23328} = ?$

Decompondo em fatores primos.

$\root 5\of {{2^5}\cdot{3^6}} =?$

$\root 5\of{{2^5}\cdot{3^5}\cdot{3}} = 2\cdot {3}\cdot\root 5\of {3} = 6\cdot\root 5\of {3}$

Aproveite para treinar esse assunto. Simplifique os radicais da listagem abaixo.

I) $\root 3\of {243} =?$

II) $\root 5\of {9216} =?$

III)$\sqrt {6912} =?$

IV)$\root 7\of {1024} =?$

V) $\root 4\of {50000} =?$

VI) $\sqrt {24696} =?$

VII)$\sqrt {18000} =?$

VIII)$\root 3\of {10000} =?$

IX) $\root 5\of {18225} =?$

X) $\sqrt {10648} =?$

Havendo dúvidas, entre em contato para esclarecer e resolver suas dificuldades.

Curitiba, 10 de novembro de 2018

Décio Adams

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013.2 – Matemática, aritmética. Radiciação de números naturais II

Aprofundando radiciação

  • Quando fazemos a decomposição do radicando em fatores primos e o exprimimos na forma de uma potência, teremos uma forma equivalente do radical. Por exemplo:
  • $\color{Blue}{\root 3 \of{729} = \root 3 \of {3^6} }$
  • Podemos colocar esse radical na forma de uma potência, onde o expoente é uma fração. O numerador é o expoente do radicando e o denominador é o índice do radical. Teremos então:
  • $\color{Blue}{\root 3 \of {3^6} = 3^{\frac{6}{3}}}$
  • Simplificando a fração, temos: ${3^2 = 9}$
  • A raiz de índice n de um radicando na forma de potência pode ser sempre escrita na forma de uma potência com expoente fracionário e vice-versa. Se temos uma potência de expoente fracionário, podemos escrevê-la na forma de radical, cujo índice é o denominador do expoente e o numerador é o expoente da base.
  • OBS.: quando o índice é 2, dizemos que a raiz é quadrada e quando o índice é 3, a raiz é cúbica. O índice 2 pode ser subentendido, uma vez que não faz sentido falar em raiz de índice 1(hum).
  • Alguns exemplos.
    • $\color{Blue}{\sqrt {7^5} = 7^{\frac{5}{2}}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt {256} = \sqrt {2^8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^4 = 16}$
    • $\color{Blue}{\sqrt 5 = 5^{\frac{1}{2}}}$
    • $\color{Blue}{\root 3 \of {2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4}$
    • $\color{Blue}{\root 4 \of{9^2} = 9^{\frac{2}{4}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt {9} = 3} $
    • $\color{Blue}{\root 5 \of {2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4}$

O exemplo 5 mostra que podemos dividir o índice e o expoente pelo mesmo número, de modo que o radical fique simplificado. Assim podemos fazer:

  • $\color{Blue}{\root 6 \of {3^2} = \root 3 \of 3 = 3^{\frac{1}{3}}}$
  • $\color{Blue}{\root 4 \of {5^6} = \sqrt {5^3} = 5^{\frac{3}{2}} = \sqrt{5^2\cdot 5} = 5\cdot\sqrt{5} } $
  • Alguns exemplos para treinar. Vamos a eles.
    • $\color{Brown}{\root 12 \of {64} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 10 \of {25} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 18 \of {256} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 9 \of {125} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 16 \of {128} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 14 \of {144} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 3 \of {512} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 4 \of {49} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 3 \of {32} = ?}$

Experimente criar alguns. Sugiro começar calculando as potências e depois fazer o processo contrário. Não importa que você saiba a resposta antecipadamente. O objetivo é exercitar. Ajuda a gravar os valores das potências mais comuns e suas raízes de diferentes índices. Não é nada desprezível conhecer alguns desses valores de memória. Ajuda muito em alguns momentos decisivos.

Essa memória me salvou uma questão numa prova no tempo de faculdade. Demorei a encontrar o caminho da resolução e quando faltavam apenas alguns segundos para o final do tempo, cheguei a raiz quadrada do número 1296. Para minha sorte, na noite anterior eu havia resolvido e determinado essa raiz com os meus alunos no ginásio, na 5ª série e não precisei calcular. Foi o tempo de escrever a resposta e entregar a prova. Nunca mais esqueci a resposta, que é 36.

Não é proibido decorar alguns, não que deva ser uma preocupação essencial, mas em muitos casos ajuda um bocado.

Até outro momento, com mais algumas coisas sobre o assunto.

Obs.: Em caso de dúvidas, não hesite em pedir ajuda. Para isso são os canais que informo logo abaixo. Também pode perguntar sobre outros assuntos que ainda não constem do blog. Esteja à vontade. 

Curitiba, 09 de novembro de 2018

Décio Adams

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013.1 – Matemática, aritmética. Radiciação de naturais.

O caminho inverso. – Radiciação.

 

Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.

  • Vamos pegar um número, potência de 3. Esse número vai ser 243. Vamos decompor em seus fatores, para sabermos qual é o expoente ao qual foi elevada a base 3, para encontrar 243.
  • O número é ímpar e por isso não divisível por dois ou seus múltiplos. Para seguir somamos os algarismos que formam o número $2 + 4 + 3 = 9$ que é divisível por $3$

  • Fizemos cinco divisões sucessivas por $3$, até resultar quociente $1$. Dessa forma temos que $\color{Blue}{3^5 = 243}$
  • Então podemos representar:
  • $\color{Blue}{243 = 3^5 = 3\times3\times3\times3\times3} $

A base 3, elevada ao expoente 5 e obtemos a potência 243.

  • Neste caso dizemos que 3 é a raiz quinta de 243.

Essa operação inversa se denomina Radiciação  e se representa na forma de um radical, onde temos:

  • Radicando é número cuja raiz estamos determinando.
  • Índice é o número que indica o expoente ao qual deve ser elevada a raiz para resultar o radicando.
  • Raiz é a base da potenciação que resulta no radicando.

Assim, usando o símbolo:\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{ \root 5 \of {243} = 3}}\]

Continue lendo “013.1 – Matemática, aritmética. Radiciação de naturais.”