Matemática – Aritmética

Multiplicação de números por dez, seus múltiplos e sub-múltiplos

Vamos multiplicar os decimais por 10!

Anteriormente falamos na multiplicação de números inteiros por ${10}$ e seus múltiplos. Agora que já conhecemos os números com aproximação decimal após a vírgula, vamos ver como ficam eles, quando multiplicados por ${10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0,001}$ e assim por diante.

Vamos lembrar, onde foi que colocamos a vírgula, quando fizemos as divisões não exatas. Não foi depois dos algarismos ditos inteiros? Pois é isso mesmo. De forma que um número inteiro, tem, depois de seu último algarismo uma vírgula, que fica subentendida, uma vez que não há parte decimal. Vamos ver o que acontece com a vírgula, nessa multiplicação.

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011.1 – Matemática, aritmética. Potenciação.

Não é que eu estava esquecendo!

  • Estão lembrados que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais?

E se tivermos uma multiplicação de fatores iguais? Será que podemos pensar em uma forma de escrever isso de maneira mais resumida?

  • Por exemplo:   $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = ?}}$
  • Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito?
  • Há muito tempo ( pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu) alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
  • Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{3^6}}\]

  • Nessa forma de escrever, temos um número na forma exponencial. Lemos: três elevado a sexta potência, ou três elevado a seis.

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010.3 – Matemática, aritmética. Multiplicação. Propriedade do elemento neutro.

Elemento neutro da multiplicação.

  • Se não me engano, vimos mais uma propriedade na adição. E seu nome era Elemento neutro. Podemos adicionar o número “zero” e a soma não se altera.

Será que se multiplicarmos uma série de fatores por “zero”, o resultado não se altera?

Vejamos:

  • $\color{navy}{7\times 4\times 0  = 28\times 0 = 0}$  (soma de “zero” parcelas iguais a $\color{navy}{28}$). O resultado é zero.
  • Fica fácil perceber que “zero” não é elemento neutro da multiplicação.
  • Existirá outro número pelo qual possamos multiplicar uma série de fatores e o resultado não será alterado?
  • Vamos tentar o número $\color{navy}{1}$(um).
  • $\color{navy}{8\times 4 = 32}$
  • $\color{navy}{8\times 4\times 1 = 32\times 1 = 32}$ (soma de uma parcela igual a $\color{navy}{32}$). O resultado se manteve igual a $32$.

Vemos que na multiplicação o elemento neutro não é o número zero, mas sim o número $\color{navy}{1}$(hum).

  • Concluímos então que a multiplicação goza da propriedade do elemento neutro e esse é o número $\color{navy}{1}$(hum).

Multiplicando uma expressão pelo número 1(um), o resultado não se altera. Assim o elemento neutro  da multiplicação é o número 1(um), no conjunto dos números naturais.

  • Mas a multiplicação, goza de uma propriedade além das outras operações. E sua aplicação é muito, mas muito importante no estudo da álgebra em especial, quando iremos multiplicar expressões algébricas por termos algébricos e por outras expressões. Na hora apropriada veremos isso.

Mas que propriedade é essa? Vamos observar atentamente os exemplos a seguir.

  • $\color{navy}{4\times (7 + 5) = 4\times 12 = 48}$.
  • Substituímos o $\color{navy}{7 + 5}$ pela sua soma e multiplicamos. Vamos tentar fazer de outra maneira. Que tal multiplicar o $\color{navy}{7}$ e o $\color{navy}{5}$ por $\color{navy}{4}$. Somar os resultados e ver o que encontramos.
    • $\color{navy}{4\times (7 + 5) = 4\times 7 + 4\times 5 = 28 + 20 = 48}$

    Será que isso acontece sempre?

    • $\color{navy}{(8 + 3)\times 6 = 11\times 6 = 66}$
    • $\color{navy}{(8 + 3)\times 6 = 8\times 6 + 3\times 6 = 48 + 18 = 66}$

    Se no parênteses tivermos uma subtração, como fica?

    • $\color{navy}{(16 – 5)\times 7 = 11\times 7 = 77}$
    • $\color{navy}{(16 – 5)\times 7 = (16\times 7) – (5\times 7) = 112 – 35 = 77}$
    • OBS.: Por que eu coloquei as multiplicações entre parênteses? Isso não seria necessário, se já tivéssemos falado na ordem de precedência na realização das operações em uma expressão matemática (tanto faz que seja aritmética ou algébrica). Vamos falar disso em outro momento.

    O que notamos é que podemos efetuar a soma ou subtração e multiplicar o resultado pelo fator externo ou multiplicar cada um dos termos da soma ou subtração, para depois realizar a soma ou subtração dos resultados. A resposta final é a mesma. Nas expressões aritméticas isso não tem muita utilidade, mas, novamente veremos o quanto é importante esse procedimento no estudo da álgebra. É geralmente esse o entrave dos alunos para entender as operações algébricas.

    Que nome tem essa propriedade que acabamos de ver?

    Podemos notar que o fator que aparece multiplicando no início, é distribuído  para os termos da adição ou subtração. Exatamente por isso, essa propriedade é denominada:

    • “Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração”.

    Podemos fazer uso dessa propriedade em casos como o do exemplo a seguir.

    Temos:

    •  $\color{navy}{8\times 45 = ?}$  $\color{navy}{(360)}$

    Podemos substituir o $\color{navy}{45}$ por uma soma de duas ou mais parcelas  e o resultado não será alterado. Observemos.

    • $\color{navy}{8\times (19 + 26) = 8\times 19 + 8\times 26 = 152 + 208 = 360}$
    • $\color{navy}{8\times (14 + 20 + 11) = 8\times 14 + 8\times 20 + 8\times 11 = 112 + 160 + 88  = 360}$

    Podemos também substituir um fator por uma subtração:

    • $\color{navy}{12\times 17 = ?}$  $\color{navy}{(204)}$
    • $\color{navy}{(25 – 13)\times 17 = (25\times 17) – (13\times 17) = 425 – 221 = 204}$

    Ou     $\color{navy}{12\times 17 = 12\times (35 – 18)}$

    • $\color{navy}{(12\times 35) – (12\times 18) =  420 – 216 = 204}$

    Viu como podemos jogar com os números? É suficiente estar atento e aplicar as propriedades, as regras. Isso se consegue com exercícios, que podemos inventar facilmente, em especial nesse nível inicial. É bem por isso que esses assuntos, parecendo tão simples e até sem importância, fazem falta na hora que vamos aprender os conteúdos mais complexos e que são justamente baseados nessas questões tão elementares. Imagine uma escada. Para subir o segundo degrau, é preciso subir antes o primeiro. Não se chega ao 10º degrau, sem galgar, um a um, os nove que vem antes. Assim é com tudo, não apenas matemática, mas na matemática isso é crucial. A falta de uma parte, é igual construir uma casa, sem fazer o alicerce, ou deixar esse com buracos, falhas. Na hora que tentar construir os outros andares, ou colocar o telhado, o alicerce cede e vem tudo abaixo. Por isso eu volto a chamar atenção para a importância desses conteúdos básicos.

    • Propriedade do fechamento.

    Você já se viu em uma situação, na qual não fosse possível fazer a multiplicação de dois números naturais?

    Creio que não. Sempre que multiplicamos dois números naturais, o produto é também um número natural. Isso nos mostra que a multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais, ou seja, é sempre possível realizar a multiplicação de dois números naturas.

    • A multiplicação goza da propriedade do fechamento para o conjunto dos números naturais”. 

    Em determinadas situações isso poderá ser útil na nossa vida prática. Você irá descobrir ao longo da vida.

  • Curitiba, 19 de outuro de 2018.

Décio Adams

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01.025 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção.

Fração

  • Se você procurar no dicionário o significado da palavra fração, deverá encontrar entre diferentes respostas uma que é relativa ao que pretendo apresentar nesse artigo. Denominamos fração a um número representado pela divisão indicada de dois números quaisquer. Ao primeiro chamamos numerador e  é escrito acima de um traço horizontal ou inclinado para direita. Ao segundo chamamos denominador e é escrito abaixo do mesmo traço. Vejamos os exemplos:
  • \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Brown}{\frac{3}{4}}}}\]
  • \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Brown}{\frac{5}{7}}}}\]
  • \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Brown}{\frac {12}{9}}}}\]

No primeiro exemplo temos como numerador $\color{navy}{3}$ e denominador $\color{navy}{4}$. O numerador indica quantas partes do inteiro foram tomadas e o denominador, indica em quantas partes o inteiro foi dividido. Podemos representar isso graficamente assim:

Fração 3-4 de um círculo
Fração três quartos de um inteiro.

Note que o circulo foi dividido em quatro partes iguais. Destas foi removida uma parte, restando três. Essa figura representa a fração

  • $\mathbf{\color{Navy}{3/4}}$ ou $\mathbf{\color{Navy}{\frac {3}{4}}}$

A parte que foi removida corresponde ao que falta para o inteiro e é representada pela fração

  • $\mathbf{\color{Navy}{1\over 4}}$

Obs.: Repare no detalhe do numerador, partes tomadas e do denominador, partes em que foi dividido o inteiro.

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01.015 – Matemática, aritmética, operações com naturais, radiciação – Propriedades

Potenciação de radicais.

  • Radicais com radicandos de mesma base.

Exemplo: $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{\sqrt[3]{({3^2})^2} = {(\sqrt[3]{3^2}})^2} = {\sqrt[3]{3^2}}^2}$

Vamos transformar em multiplicação de radicais:

  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{3^2}\times\sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{3^{2+2}} = \sqrt[3]{3^{2\times 2}} = \sqrt[3]{3^4}}$

Note que o radicando agora tem como expoente o número 4, produto dos expoentes interno e externo. Como o expoente é maior que o índice, podemos decompor o radicando em uma multiplicação de potências de modo que uma tenha expoente múltiplo do índice. Assim:

  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{3^{3 + 1}} = \sqrt[3]{3^3}\times\sqrt[3]{3^1} = 3\times \sqrt [3]{3}}$
  • Temos ao final uma forma simplificada da expressão inicial. O valor permanece exatamente o mesmo do inicial.

Vejamos outro exemplo: $\color{Blue}{\sqrt[4]{({5^3})^4} = {(\sqrt[4]{5^3})^4} = {\sqrt[4]{5^3}}^4}$

Na forma de multiplicação:

  • $\color{Blue}{\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{5^{(3 + 3 + 3 + 3)}} = \sqrt[4]{5^{(4\times 3)}} = \sqrt[4]{5^{12}}}$

O expoente do radicando é múltiplo do índice. Portanto podemos simplificar, ou dividir o expoente pelo índice.

  • $\color{Brown}{\sqrt[4]{5^{12}} = 5^ \frac {12}{4} = 5^3}$
  • Portanto podemos fazer sempre a multiplicação entre os expoentes interno e externo. 
  • Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. Simplifique os radicais.
  • $\color{Brown}{(\root 2\of {3^3})^4 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 5\of {7^4})^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 6\of {4^3})^4 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 3\of {5^4})^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5 = ?}$
    • O mesmo raciocínio se aplica a um produto de radicais, elevado a uma potência. Bastará multiplicar cada um dos expoentes internos pelo externo, como no exemplo abaixo.
    • $\color{Blue}{\left(\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt[3]{3^3}\times\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{3^2}\right)^2 =\\ {\sqrt [3]{2^2}}^2\times{\sqrt[3]{3^3}}^2\times{\sqrt [3]{2^3}}^2\times{\sqrt[3]{2}}^2\times{\sqrt [3]{3^2}}^2 }$
    • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^4}\times\sqrt[3]{3^6}\times\sqrt[3]{2^6}\times\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt[3]{3^4}}$
  • Agrupando os radicais com potências de mesma base, teremos:
  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^4}\cdot\sqrt[3]{2^6}\cdot\sqrt[3]{2^2}\cdot\sqrt[3]{3^6}\cdot\sqrt[3]{3^4}\\ =\sqrt [3]{{2^4}\cdot{2^6}\cdot{2^2}}\cdot\sqrt[3]{{3^6}\cdot{3^4}}}$
  •  $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^{(4 + 6 + 2)}}\times\sqrt[3]{3^{(6 + 4)}}}$
  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^{12}}\times\sqrt[3]{3^{10}}=2^{\frac {12}{3}}\times 3^{\frac {10}{3}} = 2^4\times 3^{\frac{9}{3}}\times 3^{\frac {1}{3}}}$ $\color{Blue}{16\times{3^3}\times\sqrt[3]{3} = 16\cdot 27\cdot\sqrt[3]{3}}$
  • $\color{Blue}{432\cdot\sqrt[3]{3} =({\root5\of {3^2}}\times{\root5\of {5^3}}\times{\root5\of {3^4}})^3}$
  •  $\color{Blue}{\root5\of {3^2}^{3}\times\root5\of{5^3}^{3}\times\root5\of{3^4}^{3}=\root 5\of {3}^{6}\times\root5\of {5}^{9}\times\root5\of 3^{12}}$
  • $\color{Blue}{\root5\of 3^{9 + 12}\times\root5\of 5^{5 + 4}}$
  • $\color{Blue}{\root5\of 3^{20}\times\root5\of {3}\times\root 5\of 5^5\cdot \root5\of {5^4} = 3^{4}\times 5\cdot \root 5\of {3\times {5^{4}}}}$
  • $\color{Blue}{405\times \root 5\of {3\times {5^4}} = 405\times\root 5\of {1875}}$
  • Exercitando um pouco.
    • Simplifique as expressões.
      • $\color{Brown}{(\root 3\of {4^2}\times\root 3\of {2^3}\times\root 3\of {5^4})^3 = ?} $
      • $\color{Brown}{(\root 4\of {3^5}\times\root 4\of {6^3}\times\root 4\of {2^4})^5 = ?}$
      • $\color{Brown}{(\root 5\of {7^3}\times\root 5\of {5^4}\times\root 5\of {3^4}\times\root 5\of {15^5})^4 = ?}$
      • $\color{Brown}{(\root 2\of {3^5}\times\root 2\of {9^2}\times\root 2\of {6^3}\times\root 2\of {4^3}\times\root 2\of {6^3})^3 =?}$

Trabalhar com os radicais, usando as propriedades adequadas, permite quase sempre chegar a expressões bem mais simplificadas do que se apresentam inicialmente.

Obs.: Em caso de dúvidas sobre o conteúdo ou exercícios, faça contato por meio de um dos canais abaixo. Estou aberto a quaisquer perguntas sobre o assunto. Disponha. 

Curitiba, 04 de março de 2015 (Reformulado e melhorado em 16 de julho de 2016). Revisto e republicado em 03/11/2017.

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01.010 – Matemática, aritmética. Propriedades da multiplicação e divisão

 Propriedades da multiplicação.

  • Se para a adição existem propriedades, vamos ver a multiplicação. Afinal, em outro momento vimos que a multiplicação nada mais é do que uma adição de parcelas iguais.

Será que a propriedade comutativa é aplicável à multiplicação? (Lembremos que ela consiste em mudar a ordem das parcelas. Aqui vamos então trocar a ordem dos fatores).

Observem:

  • $\color{Blue}{7 \times 4 = ?}$$\Rightarrow$$\color{Blue}{ (28)}$
  • $\color{Blue}{4 \times 7 = ?}$$\Rightarrow$$\color{Blue}{(28)}$
  • $\color{Blue}{3 \times 6 \times 10 = ?}$$\Rightarrow$$\color{Blue}{(180)}$
  • $\color{Blue}{6\times 3\times 10 = ?} $$\Rightarrow$$\color{Blue}{(180)}$
  • $\color{Navy}{10\times 3\times 6 = ?}$$\Rightarrow$$\color{navy}{(180)}$

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01.007 – Matemática, aritmética – Multiplicação II

Avançando com a multiplicação.

  • No post anterior, aprendemos a multiplicar os números com apenas um algarismo. Espero ter conseguido mostrar como se procede e que tenha dominado esse conteúdo. Havendo alguma dúvida, por favor, peça maiores explicações, fazendo um comentário expondo sua dificuldade. E quando os fatores forem números com mais de um algarismo, como iremos proceder? A operação é a mesma, apenas torna-se difícil fazer a representação concreta de conjuntos, depois contar os elementos para obter a resposta. Mas não se aflija. Novamente usaremos a escrita na forma de colunas e multiplicaremos todos os algarismos de um fator, por todos os algarismos do outro fator, escrevendo os resultados sob as colunas correspondentes. Se houver mais de uma linha, adicionaremos os valores de cada coluna, partindo da direita para a esquerda. A soma encontrada será o produto dos números. Nada melhor do que mostrar como se procede, com um bom exemplo resolvido.
  • $$\color{Brown}{18\times 4 = ?}$$

Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\times 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\times 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o $7$ à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.


$$\color{Red}{4\times 18 = 72}$$

Um outro exemplo: $\color{Brown}{6\times 35 = ?}$


Começando novamente da direita: ${6\times 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\times 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:

$$\color{NavyBlue}{6\times 35 = 210}$$

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