011.1 – Matemática, aritmética. Potenciação.

Não é que eu estava esquecendo!

  • Estão lembrados que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais?

E se tivermos uma multiplicação de fatores iguais? Será que podemos pensar em uma forma de escrever isso de maneira mais resumida?

  • Por exemplo:   $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = ?}}$
  • Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito?
  • Há muito tempo ( pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu) alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
  • Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{3^6}}\]

  • Nessa forma de escrever, temos um número na forma exponencial. Lemos: três elevado a sexta potência, ou três elevado a seis.

Denominamos ao número $\color{brown}{3}$ de base e ao $\color{brown}{6}$ de expoente. Em algumas situações, principalmente em programas de informática, a forma de indicar a potenciação é feita de maneira um pouco diferente:

$3^{6}$

Isso facilita no momento da programação. Na linguagem dos computadores isso torna o processo mais fácil. Mas em geral a forma usada é essa descrita acima. Vejamos a leitura de alguns números exponenciais.

  • $\color{Green}{5^2}$ ⇔ cinco elevado à segunda potência ou cinco elevado à dois.
  • $\color{Green}{7^3}$ ⇔ sete elevado a terceira potência ou sete elevado a três.
  • $\color{Green}{2^5}$ ⇔ dois elevado à quinta potência ou dois elevado a cinco.

No caso específico dos expoentes serem $\color{navy}{2}$ e $\color{navy}{3}$, existe uma forma especial de enunciar essas potências. Por exemplo:

  • $\color{Green}{6^2}$ ⇔ seis elevado ao quadrado.
  • $\color{Green}{8^3}$ ⇔ oito elevado ao cubo.
  • Por que isso? É que no cálculo da área de um quadrado, multiplicamos o lado por ele mesmo e isso pode ser representado pela potência de expoente $\color{Green}{2}$. Então qualquer potência de expoente dois, diz-se que é um quadrado.
  • Já o volume de um cubo, é igual à medida de sua aresta (lado das faces) elevada à terceira potência. Por isso adotou-se denominar as potências de expoente $\color{Green}{3}$, de cubos.
  • $\color{Green}{4^2}$ ⇔ quatro ao quadrado.
  • $\color{Green}{5^2}$ ⇔ cinco ao quadrado.
  • $\color{Green}{(11)^3}$ ⇔ onze ao cubo.
  • $\color{Green}{9^3}$ ⇔ nove ao cubo.
  • Vamos transformar algumas multiplicações de fatores iguais em potências e depois, potências em multiplicações de fatores iguais.
    • $\color{Brown}{5 \times 5\times 5\times 5 = 5^4}$
    • $\color{Brown}{7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7 = 7^7}$
    • $\color{Brown}{12\times 12\times 12 = (12)^3}$
    • $\color{Brown}{8^5 = 8\times 8\times 8\times 8\times 8}$
    • $\color{Brown}{6^4 = 6\times 6\times 6\times 6}$

Fácil né. Talvez, quem teve a ideia de fazer isso, nem pensasse no que acabaria virando sua criação. Depois de se difundir essa forma de representar multiplicações de múltiplos fatores iguais, começou-se a descobrir uma porção de propriedades que fazem parte hoje do nosso arsenal de recursos usados nos diversos cálculos. No próximo post daremos sequência. Nenhum matemático de hoje pensaria em dispensar o uso desses recursos de cálculo.

  • Uns exercícios para treinar.

    • Escreva na forma de potenciação as multiplicações.
      • $\color{Green}{3\times 3\times 3\times 3\times 3 =?}$
      • $\color{Green}{8\times 8\times 8 =?}$
      • $\color{Green}{6\times 6\times 6\times 6 =?}$
      • $\color{Green}{4\times 4\times 4\times 4\times 4 =?}$
    • Escreva na forma de multiplicação as potências.
      • $\color{Green}{7^5 = ?}$
      • $\color{Green}{(13)^3 =?}$
      • $\color{Green}{9^4=?}$
      • $\color{Green}{5^1 =?}$
      • $\color{Green}{(1000)^0 =?}$
      • $\color{Green}{3^7=?}$

Havendo dúvidas, não pense duas vezes. Peça ajuda e ela será providenciada.

Curitiba, 05 de novembro de 2018.

Décio Adams

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