01.013 – Matemática – Aritmética, operações com naturais. Radiciação.

O caminho inverso. – Radiciação.

Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.

  • Vamos pegar um número, potência de 3. Esse número vai ser 243. Vamos decompor em seus fatores, para sabermos qual é o expoente ao qual foi elevada a base 3, para encontrar 243.
  • Fizemos cinco divisões sucessivas por $3$, até resultar quociente $1$. Dessa forma temos que $\color{Blue}{3^5 = 243}$
  • Então podemos representar:
  • $\color{Blue}{243 = 3^5 = 3\times3\times3\times3\times3} $

A base 3, elevada ao expoente 5 e obtemos a potência 243.

  • Neste caso dizemos que 3 é a raiz quinta de 243.

Essa operação inversa se denomina Radiciação  e se representa na forma de um radical, onde temos:

  • Radicando é número cuja raiz estamos determinando.
  • Índice é o número que indica o expoente ao qual deve ser elevada a raiz para resultar o radicando.
  • Raiz é a base da potenciação que resulta no radicando.

Assim, usando o símbolo:\[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{ \root 5 \of {243} = 3}}\]

Vejamos outros exemplos:

  • $\color{Blue}{\root 3 \of {125} = 5} $$\Leftrightarrow$ $\color{Blue}{ 5^3 = 125}$
  • $\color{Blue}{\root 4 \of {256} = 4}$$\Leftrightarrow$ $\color{Blue}{ 4^4 = 256}$
  • $\color{Blue}{\sqrt {441}  = 21}$$\Leftrightarrow$$\color{Blue}{ 21^2 = 441}$
  • Alguns exercícios para praticar.
    • $\color{Blue}{\root 3 \of {64} = ? }$
    • $\color{Blue}{\root 4 \of {10000} = ?}$
    • $\color{Blue}{\root 7 \of {128} = ?}$
    • $\color{Blue}{\root 3 \of {343} = ?}$
    • $\color{Blue}{\root 5 \of {100000} = ?}$
    • $\color{blue}{\root 6 \of {729} = ?}$
    • $\color{Blue}{\root 3 \of {8000} = ?}$
    • $\color{Blue}{\sqrt {1296} = ?}$
  • Quando fazemos a decomposição do radicando em fatores primos e o exprimimos na forma de uma potência, teremos uma forma equivalente da raiz. Por exemplo:
  • $$\color{Blue}{\root 3 \of{729} = \root 3 \of {3^6} }$$
  • Podemos colocar esse radical na forma de uma potência, onde o expoente é uma fração, cujo numerador é o expoente do radicando e o denominador é o índice do radical. Teremos então:
  • $$\color{Blue}{\root 3 \of {3^6} = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2 = 9}$$
  • A raiz de índice n de um radicando na forma de potência pode ser sempre escrita na forma de uma potência com expoente fracionário e vice versa. Se temos uma potência de expoente fracionário, podemos escrevê-la na forma de radical, cujo índice é o denominador do expoente e o numerador é o expoente da base.
  • OBS.: quando o índice é 2, dizemos que a raiz é quadrada e quando o índice é 3, a raiz é cúbica. O índice 2 pode ser subentendido, uma vez que não faz sentido falar em raiz de índice 1(hum).
  • Alguns exemplos.
    • $\color{Blue}{\sqrt {7^5} = 7^{\frac{5}{2}}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt {256} = \sqrt {2^8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^4}$
    • $\color{Blue}{\sqrt 5 = 5^{\frac{1}{2}}}$
    • $\color{Blue}{\root 3 \of {2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2}$
    • $\color{Blue}{\root 4 \of{9^2} = 9^{\frac{2}{4}} = 9^{\frac{1}{2}}}$
    • $\color{Blue}{\root 5 \of {2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2}$

O exemplo 5 mostra que podemos dividir o índice e o expoente pelo mesmo número, de modo que o radical fique simplificado. Assim podemos fazer:

  • $\color{Blue}{\root 6 \of {3^2} = \root 3 \of 3 = 3^{\frac{1}{3}}}$
  • $\color{Blue}{\root 4 \of {5^6} = \sqrt {5^3} = 5^{\frac{3}{2}}}$
  • Alguns exemplos para treinar. Vamos a eles.
    • $\color{Brown}{\root 12 \of {64} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 10 \of {25} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 18 \of {256} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 9 \of {125} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 16 \of {128} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 14 \of {144} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 3 \of {512} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 4 \of {49} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 3 \of {32} = ?}$

Experimente criar alguns. Sugiro começar calculando as potências e depois fazer o processo contrário. Não importa que você saiba a resposta antecipadamente. O objetivo é exercitar. Ajuda a gravar os valores das potências mais comuns e suas raízes de diferentes índices. Não é nada desprezível conhecer alguns desses valores de memória. Ajuda muito em alguns momentos decisivos.

Essa memória me salvou uma questão numa prova no tempo de faculdade. Demorei a encontrar o caminho da resolução e quando faltavam apenas alguns segundos para o final do tempo, cheguei a raiz quadrada do número 1296. Para minha sorte, na noite anterior eu havia resolvido e determinado essa raiz com os meus alunos no ginásio, na 5ª série e não precisei calcular. Foi o tempo de escrever a resposta e entregar a prova. Nunca mais esqueci a resposta, que é 36.

Não é proibido decorar alguns, não que deva ser uma preocupação essencial, mas em muitos casos ajuda um bocado.

Até outro momento, com mais algumas coisas sobre o assunto.

Obs.: Em caso de dúvidas, não hesite em pedir ajuda. Para isso são os canais que informo logo abaixo. Também pode perguntar sobre outros assuntos que ainda não consetem do blog. Esteja à vontade. 

Curitiba, 17 de fevereiro de 2015 (revisado e reformulado em 15 de julho de 2016). (Republicado em 02/11/2017)

Décio Adams

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