011.2 – Matemática, aritmética. Operações com naturais – Potenciação. Operações com potencias.

Operações com potências

Vamos começar por um ponto bem simples.

  • Seja: $\color{Brown}{3^5 \times 3^2 = 243 \times 9 = 2187}$
  • Mas podemos fazer: $\color{Brown}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3)\times (3\times 3) = ?}$

Note que agora temos uma multiplicação de $\color{Brown}{7}$(sete) fatores iguais e podemos escrever então:

  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{3^5 \times 3^2 = 3^{(5+2)} = 3^7}}\]

Isso nos mostra que, quando multiplicamos potências de mesma base, podemos somar os expoentes e deixar o resultado na forma exponencial.

  • “Para resolver um produto de potências de mesma base, somamos os expoentes e conservamos a base”.

Não vou usar aqui letras para substituir os números, pois ainda não falei de álgebra. Estou tratando apenas de aritmética, onde não entram símbolos alfabéticos.

  • Vamos exercitar?
  • $\color{Brown}{6^2\times6^4 =?}$
  • $\color{Brown}{4^3\times4^2\times4^5=?}$
  • $\color{Brown}{2^1\times2^2\times2^2\times2^3=?}$
  • $\color{Brown}{5^3\times5^4\times5^2=?}$
  • Obs.: eu coloquei de propósito no terceiro exercício uma potência de expoente $\color{Blue}{1}$. Por que isso? Existe uma demonstração para provar isso, mas trataremos disso daqui a pouco. Mas se o expoente é $\color{Blue}{1}$, significa que teríamos uma multiplicação de $\color{Blue}{1}$(um) fator igual a $\color{Brown}{2}$. Então o seu resultado só poderia ser dois. Por extensão, todos os números escritos sem expoente, tem automaticamente como expoente o número $\color{Brown}{1}$, subentendido. De maneira que não é preciso escreve-lo, pois sabemos que ele existe. Em outro momento vamos demonstrar quanto vale uma potência de expoente $\color{Brown}{0}$ (zero).
  • E se em em vez de multiplicar potências de mesma base, estivermos dividindo essas potências?
  • Assim: $\color{Brown}{2^7 : 2^5 = 128 : 32 = 4}$

Podemos notar que $\color{Brown}{4 = 2^2}$.

  • Olhando bem para o resultado, vemos que esse último expoente é igual a $\color{Brown}{(7 – 5)}$, ou seja a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor. Então podemos resolver a divisão de potências de mesma base, fazendo a subtração dos expoentes (dividendo – divisor) e conservar a base. Vamos ver outros exemplos.
  • $\color{Brown}{6^5 : 6^3 = 6^{(5-3)} = 6^2}$
  • $\color{Brown}{7^8 : 7^5 = 7^{(8-5)}=7^3}$
  • $\color{Brown}{3^{12} : 3^7 = 3^{(12 – 7)} = 3^5}$

É possível perceber que a divisão dessa forma fica facilitada. Em lugar de multiplicarmos os números, encontrar o resultado das potências e depois dividir, para transformar novamente em potência, fazemos apenas uma subtração e o resultado aparece de forma simples.

  • Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e efetuamos a subtração do expoente do dividendo menos o do divisor”.

Assim fica fácil. São os primeiros degraus, antes dos outros que vem a seguir.

Falei antes que iria demonstrar por que os números com expoente $\color{brown}{1}$, são iguais à base. É bem fácil.

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{3^5 : 3^4 = 3^{(5-4)} = 3^1}}$
  • Vamos desenvolver as potências:
    • $\color{Brown}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3) : (3\times 3\times 3\times 3) = 243 : 81  = 3}$

    A divisão feita na forma de potências resultou $\color{Brown}{3^1}$ e com os números representados pelas potências o resultado foi $\color{Brown}{3}$. Será que pode mudar o valor do resultado, pelo simples fato de representar os números de forma diferente?

    É claro que não. Isso invalidaria uma das fórmulas de cálculo. E então podemos dizer que $\color{Brown}{3^1 = 3}$. Isso se aplica a todos os números. O número escrito sem expoente, sempre se subentende que ele têm por natureza o expoente $\color{Brown}{1}$. Certo?

    Potências de expoente igual a unidade, tem valor igual à base”.

    Agora vamos ver outro caso

    • $\color{Brown}{6^2 : 6^2 = 6^{(2 -2 )} = 6^0}$

    Desenvolvendo as potências:

    • $\color{Brown}{(6\times 6) : (6\times 6) = 36 : 36 = 1}$

    O resultado das duas formas de fazer a divisão deu diferente. Já vimos que isso não pode acontecer. Qual é a conclusão?

    • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{6^0=1}}$

    Novamente isso se aplica a qualquer número. Se o seu expoente for igual a $\color{Brown}{0}$ (zero), o valor do número é $\color{Brown}{1}$.

    • Qualquer potência de expoente $0$(zero) tem valor igual a unidade”.
    • Uns exercícios para treinar.

      • Efetue as multiplicações de potências de mesma base.
        • $\color{Blue}{7^3\times7^2\times7=?}$
        • $\color{Blue}{5^2\times5^4\times5^3 =?}$
        • $\color{Blue}{8^7\times8^3=?}$
        • $\color{Blue}{3^4\times3^2=?}$
      • Efetue as divisões de potências de mesma base.
        • $\color{Blue}{(12)^5 : (12)^2 =?} $
        • $\color{Blue}{(15)^6:(15)^2=?}$
        • $\color{Blue}{9^4:9^1=?}$
        • $\color{Blue}{8^5:8^5=?}$
        • $\color{Blue}{7^4:7^3=?}$
        • $\color{Blue}{3^5 : 3^4 =?}$
        • $\color{Blue}{(11)^3 : (11)^3 = ?}$
        • $\color{Blue}{(45)^7 : (45)^7 = ?}$
        • $\color{Blue}{5^7 : 5^6 = ?}$

    Se for de seu desejo, é fácil criar novos exercícios semelhantes. Os números estão à sua disposição. Eles não reclamam, não cobram nada mais do que atenção e raciocínio.

    Obs.:Em caso de dúvida, faça contato para esclarecer e sanar sua dificuldade, usando um dos meios fornecidos logo abaixo. Mesmo que a dificuldade seja de outra ordem, dentro de matemática, talvez eu possa ajudá-lo. Não espere a dúvida ficar velha, de cabelos brancos e criar problemas. 

    Curitiba, 05 de novembro de 2018

    Décio Adams

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