01.014 – Matemática, aritmética, radiciação – propriedades.

Mais umas novidades sobre radiciação.

Multiplicação de radicais de mesmo índice.

  • Vamos ver como isso funciona.
    • $\color{Blue}{\sqrt[3]{ 5}\times\sqrt [3]{7}\times\sqrt [3]{2} =\sqrt[3]{5\times7\times2} = \sqrt[3]{70}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt [5]{2^3}\times\sqrt[5]{4^2}\times\sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3}\times\sqrt[5]{2^2}^2\times\sqrt[5]{2^3}}$
    • $\color{Blue}{ \sqrt[5]{2^3}\times\sqrt[5]{2^4}\times\sqrt[5]{2^3} = \sqrt[5]{2^{3+4+3}}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2}$
    • Podemos notar que é possível resolver uma porção de operações com potências e raízes sem recorrer a nenhum cálculo pesado. Basta aplicar as propriedades que permitem fazer uma variedade de transformações. Dos exemplos deduzimos:
  • Uma multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a um único radical, com o mesmo índice, cujo radicando é o produto dos radicandos fatores.

  • Em muitas situações ocorre o que vimos no segundo exemplo. No final resulta uma raiz cujo índice é divisor do expoente do radicando. Nesse caso podemos efetuar a divisão do expoente pelo índice e passamos a ter um número inteiro.
  • Vamos exercitar isso um pouco.

  • $\color{Brown}{\sqrt[3]{4^2}\times\sqrt[3]{16}\times\sqrt[3]{2} = ?}$
  • $\color{Brown}{\sqrt[ 8]{5^3}\times\sqrt [8]{25}\times\sqrt[ 8]{625}\times\sqrt[8]{5} = ?}$
  • $\color{Brown}{\sqrt[5]{81}\times\sqrt[5]{27^2}\times\sqrt[5]{243}\times\sqrt[5]{9^2}^2 = ?}$
  • $\color{Brown}{\sqrt {3}{2^2}^2\times\sqrt[3]{3^3}^2\times\sqrt[3]{2^3}^2\times\sqrt[3]{2}^2\times\sqrt[3]{3^2}^2 = ?}$
  • $\color{Brown}{\sqrt[4]{2^3}^5\times\sqrt[4]{2^3}^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{\sqrt[7]{5^2}^7\times\sqrt[7]{5^3}^7\times\sqrt [7]{25^2}^7 = ?}$
  • $\color{Brown}{\sqrt[3]{7^5}\times\sqrt[3]{49^2}\times\sqrt[3]{343} = ?}$
  • Do mesmo modo que procedemos com radicais de mesmo índice na multiplicação, podemos decompor o radical de um produto em um produto de radicais de mesmo índice. Vamos usar o mesmo exemplo acima, agora em sentido inverso.
  • $\color{Blue}{\sqrt [3]{70} = \sqrt[3]{2\times5\times7} = \sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{5}\times\sqrt[3]{7}}$
  • $\color{Blue}{\sqrt[5]{{2^3}\times{(2^2)}^2\times{2^3}} = \sqrt[5]{2^3}\times\sqrt[5]{(2^2)}^2\times\sqrt[5]{2^3} = \sqrt[5]{2^3}\times\sqrt[5]{2}^4\times\sqrt[5]{2^3}}$
  • Novamente vemos que há o caminho de ida e volta. Em algumas situações, se faz necessário usar artifícios, mas isso faz parte dos recursos que a matemática dispõe.
  • Vamos decompor os radicais em um produto de radicais de mesmo índice.
    • $\color{Brown}{\sqrt[5]{1444} = ?}$
    • $\color{Brown}{\sqrt[3]{16\cdot25\cdot49} = ?}$
    • $\color{Brown}{\sqrt[2]{27\times36\times75\times243} = ?}$
    • $\color{Brown}{\sqrt[7]{2\times5\times3\times7\times8} = ?}$
    • $\color{Brown}{\sqrt[6]{3^2\times5^3\times7^4} = ?}$
  • E se a situação for de divisão de radicais?

  • $\color{Blue}{\frac{\sqrt[3]{3125}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{\sqrt[3]{5^5}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{\sqrt[3]{{5^3}\cdot{5^2}}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{\sqrt[3]{5^3}\cdot\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}} = \sqrt[3]{5^3} = 5}$

Note que ao desmembrar o numerador em uma multiplicação de radicais de mesmo índice, passamos a ter termos semelhantes entre numerador e denominador. Isso permite seu cancelamento. O que sobrou foi um radical em que o índice e o expoente do radicando são iguais. O resultado é um número inteiro.

  • Vamos transformar a divisão de radicais em radical da divisão dos radicandos.
  • $$\color{Blue}{\frac{\sqrt[3]{80}}{\sqrt[3]{10}} = \frac{\sqrt[3]{{80}{10}}} = \sqrt[3]{8} =\sqrt [3]{2^3} = 2}$$
  • Nesse caso a divisão dos radicandos nos deu o número 8. Decompondo-o em fatores primos encontramos:
  • $$\color{Blue}{8 = 2^3}$$
  • Assim o índice e o expoente iguais, resultou em um número também inteiro. Nem sempre acontece isso.

Vejamos mais um exemplo.

  • $\color{Blue}{\frac{\sqrt[5]{1296}}{\sqrt[5]{144}} = \frac{\sqrt[5]{{2^4}\cdot{3^4}}}{\sqrt[5] {{2^4}\cdot{3^2}}} = \frac{\sqrt[5]{{2^4}\cdot {3^4}}}{{2^4}\cdot{ 3^2}} = \sqrt[5]{2^{4-4}\cdot 3^{4-2}} = \sqrt[5]{2^0\cdot 3^2} = \sqrt[5]{1\cdot 3^2} = \sqrt[5]{3^2}}$
  • Vamos exercitar?

  • $\color{Maroon}{\frac {\root 5\of {2187}}{\root 5\of {243}} = ?}$
  • $\color{Maroon}{\frac {\root 5\of {1728}}{\root 5\of {64}} = ?}$
  • $\color{Maroon}{\frac {\root 3\of {248}}{\root 3\of {36}} = ?}$
  • $\color{Maroon}{\frac {\root 7\of {8}}{\root 7\of {128}} = ?}$
  • $\color{Maroon}{\frac {\root 3\of {5^7}}{\root 3\of {5^{10}}} = ?}$

Você pode criar seus próprios exercícios ou encontrar em livros, provas de concursos, e aplicar o que foi visto. As opções de aplicação dessas técnicas são inúmeras e facilitam muito alguns cálculos.

Obs.: Havendo dificuldades com algum dos exercícios, dúvidas sobre algum dos procedimentos, faça contato por um dos canais fornecidos abaixo. Não há assunto excluído, dentro do campo da matemática básica e de ensino médio. 

Curitiba, 22 de fevereiro de 2015. (Revisto e reformulado em 16 de julho de 2016). Republicado em 04/11/2017.

Décio Adams

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