01.036 – Matemática – Álgebra, introdução e conceitos básicos.

Iniciação à álgebra.

A origem da palavra “álgebra”, é um tanto dúbia. Supõe-se que tenha surgido a partir de um livro de um matemático árabe, escrito no ano 825 d.C. No título desse livro há a palavra “al-jabr” e o assunto é exatamente o estudo do que hoje denominamos com esse nome.

Traduzindo para uma linguagem comum e direta, consiste na substituição de números (algarismos) por letras ou outros símbolos. O uso das letras universalizou-se, uma vez que isso dispensa a criação de uma nova coleção de símbolos para representar números de qualquer valor. Usamos tanto o alfabeto latino, como o grego, além de alguns símbolos criados especialmente para indicar operações matemáticas. Poderia alguém perguntar:

  • Qual a utilidade de substituir números por letras?
  • À primeira vista, parece não oferecer nenhuma vantagem. Quando porém ingressamos nas aplicações mais complexas da matemática, para solucionar problemas, percebemos a utilidade desse procedimento. Há sempre um valor a ser determinado, que denominamos incógnita e aí começa o uso de letras para representar esses números desconhecidos em determinada situação.

Quais letras usar?

Existem dois conceitos que precisamos deixar claros para começar a substituir números por letras. Temos em álgebra as constantes  e as variáveis. 

  • Constante é um valor fixo, invariável, pelo menos dentro de determinado problema.
  • Variável é um valor que pode variar, de acordo com determinados critérios.

Convencionou-se usar as letras iniciais do alfabeto, tanto minúsculas como maiúsculas, para representar valores constantes e as finais para representar valores variáveis. Isso não é algo rígido. Não é nenhum dogma e não há “pecado” em eventualmente fazer o contrário, porém, na maior parte das vezes, é assim que funciona. Já se faz isso há muito tempo. Vamos ver como é. Vamos traduzir algumas “frases” em sentenças matemáticas, usando números e letras para sua representação.

  1. A soma de dois números. Podemos usar: $$\color{Sepia}{a + b} $$ $$\color{Sepia}{m + n} $$ $$\color{Sepia}{ x + y}$$
  2. A diferença entre dois números.  $$\color{Sepia}{c – d} $$ $$\color{Sepia}{ p – q} $$ $$\color{Sepia} {u – v} $$
  3. O produto de dois números: $$\color{Sepia} {h\cdot g}$$ $$\color{Sepia}{r\cdot q}$$ $$\color{Sepia}{i\cdot j}$$
  4. O produto de três números: $$\color{Sepia}{a\cdot b\cdot c}$$ $$\color{Sepia}{l\cdot m\cdot n}$$ $$\color{Sepia}{v\cdot w\cdot z}$$ $$\color{Sepia}{p\cdot q\cdot r}$$
  5. O dobro de um número mais o triplo de outro número. $$\color{Sepia}{{2\cdot a} + {3\cdot b}}$$ $$\color{Sepia}{2\cdot i + 3\cdot j} $$ $$\color{Sepia}{{3\cdot p} + {2\cdot q}}$$
  6. O dobro do produto de dois números. $$\color{Sepia}{2\cdot a\cdot b}$$ $$\color{Sepia}{2\cdot m\cdot n}$$ $$\color{Sepia}{2\cdot r\cdot s}$$

Dessa forma podemos representar qualquer sentença matemática, dita em palavras, usando apenas alguns números, letras e símbolos de operações. Para fixar o que vimos, vamos fazer uns exercícios.

  1. Escrever na forma simbólica as sentenças.

a) O triplo de um número somado com o quíntuplo de outro número.

b) Um número adicionado ao dobro de outro.

c) O produto de dois números, adicionado ao produto de outros dois.

d) O quíntuplo da soma de dois números.

e) A metade do produto de dois números.

f) Um quinto do produto de três números.

g) A metade de um número, mais a terça parte de outro.

h) A diferença entre o triplo de um número e o dobro de outro.

Notamos que as multiplicações entre as letras ficam indicadas por um ponto colocado entre elas ou um $\color{Blue}\times$. Os matemáticos sempre procuram tornar as coisas mais simples, eliminando o que pode ser dispensado ou subentendido. Por essa razão, podemos indicar a multiplicação de dois números representados algebricamente, sem a colocação do ponto. Dizemos nesse caso que eles ficam justapostos.

Sempre que justapomos duas letras, representando números, significa que seus valores são multiplicados. 

O mesmo acontece com sinais de reunião como parênteses, colchetes e chaves. Não havendo entre eles sinal de operação, fica subentendido que trata-se de multiplicação. Vejamos como fica.

$\color{Red}{2ab}$ isso significa “o dobro do produto de dois números”.

$\color{Red}{3xyz}$ Significa “o triplo do produto de três números”.

Pode-se notar que fica mais fácil de escrever. Economiza tempo e torna a expressão mais compacta.

Nos exemplos acima, observamos que existem casos onde os números que compõe a sentença, são todos unidos por multiplicação e outros onde são separados por sinais de adição ou subtração. Há uma classificação dessas sentenças, conforme a quantidade de partes que as compõe.

  1. Termo algébrico ou monômio, é uma sentença com um grupo de números unidos entre si por uma operação de multiplicação. Exemplos.

$\color{Sepia}{ 3xy}$   $\color{Sepia}{ghi}$   $\color{Sepia} {4mn}$    $\color{Sepia}{5pqr}$.

Obs.: A denominação de monômio vem de “mono”, que é tomado do latim significando 1(hum).

2. Expressão algébrica ou polinômio, são vários grupos de números, multiplicados entre si e separados por um sinal de adição ou subtração.

$\color{Red}{{ab} + {2abc} + {3 cde}}$    $ \color{Red}{{5 a} + {3 b}} $     $\color{Red}{{6 xy} + {vx} + {uvz} + {xz}}$

Obs.: “Polinômio” vem do latim também, significando mais de um, múltiplos ou muitos

3. Há a classificação de expressões com denominações especiais para as que tem dois termos. São os binômios. $\color{Sepia}{{l} + {2m}} $    $\color{Sepia}{{5a} + {3ab}}$

4. Também as expressões com três termos, recebem a denominação trinômios. $$\color{Red}{{mn} + {lm} + {pq}}$$  $$\color{Red}{{xy} + {3xz} + {2yz}}$$

Obs.: Para expressões com mais de três termos não existem denominações especiais. São todos denominadas polinômios. 

Coeficiente numérico e parte literal.

Nos exemplos também pode-se observar a existência de termos algébricos onde uma parte é expressa por um número, com um ou mais algarismos. Temos aí o que se denomina coeficiente numérico. A parte representada por letras, é chamada de parte literal. Vejamos os exemplos.

$\color{Sepia}{ 3 ab^2}$ Separando temos que o coeficiente numérico é o algarismo $\color{Red}{3}$ e a multiplicação de  $\color{Red}{ab^2}$ é a parte literal.

$\color{Sepia}{mnp}$ Podemos ser levados a dizer que neste termo algébrico o coeficiente numérico é “zero”, o que seria um erro grave. Se multiplicássemos os demais números por “zero”, o resultado seria nulo. Por isso, sempre que o coeficiente não vier escrito antes das letras em um termo algébrico, é subentendido que ele é igual a $1$. Assim: $\color{Sepia}{xy}$ Se fizermos a separação do coeficiente numérico e da parte literal, teremos:

Coeficiente numérico:  1(hum)

Parte literal: xy

$\color{Sepia}{{ab}\over 7}$. Neste caso o coeficiente numérico do numerador da fração é igual a $\color{Red}{1}$ e o denominador é $\color{Red}{7}$. Portanto o coeficiente numérico do termo será $\color{Red}{1\over 7} $

Não há termo algébrico sem coeficiente numérico, por menor que seja o seu valor.

Termos semelhantes

Costumamos nos referir às outras pessoas, como “nossos semelhantes”. Por que isso? Embora sejamos biologicamente da mesma espécie, tenhamos os mesmos órgãos, a mesma forma básica, o mesmo número de membros, não somos iguais. Nem mesmo os gêmeos univitelíneos são totalmente iguais. Há sempre algum pequeno detalhe que permite distinguir um do outro.

Na álgebra acontece a mesma coisa. Denominamos termos semelhantes àqueles termos em que a parte literal é exatamente igual. O coeficiente numérico pode ser igual ou diferente, que isso não importa. Ele apenas indica por quanto a parte literal está sendo multiplicada. Para identificar os termos que são semelhantes, temos que observar as letras e seus respectivos expoentes, que fazem parte desse segmento da expressão. Assim podemos dizer que:

$\color{Sepia} {xy }$   $\color{Sepia}{3xy}$   $\color{Sepia}{(xy)/2} $ São termos semelhantes, pois suas partes literais são estritamente iguais. Os coeficientes são diferentes, mas isso não conta nesse caso.

$\color{Sepia}{2mn}$   $\color{Sepia}{2mp} $   $\color{Sepia}{2np}$ Não são termos semelhantes, pois, mesmo os coeficientes sendo iguais, as partes literais são diferentes entre si. É importante prestar atenção nesse detalhe. Isso é muito importante para a continuação do estudo das partes que vem em seguida.

Exercitando um pouco antes de seguir em frente.

01. Identificar o coeficiente numérico dos termos algébricos abaixo.

1.1. $\frac{3}{7}\times ax^{2}$$\Rightarrow$ …

1.2.$\sqrt{12}\cdot mn$$\Rightarrow$…

1.3.$5^{2}\times xy^{3}$$\Rightarrow$…

1.4.$\sqrt\frac{rs}{5}$$\Rightarrow$…

1.5. $\frac{ay^{5}}{7}$$\Rightarrow$…

1.6. $2\cdot\frac{bx^{5}}{2z}$$\Rightarrow$…

1.7. $\sqrt[3]{27}\times nu^{7}$$\Rightarrow$…

1.8. $\frac{ac^{2}y}{15z}$$\Rightarrow$…

1.9. $ [(3^{2}]^{3}\times a^{3}y^{5}$$\Rightarrow$…

1.10. $2(\frac{3}{5})\times m^{3}x^{2}$$\Rightarrow$…

02. Identifique a parte literal dos monômios que seguem abaixo.

2.1.  $2\times \frac{ax}{3y}$$\Rightarrow$…

2.2. $7\cdot\sqrt{x^{3}y^{2}}$$\Rightarrow$…

2.3. $\sqrt[5]{7}\cdot{cd^{5}}$$\Rightarrow$…

2.4. $9\cdot{rsu^{3}}$$\Rightarrow$…

2.5. $\frac{4}{5}\cdot{a^{2}x^{3}}$$\Rightarrow$…

No próximo post estaremos dando seguimento a esse assunto. Vamos fundo agora que começamos. Havendo dúvidas, não perca tempo e consulte para sanar as dificuldades.

Curitiba, 26 de março de 2016.

Republicado em 19 de novembro de 2017, com algumas correções de pouca monta.

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