Categoria: Subtração

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01.022 – Matemática – Aritmética. Multiplicação e divisão de números relativos

Multiplicação de relativos.

  • Números positivos.

    Vamos multiplicar os números:

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+5)\times (+3)}}$
    • $\color{Navy}{(+5)\times (+3) = (+5) + (+5) + (+ 5) = 15}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+4)\times(+2)}}$
    • $\color{Navy}{(+4 )\times (+2)= (+4) + (+4)= 8}$
  • Para multiplicar números positivos multiplicamos os módulos e ao resultado damos o sinal (+). 

Obs.: Temos que lembrar de uma coisa. A multiplicação é uma soma de parcelas iguais. Temos o multiplicando e o multiplicador, isto é, o número que está sendo multiplicado e o que está multiplicando. Nada impede a inversão dessas posições, de acordo com a propriedade comutativa. Isso transforma a multiplicação em uma soma de tantas parcelas (multiplicando), iguais a quantidade expressa pelo multiplicador.

  • Números negativos.

  • Sejam os números:

    $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(- 4)\times (- 5)}}$

    $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(- 7)\times (- 4)}}$

    • $\color{Navy}{(-4)\times (-5) = {- (-4) – (-4) – (-4) – (-4) – (-4) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4}= 20}$
    • $\color{Navy}{(- 7)\times (-4) = – (-7) – (-7) – (-7) – (-7) =  7 + 7 + 7 + 7 = 28}$
  • Ao multiplicar dois números negativos, multiplicamos os módulos e atribuímos o sinal (+).
  •  Resumindo podemos dizer que na multiplicação de números de sinais iguais, o resultado é positivo. 

  • Números de sinais contrários.

Sejam os números:

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(- 6)\times (+ 3)}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+ 7)\times (-4)}}$
  • $\color{Navy}{(- 6)\times (+3) = +(-6) + (-6) + (-6) = -6 -6 -6 = -18}$
  • $\color{Navy}{(+ 7)\times (-4) = -( +7) – (+7) – (+ 7) – (+7) = – 7 – 7 – 7 – 7 = – 28}$
  • A multiplicação de números de sinais contrários é igual ao produto dos módulos, com o sinal (-), sem importar a ordem dos fatores. 

Resumindo

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+)\times (+) = \{+\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(-)\times (-) = \{+\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+)\times (-) = \{-\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(-)\times (+) = \{-\}}}$

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01.021 – Matemática, aritimética. Adição e subtração de números relativos.

Operações com números relativos – adição.

  • Números com o mesmo sinal e sinais opostos.

Vamos usar exemplos práticos. Você e seu irmão trabalham, recebendo por dia de serviço. Se seu trabalho rende $\color{Navy}{R\$ 100,00}$ por dia e o de seu irmão $\color{Navy}{R\$ 110,00}$ por dia. Quanto terão a receber ao final de um dia de serviço?

É fácil dizer que a soma será de $\color{Brown}{100,00 + 110,00 = 210,00}$. Representando os valores ganhos como números positivos, podemos escrever:

$$\color{Maroon}{(+100) + (+110,00)= + 210,00}$$

Vamos supor que vocês compraram uma muda de roupas para cada um, gastando $\color{Navy}{R\$ 90,00}$ na sua roupa e $\color{Navy}{R\$ 85,00}$ na roupa do seu irmão. O dinheiro gasto, podemos representar por valores negativos, pois irão diminuir o saldo disponível.

  • $$\color{Navy}{(- 90,00) + (- 85,00) = -175,00}$$

Vamos determinar o saldo que sobra no seu bolso e no de seu irmão.

  • $$\color{Navy}{(+100,00) + (- 90,00)= +10,00}$$

No seu bolso haverá o saldo de $\color{Brown}{R$ 10,00}$.

  • $$\color{Navy}{(+ 110,00) +(- 85,00)= +25,00}$$

No bolso de seu irmão, haverá um saldo de $\color{Brown}{R$ 25,00}$.

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01.009 – Matemática, aritmética. Propriedades das operações básicas.

Propriedades das quatro operações básicas.

O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:

  • Para que serve isso, professor?

Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza, ele será útil em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente um pouco sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.

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01.007 – Matemática, aritmética – Multiplicação II

Avançando com a multiplicação.

  • No post anterior, aprendemos a multiplicar os números com apenas um algarismo. Espero ter conseguido mostrar como se procede e que tenha dominado esse conteúdo. Havendo alguma dúvida, por favor, peça maiores explicações, fazendo um comentário expondo sua dificuldade. E quando os fatores forem números com mais de um algarismo, como iremos proceder? A operação é a mesma, apenas torna-se difícil fazer a representação concreta de conjuntos, depois contar os elementos para obter a resposta. Mas não se aflija. Novamente usaremos a escrita na forma de colunas e multiplicaremos todos os algarismos de um fator, por todos os algarismos do outro fator, escrevendo os resultados sob as colunas correspondentes. Se houver mais de uma linha, adicionaremos os valores de cada coluna, partindo da direita para a esquerda. A soma encontrada será o produto dos números. Nada melhor do que mostrar como se procede, com um bom exemplo resolvido.
  • $$\color{Brown}{18\times 4 = ?}$$

Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\times 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\times 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o $7$ à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.

$$\color{Red}{4\times 18 = 72}$$

Um outro exemplo: $\color{Brown}{6\times 35 = ?}$

Começando novamente da direita: ${6\times 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\times 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:

$$\color{NavyBlue}{6\times 35 = 210}$$

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01.006 – Matemática – Multiplicação.

Crescei e multiplicai-vos

É isso que o Criador disse aos primeiros homens a caminhar sobre a Terra. Mas a nossa multiplicação aqui é um pouco diferente. Vamos multiplicar números, começando por entender o que significa essa operação.  Observe o exemplo da figura.

Três conjuntos de dois elementos reunidos, formam a soma de três parcelas iguais. Isto e uma multiplicação.
  • $$\color{Red}{{3\times 2} = 6}$$
  • Lemos aqui: “Três vezes dois é igual a seis”.
  • Os dois números multiplicados recebem o nome de \color{Sepia}{fatores}.

  • $$\color{Blue}{{ 2 + 2 + 2} = 6}$$

    Note que o conjunto de dois elementos foi adicionado três vezes, ou seja, temos uma adição de parcelas iguais, onde cada parcela tem dois elementos. Sempre que surge a ocasião de simplificar a forma de escrever, traduzir em palavras ou símbolos uma sentença matemática, nós o fazemos. Nesse caso, fazemos a a multiplicação e fica assim:

A multiplicação na verdade é nada mais nada menos que uma adição de parcelas iguais. 

É importante lembrar desse detalhe, pois  será muito útil em situações que virão pela frente.

Dois conjuntos de três elementos reunidos formam a multiplicação de $3$ por $2$.
  • $$\color{Red}{{3 + 3} = 6}$$
  • $$\color{Spia}{2\times 3 = 6}$$
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01.005 – Matemática – Aritmética – Subtração.

Vamos subtrair

Começaremos por dizer que a subtração é a operação inversa da adição. Se na adição nós juntamos, reunimos os elementos de mais de um conjunto, na subtração fazemos o contrário. Retiramos, diminuimos os elementos de um conjunto(subtraendo), dos elementos de outro conjunto(minuendo) normalmente maior.  Por exemplo:

  • ${(♠, ♠, ♠, ♠, ♠, ♠, ♠)} – {(♠, ♠, ♠)} $
  • $= {(♠, ♠, ♠, ♠,\underbrace{ ♠, ♠, ♠})} ={(♠, ♠, ♠, ♠)}$
  •              7      –      3     =  4

Na forma de conjuntos, basta contar os elementos a serem subtraídos(subtraendo), retirando-os do conjunto (minuendo) e teremos um conjunto que é igual a diferença entre os dois. No exemplo temos 7 elementos no minuendo e 3 no subtraendo. Restaram 4 elementos no conjunto diferença. Para conferir se está certo, basta contar os elementos do resto, junto com os elementos do subtraendo e deveremos encontrar o minuendo. Você pode usar os dedos das suas mãos, dos pés, outros objetos para formar os conjuntos que ajudarão a efetuar essas operações. Com isso logo, logo, saberá de cor e salteado a diferença entre esses números pequenos, ficando mais fácil obter o resultado.

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