01.031 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção

Razão. 

  • Normalmente essa palavra se refere a habilidade humana de raciocinar, pensar, elaborar teorias e conceitos. Aqui, na matemática, ela tem um significado ligeiramente diferente. Denominamos razão à divisão indicada entre dois números. Facilmente ela é confundida com uma fração, o que aliás não chega a ser nada muito grave, contanto que saibamos algumas regras aplicáveis às razões. Vamos começar com um exemplo. O fato de poder ser representada da mesma forma como as frações, não atrapalha o desenvolvimento do assunto.
  • $$\bbox[4px, border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Sepia} {5\div 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Sepia} {5\over 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Sepia} {5/8}}}$$

  • O número que está sendo dividido é denominado antecedente e o divisor é o consequente. É comum usar as expressões “cinco está para oito“, “cinco por oito” ou “ cinco para oito“.  Do mesmo modo que nas frações, cada razão tem valor equivalente ao de outras razões, que resultam no mesmo número decimal exato ou  periódico. Podemos determinar uma classe de equivalência para uma determinada razão. Vejamos os exemplos:
    • $$\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Brown}{3\over 4}}}$$
    • $\mathbf{\color{Navy}{{3\over 4}= {{3\cdot2}\over{4\cdot2}} ={{3\cdot3}\over{4\cdot3}} = {{3\cdot4}\over{4\cdot4}} = {{3\cdot5}\over{4\cdot5}} = {{3\cdot6}\over{4\cdot6}} ={…}}}$

Isso nos permite escrever as razões equivalentes resultantes das multiplicações.

  • $\mathbf{\color{Navy}{\left\{{3\over4} = {6\over8} = {9\over12} = {12\over16} = {15\over20} = {18\over24} = {…}\right\}}}$

Para obter a classe de equivalência de uma razão, basta multiplicar simultaneamente o antecedente e o consequente por todos os números inteiros desejados. Assim:

  • $\mathbf{\color{Navy}{\left\{{5\over3} = {10\over6} = {15\over9} = {20\over12} = {25\over15} = {30\over18} ={…}\right\}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{\left\{{1\over3} = {2\over6} = {3\over9} = {4\over12} = {5\over15} = {6\over18} = { …}\right\}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{\left\{{4\over7} = {8\over14} = {12\over21} = {16\over28} = {20\over35} = {24\over42} = { …}\right\}}}$

Se as classes de equivalência são formadas por razões que representam o mesmo valor numérico, podemos estabelecer a igualdade de qualquer par de razões de uma classe. Dessa forma teremos.

  • $\mathbf{\color{Navy}{{4\over 7} = {20\over 35}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{4 \div 7 :: 20\div 35}}$

Tanto numa forma como na outra, podemos ler a proporção assim:

“Quatro está para sete, assim como 20 está para 35”.

É habitual denominarmos os termos da proporção de extremos, e meios. Os extremos são o primeiro e último termo, no exemplo (4 e 35), os meios são os outros dois, nesse exemplo o (7 e 20). Isso não teria maior importância, se não fosse uma particularidade. Vamos multiplicar os extremos entre si e os meios entre si.

  • $\mathbf{\color{Navy}{{4\cdot 35} = 140}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{{7\cdot 20} = 140}}$

O resultado das multiplicações é o mesmo e se aplicarmos o mesmo procedimento,  verificaremos que isso acontece em todas as proporções. É conhecido como a propriedade fundamental das proporçõesque pode ser enunciado assim:

  • “Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”.

Essa propriedade é de especial importância na resolução de diversos problemas que envolvem cálculos ligados à proporcionalidade. Além da aplicação direta da propriedade, ela permite deduzir algumas outras propriedades.  Entre elas podemos começar citando:

  • Invertendo as posições dos extremos entre si a proporção não se altera.
  • $ \mathbf{\color{Navy}{{5\over 8}  = {15\over24}}}$

Vamos trocar os extremos 5 e 24. Veja como fica.

  • $\mathbf{\color{Navy}{{24\over8}  = {15\over 5}}}$

Se aplicarmos a propriedade fundamental, teremos

  • $\mathbf{\color{Navy}{{5\cdot 24} = 120}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{{8\cdot15}= 120}}$

Se olharmos nas duas proporções, veremos que nos dois casos os produtos serão os mesmos e terão os mesmos resultados.

É importante notar que as razões mudaram, mas a proporção se manteve.

  •  Invertendo os meios de uma proporção, esta se mantém.
  • $\mathbf{\color{Navy}{{7\over 9}  = {28\over 36}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{{7\over28} = {7\over 36}}}$

Novamente teremos:

  • $\mathbf{\color{Navy}{{7\cdot 36} = 252}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{{9\cdot28}=252}}$
  • Também o resultado não se altera, quando multiplicamos os extremos e os meios entre si.

Vamos aplicar as propriedades das proporções nos exemplos a seguir.

  •  Aplique a propriedade fundamental das proporções a seguir.
    • $\mathbf{\color{Navy}{{4\over9} = {20\over45}}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{{10\over8} = {40\over32}}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{{15\over21} = {35\over49}}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{{30\over38} = {90\over114}}}$
  • Aplique a propriedade fundamental das proporções, invertendo os extremos entre si e depois os meios, verificando se a proporção se mantém.
    • $\mathbf{\color{Navy}{{4\over9} = {20\over45}}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{{10\over8} = {40\over32}}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{{10\over8} = {40\over32}}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{{30\over38} = {90\over114}}}$$

Obs.: Se encontrar dificuldades na resolução dos exercícios, entre em contato por um dos canais fornecidos abaixo. Estarei a disposição para sanar as dúvidas e ajudar a superar as dificuldades.

Curitiba, 25 de abril de 2015 (Atualizado em 22/07/2016)

Republicado em 18 de novembro de 2017.

Décio Adams

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