01.015 – Matemática, aritmética, operações com naturais, radiciação – Propriedades

Potenciação de radicais.

  • Radicais com radicandos de mesma base.

Exemplo: $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{\sqrt[3]{({3^2})^2} = {(\sqrt[3]{3^2}})^2} = {\sqrt[3]{3^2}}^2}$

Vamos transformar em multiplicação de radicais:

  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{3^2}\times\sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{3^{2+2}} = \sqrt[3]{3^{2\times 2}} = \sqrt[3]{3^4}}$

Note que o radicando agora tem como expoente o número 4, produto dos expoentes interno e externo. Como o expoente é maior que o índice, podemos decompor o radicando em uma multiplicação de potências de modo que uma tenha expoente múltiplo do índice. Assim:

  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{3^{3 + 1}} = \sqrt[3]{3^3}\times\sqrt[3]{3^1} = 3\times \sqrt [3]{3}}$
  • Temos ao final uma forma simplificada da expressão inicial. O valor permanece exatamente o mesmo do inicial.

Vejamos outro exemplo: $\color{Blue}{\sqrt[4]{({5^3})^4} = {(\sqrt[4]{5^3})^4} = {\sqrt[4]{5^3}}^4}$

Na forma de multiplicação:

  • $\color{Blue}{\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{5^{(3 + 3 + 3 + 3)}} = \sqrt[4]{5^{(4\times 3)}} = \sqrt[4]{5^{12}}}$

O expoente do radicando é múltiplo do índice. Portanto podemos simplificar, ou dividir o expoente pelo índice.

  • $\color{Brown}{\sqrt[4]{5^{12}} = 5^ \frac {12}{4} = 5^3}$
  • Portanto podemos fazer sempre a multiplicação entre os expoentes interno e externo. 
  • Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. Simplifique os radicais.
  • $\color{Brown}{(\root 2\of {3^3})^4 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 5\of {7^4})^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 6\of {4^3})^4 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 3\of {5^4})^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5 = ?}$
    • O mesmo raciocínio se aplica a um produto de radicais, elevado a uma potência. Bastará multiplicar cada um dos expoentes internos pelo externo, como no exemplo abaixo.
    • $\color{Blue}{\left(\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt[3]{3^3}\times\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{3^2}\right)^2 =\\ {\sqrt [3]{2^2}}^2\times{\sqrt[3]{3^3}}^2\times{\sqrt [3]{2^3}}^2\times{\sqrt[3]{2}}^2\times{\sqrt [3]{3^2}}^2 }$
    • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^4}\times\sqrt[3]{3^6}\times\sqrt[3]{2^6}\times\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt[3]{3^4}}$
  • Agrupando os radicais com potências de mesma base, teremos:
  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^4}\cdot\sqrt[3]{2^6}\cdot\sqrt[3]{2^2}\cdot\sqrt[3]{3^6}\cdot\sqrt[3]{3^4}\\ =\sqrt [3]{{2^4}\cdot{2^6}\cdot{2^2}}\cdot\sqrt[3]{{3^6}\cdot{3^4}}}$
  •  $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^{(4 + 6 + 2)}}\times\sqrt[3]{3^{(6 + 4)}}}$
  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^{12}}\times\sqrt[3]{3^{10}}=2^{\frac {12}{3}}\times 3^{\frac {10}{3}} = 2^4\times 3^{\frac{9}{3}}\times 3^{\frac {1}{3}}}$ $\color{Blue}{16\times{3^3}\times\sqrt[3]{3} = 16\cdot 27\cdot\sqrt[3]{3}}$
  • $\color{Blue}{432\cdot\sqrt[3]{3} =({\root5\of {3^2}}\times{\root5\of {5^3}}\times{\root5\of {3^4}})^3}$
  •  $\color{Blue}{\root5\of {3^2}^{3}\times\root5\of{5^3}^{3}\times\root5\of{3^4}^{3}=\root 5\of {3}^{6}\times\root5\of {5}^{9}\times\root5\of 3^{12}}$
  • $\color{Blue}{\root5\of 3^{9 + 12}\times\root5\of 5^{5 + 4}}$
  • $\color{Blue}{\root5\of 3^{20}\times\root5\of {3}\times\root 5\of 5^5\cdot \root5\of {5^4} = 3^{4}\times 5\cdot \root 5\of {3\times {5^{4}}}}$
  • $\color{Blue}{405\times \root 5\of {3\times {5^4}} = 405\times\root 5\of {1875}}$
  • Exercitando um pouco.
    • Simplifique as expressões.
      • $\color{Brown}{(\root 3\of {4^2}\times\root 3\of {2^3}\times\root 3\of {5^4})^3 = ?} $
      • $\color{Brown}{(\root 4\of {3^5}\times\root 4\of {6^3}\times\root 4\of {2^4})^5 = ?}$
      • $\color{Brown}{(\root 5\of {7^3}\times\root 5\of {5^4}\times\root 5\of {3^4}\times\root 5\of {15^5})^4 = ?}$
      • $\color{Brown}{(\root 2\of {3^5}\times\root 2\of {9^2}\times\root 2\of {6^3}\times\root 2\of {4^3}\times\root 2\of {6^3})^3 =?}$

Trabalhar com os radicais, usando as propriedades adequadas, permite quase sempre chegar a expressões bem mais simplificadas do que se apresentam inicialmente.

Obs.: Em caso de dúvidas sobre o conteúdo ou exercícios, faça contato por meio de um dos canais abaixo. Estou aberto a quaisquer perguntas sobre o assunto. Disponha. 

Curitiba, 04 de março de 2015 (Reformulado e melhorado em 16 de julho de 2016). Revisto e republicado em 03/11/2017.

Décio Adams

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