01.009 – Matemática, aritmética. Propriedades das operações básicas.

Propriedades das quatro operações básicas.

O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:

  • Para que serve isso, professor?

Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza, ele será útil em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente um pouco sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.

  • Adição

Vamos começar pelas propriedades da adição. Antes de falar no nome, vamos ver como a primeira funciona.

Observemos a adição:

  • $\color{Navy}{7 + 4 = ?}$$\Rightarrow$$\color{Navy}{(11)}$
  • $\color{Navy}{4 + 7 = ?}$$\Rightarrow$$\color{Navy}{ (11)}$

O que existe de diferente?

Você deve ter observado que a ordem das parcelas foi trocada. Mas o resultado foi o mesmo. Essa propriedade é denominada de:

  • Propriedade comutativa:

    A ordem das parcelas não altera a soma.

Há vários sinônimos que poderíamos usar em lugar do verbo trocar, como permutar, comutar. Parece que o nome adotado, soa melhor do que os outros adjetivos derivados dos sinônimos. Vejamos: trocativa, permutativa, alternativa.  Acho que o nome escolhido foi o melhor.

Isso pode ser aplicado em uma soma com qualquer número de parcelas. Em outras palavras, não importa em que ordem os números são adicionados. A soma será a mesma. Na aritmética em si, isso não tem grande utilidade. Mas depois, vai aparecer para que serve.

Exercite um pouco. Depois poderá criar seus próprios exercícios.

  • $\color{Brown}{9 + 11 + 13 =?}$

$\color{Brown}{9 + 11 + 13} = {13 + 9 + 11} = 33 $

  • $\color{Brown}{14 + 10 + 17 + 15 =?}$

$$\color{Brown}{{14 + 10 + 17 + 15} = {17 + 14 + 15 + 10} = 56}$$

  • $\color{Brown}{21 + 18 + 15 + 26 + 12 =?}$

$\color{Brown}{{21 + 18 + 15 + 26 + 12} = {26 + 18 + 21 +12 + 15} = 92}$$

Vamos olhar agora uma expressão com várias parcelas.

  • $\color{Blue}{12 + 8 + 25 + 15 = 25 + 12 + 15 + 8 = 60}$.

Nesse caso podemos fazer uma “associação”, como segue:

  • $\color{Blue}{(12 + 8) + (25 + 15) =  20  +  40  = 60}$

Nós substituímos na segunda parte as parcelas $12$ e $8$ por sua soma ou associação que é $20$, assim como $25$ e $15$, associados dão $40$. Observe que a soma deu o mesmo resultado. Poderíamos ter feito também a associação de forma diferente:

  • $\color{Blue}{(25 + 12) + (15 + 8) = 37 + 23   = 60}$ ou
  • $\color{Blue}{(12 + 8 + 25) + 15 = 45 + 15  = 60}$ ou ainda
  • $\color{Blue}{12 + (8 + 25 + 15) = 12 + 48 = 60}$

Essa propriedade é denominada

  • Propriedade associativa.
  •  
  • Numa soma de várias parcelas, podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação).

Vamos usar essa propriedade quando formos fazer uma coisa chamada “redução de termos semelhantes na álgebra”, e isso é sumamente importante. Aguarde para ver.

Que tal exercitar um pouco?

  • $\color{Brown}{32 + 15 + 24 = ( …+ …) +… = … + (…+ …) =…}$
  • $\color{Brown}{6 + 9 + 4 + 13 + 4 = (… +…+ …) + (…+…) =…}$

Crie seus próprios exercícios para fixar bem esse assunto.

  • Temos mais uma propriedade na adição. Vamos ver qual é?

Se tivermos a adição:

  • $\color{Blue}{5 + 8 = 8 + 5 + 0 = 13}$
  • $\color{Blue}{9 + 3 + 6 = 3 + 9 + 6 + 0 = 18}$

Note que nos dois exemplos, inserimos uma nova parcela, sem alterar o resultado. Essa parcela foi o número “zero”. Isso nos mostra que, se adicionarmos o número “zero” a qualquer soma, o resultado não se altera. Por essa razão essa propriedade é denominada:

  • Propriedade do Elemento neutro:
  • O zero é o elemento neutro da adição.

Em qualquer soma, a presença de uma parcela igual a zero, o resultado não sofre alteração.

  • Propriedade do fechamento
  • Dizemos que uma operação é fechada em um determinado conjunto numérico, se ela é sempre possível de ser realizada. 
  • Ainda não falamos de outros conjuntos numéricos e portanto estamos operando, neste momento, no conjunto dos números naturais.
  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{\{N = 0,1,2,3,3,4,6,…,\infty\}}}$
  • Observamos nos exemplos vistos antes e podemos fazer muitos outros, verificando que a adição de dois números naturais, sempre resulta em um outro número natural. Isto significa que a adição é sempre possível no conjunto N. Por isso, podemos afirmar que:
  • “A adição é fechada para o conjunto dos números naturais”. 
  • Subtração:

Vimos que a subtração é a operação inversa da adição. Será que as propriedades da adição também são válidas para a subtração?

  • Vejamos a primeira, comutativa.
  • $\color{Blue}{34 – 19 = 15}$

Vamos inverter os termos:

  • $\color{Blue}{19 – 34 = ?}$     (essa operação só se torna possível no momento em que passamos a conhecer o conjunto dos números inteiros e o resultado não é o mesmo do anterior).
  • Logo, a propriedade comutativa não se aplica à subtração.
  • Será que se aplica a propriedade associativa?

É fácil perceber que não, pois associar está ligado à ideia de somar e aqui trata-se de subtrair.

  • E a propriedade do elemento neutro?

Também não, pois só poderíamos introduzir um subtraendo com valor zero. Não podemos colocar o zero no lugar de qualquer dos termos.

  • Propriedade do fechamento: Vimos que nem sempre a subtração de dois números naturais é possível. Não podemos subtrair um número maior de outro menor. Por isso, a subtração não é fechada no conjunto dos números naturais. 
  • Assim as propriedades comutativa, associativa, elemento neutro e do fechamento não se aplicam à subtração.

Curitiba, 31 de outubro de 2017 (republicação)

Décio Adams

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