01.033 – Matemática – Aritimética, razão, proporção. Regra de três simples

Aplicação das proporções – Regra de três simples.

  • Uma das principais aplicações das proporções é a conhecida Regra de Três. Cabe talvez a pergunta, por que o nome Regra de Três? 

Na verdade, o nome se deve ao fato de serem fornecidos três valores e existir um quarto valor desconhecido. São valores de duas grandezas que se correspondem. A existência de proporção entre esses valores, permite que seja determinado o quarto valor, através do conhecimento dos outros três.

Vamos ver um exemplo.

  • Um pedreiro levanta $5$ metros quadrados de parede em $2$ horas. Quantos metros quadrados ele terá levantado ao final de um dia de $8$ horas de trabalho?

Temos no caso duas grandezas. O tempo medido em horas e a área de parede medida em metros quadrados. Admitindo um ritmo uniforme de trabalho, sem interrupções ou contratempos, podemos estabelecer uma proporção. Vamos denominar pela letra X a área de parede que será erguida ao final do dia,  o nosso valor desconhecido, teremos:

  • $\mathbf{\color{Navy}{{5\over 2}= {X\over 8}}}$
  • Para resolver o problema, basta aplicarmos a propriedade fundamental das proporções. Vejamos como fica isso.
    • $\mathbf{\color{Navy}{{5\cdot 8}= {2\cdot X}}}$
    • $\mathbf{\color{Navy} {2\cdot X = 40 }}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{ X = {40\over 2} = 20\, m^2}}$
    • Bastou passar o número $2$ (duas horas), dividindo o produto do total de horas pela área parcial. Portanto em um dia de $8\, h$ele terá construído um total de $20$ metros quadrados de parede.

Vemos que isso permite resolver uma grande variedade de problemas simples. Com o uso constante, você consegue fazer isso mesmo sem dispor de papel, pois esse é apenas o suporte para representar os números e símbolos. O raciocínio ocorre em sua mente.

  • Um motor estacionário aciona o gerador elétrico que alimenta uma indústria. A cada hora ele consome $25$ litros de óleo diesel. Se a indústria funciona durante $16$ horas diárias, quanto de óleo esse motor consumirá, ao final de uma semana de cinco dias de funcionamento?
  • Uma bomba centrífuga retira de um poço $50$ litros de água por minuto. Em quanto tempo ela terá enchido um reservatório de $2500$ litros?
  • Um tear de funcionamento contínuo, produz $10\,m^{2}$ metros quadrados por minuto. Qual será a produção em um dia de $8$ horas?
  • Produzindo tijolos de adobe, $3$ (três) pessoas conseguem preparar $100$ peças em um dia de trabalho. Para fazer uma casa, são precisos $2800$ tijolos. Quantos dias essas pessoas terão que trabalhar para concluir a produção de tijolos?
  • Se uma linha de produção de determinado modelo de automóveis consegue colocar no pátio $10$ unidades em $30$ minutos. Quantos carros serão produzidos em um turno de $8$ horas de trabalho?

Você irá encontrar uma sortida gama de exercícios na vida prática, para aplicar esse raciocínio.

Juros simples.

Vejamos outro exemplo, onde a regra de três é largamente aplicada. Vamos falar de juros simples.

  • Eu vou ao banco e aplico o capital de $R\$ 5.000,00$, à uma taxa de juros de $2\%$ ao mês, por um prazo fixo de $6$ meses. Qual será o rendimento em um mês? Qual o rendimento ao final dos seis meses? Qual será o valor total em dinheiro que terei ao final?

Temos o capital que representa $100\%$ do valor aplicado. Temos a taxa mensal e o número de meses que o capital vai ficar aplicado. Podemos determinar o rendimento em um mês e depois calcular o rendimento total, bem como o valor final que terei. Vamos ver isso passo a passo.

$\mathbf{\color{Navy}{{5000,00\over 100}= {{j_{m}}\over 2}}}$

  • $\mathbf{\color{Navy}{{j_{m}}  = {{5000,00\cdot 2}\over 100}= 100,00}}$

Terei um rendimento de $R\$ 100,00$ por mês.

  • $\mathbf{\color{Navy}{{1\over 100,00}  = {6\over j}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{ j = 100,00\cdot 6 = 600,00}}$

Em seis meses terei um rendimento de $R\$ 600,00$.

Somando o capital aplicado com o rendimento terei no final:

  • $\mathbf{\color{Navy}{{5000,00 + 600,00} = 5.600,00}}$

Poderei sacar ao final do período o valor total de $R\$ 5.600,00$ (Provavelmente terei uma contribuição a pagar à receita federal a título de imposto de renda, via de regra descontado pelo banco.  kkkkkkk)

Vamos exercitar um pouco?

  • José tem o saldo de $R\$ 7.400,00$, em sua caderneta de poupança no início do mês. Sem fazer saques nem depósitos no período, no próximo dia primeiro são creditados $0,8\%$ de juros relativos ao mês. Qual será o valor creditado? Qual será o novo saldo da conta?
  • Em um empréstimo de prazo único no valor de $R\$50.000,00$, um empresário contratou com um amigo uma taxa de juros de $3\%$ ao mês. Se o prazo é de $4$ (quatro) meses, qual será o valor que irá pagar de juros? Qual será o valor total que irá desembolsar no final para quitar o empréstimo?
  • Um banco faz empréstimos com desconto antecipado de juros, à taxa de $2,5\%$ ao mês. Um empréstimo nominal de $R\$ 20.000,00$, irá liberar um crédito de quanto, descontados os juros, se o prazo é de $3% (três) meses?
  • Ao fazer uma compra à vista, João consegue um desconto de $15\%$ sobre o valor da mercadoria. Ele comprou mercadoria no valor bruto de $R\$ 18.700,00$ (dezoito mil e setecentos reais). Qual foi o valor do desconto obtido? Qual foi o valor pago pela mercadoria?

Quer mais exercícios? Entre em contato comigo num dos canais abaixo, ou procure em qualquer manual ou mesmo caderno de concursos. É um assunto sobre o qual o número de questões existentes é muito grande.

Curitiba, 04 de maio de 2015 (Atualizado em 22/07/2016)

Décio Adams

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