Categoria: Geometria plana

15 de fevereiro de 202028 de maio de 2020

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Matemática – Geometria. Geometria plana.

Circunferência e círculo

Acabamos de estudar os polígonos regulares e neles foi possível observar que, na medida em que aumenta o número de lados, a forma do polígono torna-se mais arredondada. Inclusive a circunferência inscrita e circunscrita têm a medida de seus raios cada vez mais próximos um do outro. Por essa razão, quando o número de lados tende para o infinito, passamos a ter uma figura denominada circunferência.

Para simplificar, definimos a circunferência como sendo a figura $\lambda(O,R)$ onde o ponto $O$ é o centro e $R$ é a medida do raio. Dessa forma a circunferência é uma linha poligonal fechada, cujos pontos estão todos a uma distância $R$ do ponto $O$.

Os pontos A e B, estão ambos situados a distância $R$ do centro $O$. Por isso dizemos que eles fazem parte da circunferência.

$d_{OA} = R \land d_{OB} = R$$\Leftrightarrow$$d_{OA} = d_{OB}$

Já os pontos $C \land D$, não pertencem à circunferência, pois:

$d_{OC} \lt R$$\Rightarrow$ ponto interior.

$d_{OD}\gt R$$\Rightarrow$ ponto exterior.

Círculo

É frequente confundirmos círculo e circunferência. Como acabamos de ver, a circunferência é a linha poligonal fechada, ou seja, é o perímetro da figura plana, que denominamos círculo.

Assim podemos afirmar que o círculo é uma área plana, limitada por uma circunferência de mesmo raio.

Observemos a figura ao lado. É um círculo, pois tem o perímetro que é uma circunferência e todos os pontos interiores fazem parte da figura.

Comprimento da circunferência:

Houve muitos matemáticos que se empenharam em determinar uma forma de calcular o comprimento da linha perimetral do círculo, ou seja, a sua circunferência. Após muitas tentativas, chegou-se a uma aproximação aceita universalmente, tendo inclusive determinados os algarismos decimais em muitos milhares. O resultado é um número irracional $\pi$, que resulta da divisão do comprimento da circunferência pela medida do raio. As maiores dificuldades residem na determinação, com o máximo de precisão possível dessas medidas.

$C = 2\cdot\pi\cdot R$

Diâmetro

É o dobro da medida do raio. É em verdade uma corda que passa pelo centro. Por isso:

$D = 2\cdot R$

$C = D\cdot\pi$

Área do círculo

Para determinar a área de um círculo usamos a expressão: $A = \pi\cdot R^2$

Sendo $D = 2R$$\Leftrightarrow$$R = {D\over 2}$

$A = \pi\cdot\left(\frac{D}{2}\right)^{2} = \frac{\pi\cdot D^{2}}{4}$

Semi-círculo e arco de circunferência.

Um diâmetro divide o círculo ao meio. Cada metade denominamos semi-círculo. Veja a parte em verde na figura que segue.

Qualquer segmento de reta traçado entre dois pontos da circunferência, sem passar pelo centro, é uma corda. Como podemos ver na figura ao lado. Os pontos compreendidos entre os pontos $P$ e $Q$ da corda, formam um arco de círculo. Do mesmo modo também os pontos da circunferência que fazem parte do semi-círculo, são um arco de círculo. Neste caso trata-se de meia circunferência.

Setor circular

Se você já cortou uma “pizza” circular, retirando uma “fatia”, essa mesma é um exemplo de setor circular. Veja na figura ao lado. Podemos calcular a área do setor circular, bastando que tenhamos a medida do ângulo formado pelos lados do setor.

Digamos que a fatia retirada tenha a medida de um ângulo de $60^{0}$ ou seja $\frac{\pi}{3}$.

Se dividirmos a área do círculo em partes iguais, cada uma a $\pi\, rad$ e multiplicarmos pelo ângulo da fatia, teremos a área da mesma.

$A_{S} = \frac{\pi\cdot R^{2}}{2\pi}\cdot \frac{\pi}{3}$

$A_{S} = \frac{\pi\cdot R^{2}}{6}$

Ficaria faltando apenas a medida do raio do círculo.

Ângulo central é o ângulo de um setor circular. O vértice fica no centro do círculo.

Vale lembrar que o resto do círculo também será um setor circular.

Coroa circular

Forma-se uma coroa circular se cobrirmos um círculo maior, por um outro, pouco menor que o primeiro, de modo que os centros fiquem coincidentes. Ficará aparecendo apenas uma estreita faixa do primeiro. É essa faixa que denominamos coroa circular.

A área da coroa circular é a diferença entre as áreas dos dois círculos sobrepostos, o que pode ser resumido assim:

$A_{cor}= {\pi\cdot {R_{2}}^{2} – \pi\cdot{R_{1}^{2}}}$

$A_{cor}= \pi\cdot\left({{R_{2}}^{2}-{R_{1}^{2}}}\right)$

Exercícios

01. A respeito da definição básica das circunferências e de suas propriedades, assinale a alternativa correta.

( )a) uma circunferência é uma região plana limitada por um círculo;

( )b) uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o centro é sempre menor do que a constante r;

( )c) uma circunferência possui apenas dois raios e a soma desses dois elementos é igual ao diâmetro;

( )d) uma circunferência de centro O e raio r é um conjunto de todos os pontos cuja distância até O é igual a r;

( )e) círculo é a região do plano limitada por um diâmetro.

02. Dada uma circunferência de centro O e raio r, assinale a alternativa correta:

( )a) dado um ponto A, fora da circunferência, o segmento OA é menor ou igual a r;

( )b) sabendo que $\overline{OA}$ tem comprimento menor do que $r$, pode-se afirmar que A pertence ao círculo limitado por essa circunferência;

( )c) sabendo que $\overline{OA}$ tem comprimento maior do que $r$, pode-se afirmar que A pertence à circunferência;

( )d) o diâmetro do círculo limitado por essa circunferência é igual a $3r$;

( )e) para que o ponto A pertença à circunferência, basta que a distância $\overline{AO}$ seja menor do que $r$.

03. Determinar o diâmetro e a área de um círculo (respectivamente), cujo perímetro mede 36π cm.

( )a) $63,0\, cm \land 300\pi\,cm^{2}$;

( )b) $36,0\, cm \land 324\pi\,cm^{2}$;

( )c) $50,0\, cm \land 324\pi\, cm^{2}$;

( )d) $36,0\, cm \land 300\pi\, cm^{2}$;

( )e) $43,0\, cm \land 324\pi\,cm^{2}$.

04. A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede $D =50\, cm$. Determine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. Adotar$\pi = 3,14$ e supor que a roda não deslize durante a rolagem.

( )a) 2,82 km;

( )b) 3 km;

( )c) 3,6 km;

( )d) 2,75 km;

( )e) 2,91 km.

05. Um morador possui em sua casa um espaço, usado para o cultivo de algumas plantas. O formato desse canteiro é de um setor circular de raio $r =10 m$. Sabendo que o ângulo central desse setor circular é de $\alpha = 60^{0}$, qual é a área do espaço usado para plantio na casa desse jardineiro?

( )a) $52,33\, m^{2}$;

( )b) $10,47\, m^{2}$;

( )c) $31,4\, m^{2}$;

( )d) $20,94\, m^{2}$;

( )e) $100\, m^{2}$.

06. Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de$D= 0,5 m$, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:

( )a) 93 km;

( )b) 196 km;

( )c) 366 km;

( )d) 592 km;

( )e) 291 km.

07. O ponteiro dos minutos de um relógio mede$r = 4\, cm$. Supondo $\pi = 3$, a distância, em centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é:

( )a) 15;

( )b) 12;

( )c) 20;

( )d) 25;

( )e) 10.

08. Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.

Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia?

( )a) 122,8 cm;

( )b) 102,4 cm;

( )c) 92,8 cm;

( )d) 50 cm;

( )e) 32,4 cm.

09. Os raios das rodas traseiras de um trator medem $r=75 cm$ e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras mede:

( )a) 20 cm;

( )b) 30 cm;

( )c) 25 cm;

( )d) 18 cm;

( )e) 24 cm.

10. Qual o perímetro de uma circunferência cujo raio mede 3 cm?

Aplicando a fórmula:

$C={2\cdot\pi\cdot r}$

$C={2\cdot{3,14}\cdot 3}

$C=18,84\, cm$

11. (Enem–2010). Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.

Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a

( )a) $12\, cm$;

( )b) $12\sqrt{2}\, cm$;

( )c)$24\sqrt{2}\, cm$;

( )d) $6{\left(1 + \sqrt{2}\right)}\, cm$

( )e)$ 12\left({1 +\sqrt{2}}\right)\, cm$

Se ficarem dúvidas, peça ajuda pelos canais abaixo listados. Não guarde suas dificuldades para si. Compartilhe que lhe ajudarei.

Curitiba, 15 de fevereiro de 2020

Décio Adams

14 de fevereiro de 202023 de novembro de 2020

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Matemática – Geometria – Geometria plana.

Polígonos de múltiplos lados.

Em postagens anteriores, abordamos todos os tipos de polígonos, até os de sete lados.

O que notamos é que os polígonos que apresentam cálculos em si mais complexos são os com número ímpar de lados, especialmente os que correspondem aos números primos. Mas podemos notar que há alguns passos que se tornam repetitivos. As dificuldades ficam por conta das aproximações decimais, dos ângulos com medidas não exatas e as razões trigonométricas.

Vejamos o caso do Octógono.

A divisão do círculo em oito partes, resulta em um ângulo central de $\alpha = 45^{0}$. Os lados formarão ângulos internos que suplementam o ângulo central.

$\hat{i}_{8} = 180^{0} – 45^{0} = 135^{0}$

Desse modo: $\hat{S}_{i_{8}}= {8\cdot{135}^{0}} = 1080^{0}$

Da mesma forma podemos calcular o número de diagonais da figura:

$D_{8} ={{\left({n – 3}\right)\cdot n}\over 2}$

$D_{8} ={{\left({8 – 3}\right)\cdot 8}\over 2} = {{5\cdot 8}\over 2} = 20\, diagonais$

O lado dos triângulos, ou seja o raio da circunferência circunscrita, será sempre à distância do centro a qualquer um dos vértices.

O apótema, calcularemos dividindo um dos triângulos centrais em dois triângulos retângulos, como fizemos nos casos anteriores.

Os demais cálculos serão uma repetição da mesma forma.

O eneágono: – polígono de nove lados, nos fornecerá um ângulo central de $\alpha = 40^{0}$

Embora seja um número ímpar de lados, não apresenta ângulos que resultam em divisões aproximadas.

$\hat{i}_{9} = {180}^{0} – 40^{0}= {140}^{0}$.

Soma dos ângulos internos:

$S_{i_{9}}= {{{180}^{0}\cdot 9} – {360}^{0}} = 1260^{0}$

Número de diagonais:

$D_{9} ={{\left({n – 3}\right)\cdot n}\over 2}$

$D_{9} ={{\left({9 – 3}\right)\cdot 9}\over 2} = 27$

E se for um Decágono?

Terá 10(dez) lados. Os ângulos centrais dos triângulos irão medir $\alpha = 36^{0}$

Os ângulos internos medirão:

$\hat{i}_{10} = 180^{0} -36^{0} = 144^{0}$

$S_{i_{10}} = {{{180}^{0}\cdot {10}} – {360}^{0}} = {1440}^{0}$

Número de diagonais:

$D_{10}={{\left({n – 3}\right)\cdot n}\over 2}$

$D_{10}={{\left({10 – 3}\right)\cdot{10}}\over 2}$

$D_{10} ={{7\cdot{10}}\over 2} = 35$

Exercitando

01. Determine o apótema, a área de cada triângulo e a área total de um eneágono regular inscrito em uma circunferência de raio $R = 12,0\, cm$.

Se o polígono inscrito na circunferência é um eneágono, sabemos que ele tem 9(nove) lados e também 9(nove) vértices.

A figura resulta em um total de 9(nove) triângulos isósceles congruentes. O ângulo central de cada um será:

$\hat{c} = {{360^{0}}\over 9} = {40}^{0}$

Cada ângulo interno irá valer:

$\hat{i}_{9}= {180^{0}} – {40}^{0}= {140}^{0}$

O apótema divide cada triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

Ele é calculado a partir da da metade do ângulo interno ${70}^{0}$.

$sen(70^{0}) ={a\over R}$

$a = R\cdot sen(70^{0})$

$a = {12,0}\cdot {0,94}$

$a = 11,28\, cm$

Área de um triângulo

Vamos determinar a medida do lado do eneágono.

$R^2 = a^2 + {l\over2}^2$$\Leftrightarrow$${l^2 \over 4} = {12,0}^2 – {11,28}^2 $

$l^2 = 4\cdot{144,0 – 127,24}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{l^2}=\sqrt{4\cdot{16,76}}$

$l = 2\cdot {4,09}$$\Leftrightarrow$$l = 8,18\, cm$

$A_{\Delta_{i}} = {{a\cdot l}\over 2}$$\Leftrightarrow$$A_{\Delta_{i}}= {{11,28}\cdot{8,18}\over 2}$

$A_{\Delta_{i}}=46,14\,cm^2$

No polígono há 9(nove) triângulos desses:

$A_{9} = {{46,14}\cdot 9} = 415,26\, cm^2$

02. Determinar o ângulo central, a medida do lado, do apótema, área de cada triângulo e a área do polígono de 15(quinze) lados inscrito em uma circunferência de raio $R=20,0\, cm$.

Ângulo central:

$\hat{c} = {{360}^{0}}{15} = {24}^{0}$

O ângulo interno:

$\hat{i} = {{180}^{0} – {24}^{0} = {156}^{0}$

Isso indica que o ângulo da base do triângulo será:

$\hat{b} = \frac{{156}^{0}}{ 2} = {78}^{0}$

O apótema será: $sen({78}^{0})= \frac{a}{R}$

$a = R\cdot sen({78}^{0})$$\Leftrightarrow$$a = {20,0}\cdot sen({78}^{0})$

$a = {20,0}\cdot {0,9781} = 19,56\,cm$

O lado do polígono irá medir:

$R^2 = a^2 + {\frac{l}{ 2}}^{2}$$\Leftrightarrow$${\frac{l}{2}}^{2} ={20,0}^{2} – {19,56}^{2}$

$l^2 = 4\cdot{400,0 – 382,7081}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{l^2} =\sqrt{4\cdot{17,29}}$

$l = 8,32\, cm$

Área de um triângulo

$A_{Delta_15}={{8,32}\cdot{19,56}\over 2}= 81,37\,cm^2$

O polígono terá ao todo:

$A_{15}= {81,37}\cdot{15}=1220,55\,cm^2$

Vamos treinar por conta?!

01. Um dodecágono está inscrito em uma circunferência, cujo raio mede $R= 16,0\,m$. Determine o apótema, o lado do polígono e as áreas de cada triângulo, bem como do polígono todo.

02. O apótema de um polígono regular de 10 lados mede $a = 25,0\, cm$. Determine a medida do raio da circunferência, o lado do polígono, a área de um triângulo e a area total do polígono.

03. Se um polígono de 18 lados tem o lado medindo $l = 20,0\, cm$. Determine o apótema, o raio da circunferência circunscrita, o ângulo interno, a soma dos ângulos internos, a área do polígono.

04. Uma circunferência tem diâmetro $D=60,0 cm$. Inscrevendo-se nela um polígono de 30(trinta) lados, pede-se: a)a medida do ângulo central; b) a medida dos ângulos internos e a soma dos mesmos; c)o número de diagonais do polígono; d)a medida do apótema e do lado do polígono; e)a área de um triângulo e a área total do polígono.

Havendo dúvidas, peça ajuda por meio de um dos canais que seguem listados abaixo.

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Décio Adams

8 de janeiro de 20202 de abril de 2020

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Resolução de exercícios de trigonometria.

Exercícios propostos para treino no post anterior

*Triângulos isósceles equiláteros justapostos, formando losango.*

01. Se um triângulo isósceles tem o ângulo oposto à base, medindo $\alpha = 60^{0}$, determine o seno e o cosseno do ângulo resultante da justaposição de dois desses triângulos, como mostra a figura.

Sendo um triângulo isósceles e um de seus ângulos mede $\alpha = 60^{0}$, é fácil deduzir que se trata de um triângulo equilátero e os outros dois ângulos têm a mesma medida. Assim, na justaposição como mostra a figura, o que está sendo pedido é $sen{(\alpha + \alpha)}$ e $cos{(\alpha + \alpha)}$. Em outras palavras temos um ângulo duplo.

Indo até a tabela das igualdades ou relações trigonométricas, encontraremos:

$\color{navy}{sen{(2\alpha)} = 2sen\alpha\cdot cos\alpha}$

$\color{navy}{cos{(2\alpha)} = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

Sabemos que $sen{60^{0}} = {\sqrt{3}\over 2}$ e que $cos{60}={1\over2}$, podemos substituir e obter o resultado.

$sen{(2\cdot {60^{0}})} = 2\cdot sen{60^{0}}\cdot cos{60^{0}}$

$sen{(120{0})} = 2\cdot {\sqrt{3}\over 2}\cdot{1\over 2}$

$sen{(120{0})} = 2\cdot{\sqrt{3}\over4} = {\sqrt{3}\over2} $

$\color{maroon}{sen{(120^{0})} = {\sqrt{3}\over 2}}$

$cos{(2\cdot{60º})} = cos^2{60^{0}} – sen^2{60^{0}}$=${{\left(1\over2\right)^2} – {\left(\sqrt{3}\over2\right)^2}}$

$cos{(120^{0})} = {1\over4} – {3\over 4} = -{\not{2}\over\not{4}}$

$\color{maroon}{cos{(120^{0})} = -{1\over 2}}$

02. Sabendo que um ângulo $\beta$ mede mede $30^{0}$ e o outro $\alpha$ mede $45^{0}$. Determine a tangente e cotangente da soma desses dois ângulos.

Consultando a tabela das igualdades, encontraremos que:

$\color{navy}{tg{(\alpha\pm \beta)}={{1+ tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha \mp tg\beta}}}$

$\color{navy}{ctg{(\alpha \pm \beta)}={{ctg\alpha\mp tg\beta}\over{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}}}$

Precisamos então saber os valores da tangente e cotangente dos dois ângulos. Podemos ver na tabela, vista anteriormente e encontraremos:

$tg\alpha = 1$; $ctg\alpha = 1$

$tg\beta = {\sqrt{3}\over 2}$; $ctg\beta = \sqrt{3}$

Então:

$tg{(30^{0} + 45^{0})}={{1+{1}\cdot\sqrt{3}}\over{\sqrt{3} – 1}}$

$tg{(75^{0})} = {{1 +\sqrt{3}}\over {\sqrt{3}-1}}$=${{(1 +\sqrt{3})}\cdot{(\sqrt{3} + 1)}}\over{{(\sqrt{3} -1)}\cdot{\sqrt{3} + 1}}$

$tg{(75^{0})} = {{1 +2\sqrt{3} +\sqrt{3}^2}\over{\sqrt{3}^2 – 1^2}}$=${{\not{4} +\not{2}\sqrt{3}}\over\not{4}}$

$\color{maroon}{tg(75{0}) = 2 + \sqrt{3}}$

Agora a cotangente

$ctg{(45º + 30º)}={{ctg(30º) – tg(45º)}\over{1 + tg(45º)\cdot ctg(30º)}}$=${{\sqrt{3} – 1}\over{1+1\cdot\sqrt{3}}}$

$ctg(75^{0}) = {{{(\sqrt{3} -1)}\cdot{(1 -\sqrt{3})}}\over{{(1+\sqrt{3})}\cdot{(1-\sqrt{3})}}}$=${{2\sqrt{3} -3 -1}\over{1 – 3}}$ = ${{\not{2}\sqrt{3} -\not{4}}\over{-2}}$

$\color{maroon}{ctg(75^{0})= 2 -\sqrt{3}}$

03. Se a secante de um ângulo é $\color{green}{sec\alpha = 3}$, determine: a) $cos\alpha$; b) $sen\alpha$; c)$cos{2\alpha}$; d)$sen{2\alpha}$.

É fornecido que $\color{green}{sec\alpha = 3}$ e pede-se:

a)$cos\alpha$

Por definição $sec\alpha = {1\over cos\alpha}$

Daí tiramos que: $cos\alpha = {1\over sec\alpha}$

Substituímos: $cos\alpha = {1\over 3}$

$\color{maroon}{cos\alpha = {1\over3}}$

b) $sen\alpha$ ?

A relação fundamental da trigonometria nos diz que:

$sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1$

$sen^2\alpha + {\left(1\over 3\right)^2} = 1$=$sen^2\alpha = 1 -{1\over 9}$=${{9 – 1}\over9}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{8\over9}$ = ${\sqrt{2\cdot 2}\over\sqrt{9}}$

$\color{maroon}{sen\alpha = {2\sqrt{2}\over 3}}$

c)Na tabela de igualdades encontramos que:

$\color{navy}{cos{2\alpha} = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

Substituindo os valores acima, temos:

$cos{(2\alpha)}= {\left(1\over3\right)^2} – {\left(2\sqrt{2}\over 3\right)}^2$=${{1\over 9} – {{2^2\cdot 2}\over 9}}$

$cos{(2\alpha)} = {{1 – 8}\over 9}$=$-{7\over9}$

$\color{maroon}{cos{(2\alpha)} = -{7\over 9}}$

d)Voltando à tabela de igualdades:

$\color{navy}{sen{(2\alpha)} = 2sen\alpha\cdot cos\alpha}$

Substituindo: $sen{(2\alpha)}={2\cdot {2\sqrt{2}\over3}\cdot{1\over3}}$

$\color{maroon}{sen{(2\alpha)} = {4\sqrt{2}\over9}}$

Triângulos contíguos, com um vértice comum.

04. Dois triângulos são colocados lado a lado, de modo a fazer coincidir um de seus vértices da base. O primeiro é equilátero e o segundo isósceles, onde o ângulo do vértice superior mede $45^{0}$. Determine: a) o seno do ângulo entre os lados dos dois triângulos $\color{red}{\alpha}$; b) o cosseno da soma do ângulo interno do equilátero e o lado do isósceles$\color{red}{(\alpha + \gamma)}$; c) o seno do ângulo formado entre a base do isósceles e o lado do equilátero$\color{red}{(\alpha + \beta)}$.

Os dois triângulos formam o ângulo $\alpha$. Sendo um deles equilátero, seus ângulos são iguais e medem $(60^{0})$. O outro é isósceles e se um de seus ângulos agudos mede $(45^{0})$, não resta dúvida sobre a medida do outro ângulo, que é igual a este. A figura mostra os triângulos colocados de modo que os vértices coincidem. Os ângulos somados totalizam $(180^{0})$, isto é, um ângulo raso.

Temos pois: $\gamma = 60^{0}$ e $\beta = 45^{0}$.

a) $\gamma + \alpha + \beta = 180^{0}$

$(60^{0}) + \alpha + (45^{0}) = (180^{0})$$\Leftrightarrow$$\alpha = (180^{0}) – (105^{0}) = (75^{0})$

b)$\color{navy}{cos{(\gamma + \alpha)} = {cos\gamma\cdot cos\alpha – sen\alpha\cdot sen\gamma}}$

$cos{(60^{0}+ 75^{0})}={cos(60^{0})\cdot cos(75^{0}) – sen(75^{0})\cdot sen(60{0})}$ (I)

É necessário determinar os valores do seno e do cosseno de $75^{0}$. Sabemos que $45^{0}+ 30^{0} = 75^{0}$. Logo:

$sen{(45^{0} + 30^{0})}={sen^(45{0})\cdot cos(30^{0}) + sen(30^{0})\cdot cos(45^{0})}$

$sen(75^{0}) = {{\sqrt{2}\over2}\cdot{\sqrt{3}\over2} + {1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over 2}}$=${\sqrt{6}\over 4} + {\sqrt{2}\over 4}$

$\color{maroon}{sen(75^{0})={{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\over 4}}$ (II)

$cos(45^{0}+30^{0})={cos(45^{0})\cdot cos(30^{0}) – sen(45^{0})\cdot sen(30^{0})}$

$cos(75^{0})={{\sqrt{2}\over2}\cdot{\sqrt{3}\over 2} – {\sqrt{2}\over 2}\cdot{1\over2}}$=${{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}$

$\color{maroon}{cos(75^{0})={{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over4}}$ (III)

Substituindo (II) e (III) em (I), teremos:

$cos(60^{0} + 75^{0})={{1\over 2}\cdot {{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\over4} – {{\sqrt{3}\over 2}\cdot{\sqrt{6} +\sqrt{2}\over 4}}}$

$cos(60^{0}+75^{0})={{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over 8} -{{\sqrt{18} +\sqrt{6}}\over 8}$=${{\sqrt{6} -\sqrt{2} -3\sqrt{2} -\sqrt{6}}\over 8}$

$cos(135^{0}) = {{\sqrt{6}-\sqrt{6} – \not{4}\sqrt{2}}\over\not{8}}$=$ -{\sqrt{2}\over 2}$

$\color{maroon}{cos(135^{0}) =-{\sqrt{2}\over2}}$

c)$sen(45^{0} + 75^{0})={sen(45^{0})\cdot cos(75^{0}) + sen(75^{0})\cdot cos(45^{0})}$

$sen{120^{0}) = {\sqrt{2}\over2}\cdot{{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over 4} +{{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\over 4}\cdot{\sqrt{2}\over2}}$=${{\sqrt{12}-\sqrt{4}}\over 8} + {{\sqrt{12} + \sqrt{4}}\over 8}$

$sen(120^{0}) = {{2\sqrt{3}- 2}\over 8} + {{2\sqrt{3} + 2}\over 8}$=${4\sqrt{3}\over 8}$=${\sqrt{3}\over2}$

$\color{maroon}{sen(120^{0})= {\sqrt{3}\over 2}}$

05. Sendo os ângulos $\color{Red}{\alpha = 60^{0}}$ e $\color{Red}{\beta = 45^{0}}$, determine: a) $cos{(\alpha – \beta)}$; b)$sen{(\alpha – \beta)}$; c)$tg{(\alpha – \beta)}$.

Dados: $\alpha=60^{0}$ e $\beta=45^{0}$

$sen(60^{0})={\sqrt{3}\over2}$; $cos(60^{0})={1\over2}$

$sen(45^{0})={\sqrt{2}\over2}$; $cos(45^{0})={\sqrt{2}\over2}$

a)$\color{navy}{cos{(\alpha-\beta)}={cos\alpha\cdot cos\beta + sen\alpha\cdot sen\beta}}$

$cos(60^{0}-45^{0}) ={cos(60^{0})\cdot cos(45^{0}) + sen(60^{0})\cdot sen(45^{0})}$=${{1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2} +{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2}}$

$cos(15^{0}) = {\sqrt{2}\over4} + {\sqrt{6}\over4}$=${{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\over4}$

$\color{maroon}{cos(15^{0})={{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\over4}}$

b)$\color{navy}{sen{(\alpha -\beta)}={sen(\alpha)\cdot cos(\beta)-sen(\beta)\cdot cos(\alpha)}}$

$sen(60^{0}-45^{0})={sen(60^{0})\cdot cos(45^{0})-sen(45^{0})\cdot cos(60^{0})}$

$sen(15^{0})={{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2}-{\sqrt{2}\over2}\cdot{1\over2}}$=${{\sqrt{6}\over4}-{\sqrt{2}\over4}}$

$\color{maroon}{sen(15^{0})={{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\over4}}$

c)$\color{navy}{tg{(\alpha-\beta)}={{1-tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha + tg\beta}}}$

$tg(60^{0}-45^{0})={{1-tg(45^{0})\cdot ctg(60^{0})}\over{ctg(60^{0})+tg(45^{0})}}$

$tg(15)={{1-{1\cdot\sqrt{3}\over3}}\over{{\sqrt{3}\over 3}+ 1}}$

$tg(15^{0})={{{3 – \sqrt{3}}\over\not{3}}\over{{3 + \sqrt{3}}\over\not{3}}}$=${{(3 – \sqrt{3})}\cdot{(3-\sqrt{3})}\over{{(3+\sqrt{3})}\cdot{(3-\sqrt{3})}}}$

$tg(15^{0})={{3^2 -2\cdot\sqrt{3} + {\sqrt{3}}^2}\over{3^2-{\sqrt{3}}^2}}$=${{9 + 3 – 2\sqrt{3}}\over{9 – 3}}$

$tg(15^{0})={{12 – 2\sqrt{3}}\over6}$=${{6-\sqrt{3}}\over 3}$

$\color{Maroon}{tg(15^{0})={{6 – \sqrt{3}}\over3}}$

06. Calcular as demais razões trigonométricas sabendo que $\color{Red}{tg\alpha = {4\over 3}}$ α pertence ao primeiro quadrante($0^{0}<\alpha<90^{0}$.

Vimos em postagens anteriores que $tg\alpha ={
sen\alpha\over cos\alpha}$. Então podemos escrever:

$tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha} = {4\over3}$

$sen\alpha = {4\over3}\cdot cos\alpha$ (I)

Da relação fundamental temos:

$sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ (II)

Substituimos (I) em (II):

$\left({{4\over3}\cdot cos\alpha}\right)^2+cos^2\alpha =1$

${{16}\over9}\cdot cos^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$${{16 + 9}\over9}\cdot cos^2\alpha =1$

${{25}\over9}\cdot cos^2\alpha =1$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha= {9\over{25}}$

$\sqrt{cos^2\alpha} = \sqrt{9\over{25}}$$\Leftrightarrow$$cos\alpha = {3\over5}$

$\color{Maroon}{cos\alpha = {3\over5}}$

Substituindo em $sen\alpha = {4\over3}\cdot cos\alpha$

$sen\alpha = {4\over\not{3}}{\not{3}\over5} = {4\over5}$

$\color{maroon}{sen\alpha = {4\over5}}$

$\color{navy}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha={1\over{4\over3}} = {3\over4}$

$\color{maroon}{ctg\alpha = {3\over4}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = {1\over{3\over5}}= {5\over3}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {5\over 3}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha={1\over{4\over5}} = {5\over4}$

$\color{Maroon}{csc \alpha={5\over4}}$

07. Demostrar as seguintes igualdades trigonométricas.

Na demonstração das igualdades devemos encontrar uma forma de mostrar que a igualdade é verdadeira. Vamos ver como é que se faz isso.

a)$\color{NavyBlue}{\left[{{(1 – sen\alpha)}\over {cos\alpha}}\right] = \left[{{cos\alpha}\over{(1 + sen\alpha)}}\right]}$;

Aqui temos uma proporção, onde o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Vamos ver no que isso resulta.

${(1-sen\alpha)}\cdot{(1+sen\alpha)} = {cos\alpha\cdot cos\alpha}$

${1 – sen\alpha + sen\alpha – sen^2\alpha} = cos^2\alpha$

${1 – sen^2\alpha} = cos^2\alpha$

$ 1 = sen^2\alpha + cos^2\alpha$

Recaímos na relação fundamental da trigonometria e podemos dizer que $ 1 = 1$. Fica demonstrada a validade da igualdade.

b) $\left[{{(sen\alpha + ctg\alpha)}\over{(tg\alpha + cosec\alpha)}}\right] = cos\alpha$;

$\left[{{\left({sen\alpha\over 1} + {cos\alpha\over sen\alpha}\right)}\over{\left({sen\alpha\over cos\alpha}+{1\over sen\alpha}\right)}}\right] = cos\alpha$

$\left[{\left({{sen^2\alpha +cos\alpha}\over sen\alpha}\right)}\over{\left({sen^2\alpha + cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}\right)}\right] = cos\alpha$

Efetuando a divisão

$\left({{sen^2\alpha + cos\alpha}\over sen\alpha}\right)\cdot\left({{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha + cos\alpha}}\right) = cos\alpha$

Simplificando fica:

$\color{Maroon}{cos\alpha = cos\alpha}$

c)$\color{NavyBlue}{{tg\alpha + ctg\alpha} = sec\alpha\cdot csec\alpha}$;

Substituindo por expressões equivalentes, fica:

$\left({{sen\alpha\over cos\alpha} + {cos\alpha\over sen\alpha}}\right) = \left({{1\over cos\alpha}\cdot{1\over sen\alpha}}\right)$

Reduzindo o primeiro membro ao mesmo denominador:

$\left({{sen^2\alpha + cos^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right) = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)$

Multiplicando os meios da proporção:

${sen^2\alpha + cos^2\alpha} = \left({{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)$

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos\alpha = 1}$

d)$\color{navy}{cos^2\alpha = sen^2\alpha\cdot cos^2\alpha + cos^4\alpha}$

Fatorando o segundo membro, temos:

$cos^2\alpha = cos^2\alpha\cdot{sen^2\alpha + cos^2\alpha}$

Cancelando os fatores comuns entre os dois membros:

$\color{Maroon}{1 = sen^2\alpha + cos^2\alpha}$

08. Faça a demonstração das igualdades trigonométricas:

a)$\color{NavyBlue}{{2tg x\left({{1 + cos x}\over2}\right)} = {sen x + tg x}}$

Simplificando os fatores comuns entre numerador e denominador, depois substituindo $tg x = {sen x\over cos x}$

${\not{2}\cdot tg x\left({{1 + cos x}\over\not{2}}\right)}=sen x + tg x$

${\left({sen x\over cos x}\right)\cdot{(1 + cos x)}} = sen x + {(sen x\over cos x)}$

${\left({sen x\over cos x} + {{sen x\cdot cos x}\over cosx}\right)} = {\left({sen x\cdot cos x + sen x}\over cos x\right)}$

$\color{Maroon}{tg x + sen x = sen x + tg x}$

b)$\color{NavyBlue}{\left[{\left({tg\alpha + tg\beta}\right)\over\underbrace{\left({ctg\alpha + ctg\beta}\right)}}\right]=\overbrace{{tg\alpha\cdot tg\beta}}}$

Trocando de posição as expressões assinaladas fica:

$\left[{\left({tg\alpha + tg\beta}\right)\over{\left(tg\alpha\cdot tg\beta\right)}}\right] = \left({ctg\alpha + ctg\beta}\right)$

Separando em duas frações com mesmo denominador:

$\left[{\left({tg\alpha\over{tg\alpha\cdot tg\beta}}\right) +\left({tg\beta\over{tg\alpha\cdot tg\beta}}\right)}\right] =\left({ctg\alpha + ctg\beta}\right)$

$\color{maroon}{ctg\beta + ctg\alpha = ctg\alpha + ctg\beta}$

09. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas

a)$\color{navy}{sec^2\alpha + csc^2\alpha = sec^2\alpha\cdot csc^2\alpha}$

$\left({{1\over cos^2\alpha} + 1\over sen²\alpha}\right) = \left({{1\over cos^2\alpha}\cdot{1\over sen^2\alpha}}\right)$

Reduzindo ao mesmo denominador:

$\left({{sen^2\alpha + cos^2\alpha}\over{cos^2\alpha\cdot sen^2\alpha}}\right) =\left({1\over{cos^2\alpha\cdot sen^2\alpha}}\right)$

Cancelando os denominadores iguais;

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

b)$\color{NavyBlue}{\left[{{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha – cos^2\alpha}}\right] = \left[{{tg\alpha}\over{tg^2\alpha -1}}\right]}$

$ \left[{{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha – cos^2\alpha}}\right] = \left[{{\left(sen\alpha\over cos\alpha\right)}\over\left({{sen^2\alpha\over cos^2\alpha}-1}\right)}\right]$

$\left[{{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha – cos^2\alpha}}\right]=\left[{{\left(sen\alpha\over cos\alpha\right)}\over\left({{sen^2\alpha – cos^2\alpha}\over cos^2\alpha}\right)}\right]$

$\left[{{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha – cos2\alpha}}\right]= \left[{{sen\alpha\cdot cos^2\alpha}\over{cos\alpha\cdot\left({sen^2\alpha – cos^2\alpha}\right)}}\right]$

Simplificando os fatores comuns e cancelando os denominadores iguais, ficamos com:

$\color{Maroon}{sen\alpha\cdot cos\alpha = sen\alpha\cdot cos\alpha}$

c)$\color{navy}{{\left(sec\alpha – tg\alpha\right)^2}=\left({{1 – sen\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right)}$

$\left({{1\over cos\alpha} – {sen\alpha\over cos\alpha}}\right)^2 =\left({{1 – sen\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right)$

$\left[{\left({1 – sen\alpha}\right)^2\over cos^2\alpha}\right]= \left({{1 – sen\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right)$

Cancelando o fator comum entre os dois membros:

$\left({{1 – sen\alpha}\over{cos^2\alpha}}\right)= \left({1\over{1 + sen\alpha}}\right)$

Multiplicando os meios e os extremos entre si:

${(1 – sen\alpha)}{(1 + sen\alpha)} = cos^2\alpha$

${1 – sen^2\alpha = cos^2\alpha}$$\Leftrightarrow$$1 = sen^2\alpha + cos^2\alpha$

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

10. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas.

a)$\color{navy}{sen\alpha + cos\alpha = \left({{1 + tg\alpha}\over sec\alpha}\right)}$

$sen\alpha + cos\alpha = \left({{{1 + {sen\alpha\over cos\alpha}}\over{1\over cos\alpha}}}\right)$=$\left({{{cos\alpha + sen\alpha}\over cos\alpha}}\cdot{cos\alpha\over 1}\right)$

Simplificando os fatores comuns entre numerador e denominador.

$\color{Maroon}{sen\alpha\cdot cos\alpha = cos\alpha\cdot sen\alpha}$

b)$\color{NavyBlue}{\left({{cos\alpha + tg\alpha}\over{cos\alpha\cdot tg\alpha}}\right)= \left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)}$

$\left[{{cos\alpha +\left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)}\over{cos\alpha\cdot\left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)}}\right]=\left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

$\left[{{{cos^2\alpha + sen\alpha\cdot cos\alpha}\over cos\alpha}\over{{cos\alpha\cdot sen\alpha}\over cos\alpha}}\right] = \left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

$\left[{\left({{cos^2\alpha + sen\alpha\cdot cos\alpha}\over cos\alpha}\right)\cdot\left({cos\alpha\over{cos\alpha\cdot sen\alpha}}\right)}\right] = \left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

Cancelando fatores comuns entre numerador e denominador.

$\left[{{cos^2\alpha\over{cos\alpha\cdot sen\alpha}} + {sen\alpha\over{cos\alpha\cdot sen\alpha}}}\right] = \left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

$\left[{{cos\alpha\over sen\alpha} + {1\over cos\alpha}}\right]=\left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

$\color{Maroon}{ctg\alpha + sec\alpha = ctg\alpha + sec\alpha}$

c)$\color{NavyBlue}{\left({2sen\alpha\over {tg(2\alpha)}}\right)= cos\alpha – \left({sen^2\alpha\over cos\alpha}\right)}$

Sabemos que $tg(2\alpha) = {2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}$

$\left[{2sen\alpha\over{2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}}\right]=cos\alpha – \left({sen^2\alpha\over cos\alpha}\right)$

$\left[{\not{2}sen\alpha\cdot\left({ctg\alpha – tg\alpha}\right)\over \not{2}}\right]=cos\alpha – \left({sen²\alpha\over cos\alpha}\right) $

$\left[{sen\alpha\cdot\left({{cos\alpha\over sen\alpha} – {sen\alpha\over cos\alpha}}\right)}\right]=cos\alpha – \left({sen^2\alpha\over cos\alpha}\right) $

$\color{Maroon}{cos\alpha – {sen^2\alpha\over cos\alpha}=cos\alpha – {sen^2\alpha\over cos\alpha}}$

11. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$\color{NavyBlue}{{1 + sen\alpha\cdot tg\alpha}= \left({{sen\alpha + ctg\alpha}\over{ctg\alpha}}\right)}$

${1 + sen\alpha\cdot\left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)} = \left[{{sen\alpha +\left({cos\alpha\over sen\alpha}\right)}\over\left({cos\alpha\over sen\alpha}\right)}\right]$

$\left({{cos\alpha + sen^2\alpha}\over cos\alpha}\right)=\left[{\left({{sen^2\alpha + cos\alpha}\over sen\alpha}\right)\over\left({cos\alpha\over sen\alpha}\right)}\right]$

$\left({{cos\alpha + sen^2\alpha}\over cos\alpha}\right)=\left[{\left({{sen^2\alpha + cos\alpha}\over sen\alpha}\right)\cdot\left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)}\right]$

Simplificando os fatores comuns, ficamos com:

$\color{Maroon}{cos\alpha + sen^2\alpha = sen^2\alpha + cos\alpha}$

b)$\color{NavyBlue}{tg\alpha + ctg\alpha = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)}$

$\left({{sen\alpha\over cos\alpha} + {cos\alpha\over sen\alpha}}\right) = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)$

$\left({{sen^2\alpha + cos^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)=\left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)$

Cancelando os denominadores iguais, obtemos a relação fundamental da trigonometria.

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

c)$\color{NavyBlue}{\left({sen\alpha + cos\alpha}\right)^2 +\left({sen\alpha – cos\alpha}\right)^2 =2}$

$\left({sen^2\alpha + 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha + cos^2\alpha}\right) + \left({sen^2\alpha – 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha + cos^2\alpha}\right) = 2$

Reduzindo os termos semelhantes:

$2\cdot sen^2\alpha + 2\cdot cos^2\alpha = 2$$\Leftrightarrow$$2{sen^2\alpha + cos^2\alpha} = 2$

Dividindo ambos os membros por $2$;

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

12. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $ sen\alpha={3\over5} $ e $0^{0}<\alpha<90^{0}$, isto é pertence ao primeiro quadrante.

Começaremos por determinar o cosseno desse ângulo, mediante o uso da relação fundamental.

$\color{NavyBlue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$\left({3\over 5}\right)^2 + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha = {1 – {9\over {25}}}$

$cos^2\alpha ={{{25} – 9}\over{25}}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\alpha}=\sqrt{{16}\over{25}}$

$\color{Maroon}{cos\alpha = {4\over5}}$

Agora temos os valores de seno e cosseno, o que nos permite calcular as demais razões do ângulo.

$\color{NavyBlue}{tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha}}$

$tg\alpha = \left[{\left({3\over5}\right)\over\left({4\over5}\right)}\right]$

$tg\alpha = \left({3\over\not{5}}\right)\cdot\left({\not{5}\over4}\right)$

$\color{Maroon}{tg\alpha = {3\over4}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = {1\over{4\over5}}$=${5\over4}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {5\over4}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = {1\over{3\over5}}$=${5\over3}$

$\color{Maroon}{csc\alpha ={5\over3}}$

13. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que o $cos\alpha=5\over 13}$ e $ \alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

Aqui seguiremos os mesmos passos do exercício anterior.

$\color{NavyBlue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$sen^2\alpha +\left({5\over{13}}\right)^2 = 1$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha + {{25}\over {169}} = 1$

$sen^2\alpha = 1 -{{25}\over{169}}$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha = {{{169} – {25}}\over{169}}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{{144}\over{169}}$=${{12}\over{13}}$

$\color{Maroon}{sen\alpha = {{12}\over{13}}}$

$\color{NavyBlue}{tg\alpha = \left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)}$

$tg\alpha = \left[{\left({{12}\over{13}}\right)\over\left({5\over{13}}\right)}\right]$

$tg\alpha = \left({{12}\over{13}}\right)\cdot\left({{13}\over5}\right)$=${{12}\over5}$

$\color{Maroon}{tg\alpha = {{12}\over5}}$

$\color{NavyBlue}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{\left({5\over{13}}\right)\over\left({{12}\over{13}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = \left({5\over{13}}\right)\cdot\left({{13}\over{12}}\right)$

$\color{Maroon}{ctg\alpha = {5\over{12}}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha ={1\cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({5\over{13}}\right)}\right]$=${{13}\over5}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {{13}\over5}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = \left[{1\over\left({{12}\over{13}}\right)}\right]$=${{13}\over{12}}$

$\color{Maroon}{csc\alpha = {{13}\over{12}}}$

14. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $ tg\alpha={4\over 3}$ e $\alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

Temos que: $\color{NavyBlue}{tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha}}$

Logo: ${sen\alpha\over cos\alpha} = {4\over3}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha = {4\over3}\cdot cos\alpha$

Substituindo na relação fundamental:

$sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$\left({{4\over3}\cdot cos\alpha}\right)^2 + cos^2\alpha = 1$

$\left({{16}\over 9}\right)\cdot cos^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$\left({{16 + 9}\over 9}\right)\cdot cos^2\alpha = 1$

$cos^2\alpha = {9\over{25}}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\alpha}=\sqrt{9\over{25}}$

$\color{Maroon}{cos\alpha = {3\over5}}$

Se $sen\alpha = {4\over3}\cdot cos\alpha$$\Leftrightarrow$$sen\alpha = \left({4\over\not{3}}\right)\cdot\left({\not{3}\over5}\right)$

$\color{Maroon}{sen\alpha = {4\over 5}}$

$\color{NavyBlue}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{1\over\left({4\over3}\right)}\right]$=${3\over4}$

$\color{Maroon}{ctg\alpha = {3\over4}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({4\over5}\right)}\right]$=${5\over4}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {5\over4}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha ={1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha =\left[{1\over\left({3\over5}\right)}\right]$=${5\over3}$

$\color{Maroon}{csc\alpha = {5\over3}}$

15. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que o $ cos\alpha={4\over5}$ e $0^{0}< \alpha<90^{0}$, isto é, pertence ao primeiro quadrante.

$\color{NavyBlue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$sen^2\alpha +\left({4\over5}\right)^2 = 1$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha + {{16}\over{25}} = 1$

$sen^2\alpha = {1 – {{16}\over{25}}}$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha = \left({{{25} – {16}}\over{25}}\right)$=${9\over{25}}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{9\over{25}}$=${3\over5}$

$\color{Maroon}{sen\alpha = {3\over5}}$

$\color{NavyBlue}{tg\alpha={sen\alpha\over cos\alpha}}$

$tg\alpha = \left[{\left({3\over5}\right)\over\left({4\over5}\right)}\right]$

$tg\alpha = \left({3\over\not{5}}\right)\cdot\left({\not{5}\over4}\right)$

$\color{Maroon}{tg\alpha = {3\over4}}$

$\color{NavyBlue}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha =\left[{\left({4\over5}\right)\over\left({3\over5}\right)}\right]$

$ctg\alpha = \left({4\over\not{5}}\right)\cdot\left({\not{5}\over3}\right)$

$\color{Maroon}{ctg\alpha = {4\over3}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({4\over5}\right)}\right]$=${5\over4}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {5\over4}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = \left[{1\over\left({3\over5}\right)}\right]$=${5\over3}$

$\color{Maroon}{csc\alpha={5\over3}}$

Se persistirem algumas dúvidas, não hesite em pedir ajuda. Estou sempre pronto para isso. Se momentaneamente não puder atender, farei isso tão logo seja possível. Obrigado pela consulta.

Curitiba, 08 de janeiro de 2020

Décio Adams

30 de dezembro de 20196 de abril de 2020

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Matemática – Geometria plana – Trigonometria. (Exercícios).

Tabela resumo das relações trigonométricas

Lista das principais relações trigonométricas

$\color{blue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$\color{blue}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over cos\alpha}}$

$\color{blue}{ctg\alpha = {{cos\alpha}\over sen\alpha}}$

$\color{blue}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$

$\color{blue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$\color{blue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$ \color{blue}{csc\alpha = \sqrt{1 + ctg^2\alpha}}$

$ \color{blue}{sec\alpha = \sqrt{1 + tg^2\alpha}}$

$ \color{blue}{cos\alpha = {(1 + tg^2\alpha)}^{-{1\over2}}}$

$ \color{blue}{sen\alpha = {(1 + ctg²\alpha)}^{-{1\over2}}}$

$ \color{blue}{{a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = 2r}$

$ \color{blue}{a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cdot cos\alpha}$

$ \color{blue}{b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cdot cos\beta}$

$ \color{blue}{c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cdot cos\gamma}$

$ \color{blue}{sen{(\alpha\pm\beta)} = sen\alpha\cdot cos\beta \pm sen\beta\cdot cos\alpha}$

$ \color{blue}{cos{(\alpha\pm\beta)} = cos\alpha\cdot} cos\beta\mp sen\alpha\cdot sen\beta$

$ \color{blue}{tg{(\alpha\pm\beta)}={{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha\mp tg\beta}}}$

$ \color{blue}{ctg{(\alpha\pm\beta)} = {{ctg\alpha\mp tg\beta}\over{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}}}$

$\color{blue}{sec{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{cos\alpha\cdot cos\beta\mp sen\beta\cdot sen\alpha}}}$

$\color{blue}{csc{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{sen\alpha\cdot cos\beta\pm sen\beta\cdot cos\alpha}}}$

$ \color{blue}{sen{(2\alpha)} = 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha}$

$ \color{blue}{cos{(2\alpha)} = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

$ \color{blue}{tg{(2\alpha)} = {2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}}$

$ \color{blue}{ctg{(2\alpha)} = {{ctg\alpha – tg\alpha}\over 2}}$

$ \color{blue}{csc{(2\alpha)} = {(2sen\alpha\cdot cos\alpha)}^{-{1\over 2}}}$

$ \color{blue}{sec{(2\alpha)} = {(cos^2\alpha – sen^2\alpha)}^{-{1\over 2}}}$

Vamos exercitar.

01. Um dos ângulos agudos de um triângulo tem como $sen\alpha = {\sqrt{5}\over 4}$. Determine: a) o cosseno desse ângulo; b) a tangente e cotangente desse ângulo; c) a secante e cossecante desse ângulo.

a) A relação fundamental nos diz que:

$\color{navy}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

Se $sen\alpha = {\sqrt{5}\over 4}$, teremos:

${\left(\sqrt{5}\over4\right)}^2 + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$ {5\over{16}} + cos^2\alpha = 1$

$cos^2\alpha = 1 – {5\over{16}}$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha = {{16 – 5}\over {16}}$

$\sqrt{cos^2\alpha} =\sqrt{{11}\over{16}}$$\Leftrightarrow$$cos\alpha = {\sqrt{11}\over\sqrt{16}}$

$\color{maroon}{cos\alpha = {\sqrt{11}\over 4}}$

b) dispondo do seno e cosseno, podemos facilmente determinar a tangente e cotangente.

$\color{navy}{tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha}}$

$tg\alpha = \left[\left({\sqrt{5}\over 4}\right)\over\left({\sqrt{11}\over 4}\right)\right]$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = {\left(\sqrt{5}\over 4\right)}\cdot{\left(4\over \sqrt{11}\right)}$

$tg\alpha = {{\sqrt{5}}\over{\sqrt{11}}}$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left({{\sqrt{5}\cdot\sqrt{11}}\over{\sqrt{11}}^2}\right)$

$\color{maroon}{ta\alpha = {\sqrt{55}\over{11}}}$

$\color{navy}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{\left({\sqrt{11}\over 4}\right)\over\left({\sqrt{5}\over 4}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = \left[{\left(\sqrt{11}\over 4\right)}\cdot\left({4\over\sqrt{5}}\right)\right]$

$ctg\alpha = \left[{\sqrt{11}\over\sqrt{5}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = \left[\left({\sqrt{11}\cdot\sqrt{5}}\right)\over\left({\sqrt{5}}^2\right)\right]$

$\color{maroon}{ctg\alpha = {\sqrt{55}\over 5}}$

c) faltam apenas a secante e cossecante. Isso é fácil.

$\color{navy}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = \left[{1\over{\left(\sqrt{5}\over 4\right)}}\right]$

$csc\alpha = \left[{\left(4\over\sqrt{5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$csc\alpha = \left[{\left(4\cdot\sqrt{5}\right)\over{\sqrt{5}^2}}\right]$

$\color{maroon}{csc\alpha = {4\cdot\sqrt{5}\over 5}}$

$\color{navy}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({\sqrt{11}\over 4}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = \left[{\left(4\over\sqrt{11}\right)}\right]$

$sec\alpha = \left[{\left(4\cdot\sqrt{11}\right)\over{\sqrt{11}^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = {4\cdot\sqrt{11}\over 11}$

$\color{maroon}{sec\alpha = {4\cdot\sqrt{11}\over 11}}$

02. Se a $tg\beta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, determine a cotangente, a secante e cossecante.

$\color{BlueViolet}{ctg\beta = \frac{1}{tg\beta}}$

$ctg\beta = \left[\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\beta = \left[\frac{5}{sqrt{5}}\right]$

$ctg\beta = \left[\left(\frac{5\cdot\sqrt{5}}\right){\sqrt{5}^2}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\beta = \left[\frac{5\cdot \sqrt{5}}{5}\right]$

$\color{Bittersweet}{ctg\beta = \sqrt{5}}$

$\color{navy}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$sec\beta =\left[ \sqrt{1 + {\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt {1 + \left\(\frac{5}\over{25}\right)}\right]$

$sec\beta = \left[\sqrt{\left({{25} + 5}\right)\over {25}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt {{30}\over{25}}\right]$

$\color{Bittersweet}{sec\beta = \frac{\sqrt{30}}{5}}$

$\color{navy}{csc\beta = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

$csc\beta = \left[\sqrt{1 + \sqrt{5}^2}\right]$$\Leftrightarrow$$csc\beta = \sqrt{1 + 5}$

$\color{Bittersweet}{csc\beta = \sqrt{6}}$

03. Considerando $sen\alpha = {1\over2}$ e $sen\beta = {\sqrt{2}\over2}$, determine: a) $sen{(\alpha + \beta)}$; b) $cos{(\alpha + \beta)}$; c) $tg{(\alpha + \beta)}$; d) $ctg{(\alpha + \beta)}$; e) $sec{(\alpha + \beta)}$; f) $csc{(\alpha + \beta)}$

a) seno de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{sen{(\alpha + \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}}$

Temos que determinar primeiramente o cosseno dos dois ângulos, aplicando a relação fundamental, além da tangente e cotangente.

$\color{navy}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$({1\over2})^2 + cos^2\alpha + 1$

${1\over 4} + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha = 1 – {1\over4}$

$cos^2\alpha = {{4 – 1}\over 4}$$\Leftrightarrow$${cos^2\alpha} = {3\over 4}$

$\sqrt{cos^2\alpha} = \sqrt{3\over4}$

$\color{maroon}{cos\alpha = {\sqrt{3}\over 2}}$

$\color{BlueViolet}{sen^2\beta + cos^2\beta = 1}$

$ \left({\sqrt{2}\over 2}\right)^2 + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$ {\not{2}^1\over \not{4}^2} + cos^2\beta = 1$

$cos^2\beta = 1 – {1\over2} = {{2 – 1}\over 2}$

$cos^2\beta = {1\over 2}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\beta} = \sqrt{1\over{2}}$

$cos\beta = {1\over\sqrt{2}} = {{1\cdot\sqrt{2}}\over{\sqrt{2}}^2}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

$\color{navy}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over{cos\alpha}}}$

$tg\alpha = \left({{1\over 2}\over{\sqrt{3}\over 2}}\right)$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left({{1\over 2}\cdot{2\over\sqrt{3}}}\right)$=${1\cdot\sqrt{3}\over\sqrt{3}^2}$

$\color{maroon}{tg\alpha = {\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{navy}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$

$ctg\alpha = \left({1 \over{\sqrt{3}\over 3}}\right)$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = {3\over\sqrt{3}} = {3\sqrt{3}\over{\sqrt{3}^2}}$

$\color{maroon}{ctg\alpha = \sqrt{3}}$

$\color{navy}{tg\beta = {sen\beta\over cos\beta}}$

$tg\beta =\left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over2}\right)}\right]$

$tg\beta = \left[{\left({\not{\sqrt{2}}^1\over\not{2}^1}\right)\cdot{\left({\not{2}^1\over\not{\sqrt{2}}^1}\right)}}\right]$

$\color{maroon}{tg\beta = 1}$

$\color{navy}{ctg\beta = {1\over tg\beta}}$

$ctg\beta = {1\over 1} = 1$

$\color{maroon}{ctg\beta = 1}$

$\color{blue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$ csc\alpha = {1\over {1\over 2}}$

$\color{maroon}{csc\alpha = 2}$

$\color{blue}{csc\beta = {1\over{sen\beta}}}$

$ csc\beta = {1 \over{\sqrt{2}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$csc\beta = {2\over\sqrt{2}}$

$csc\beta = {2\sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$$\Leftrightarrow$$csc\beta = {2\sqrt{2}\over 2}$

$\color{maroon}{csc\beta = \sqrt{2}}$

$\color{blue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = {1\over{\sqrt{3}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = {2\over\sqrt{3}}$

$sec\alpha = {2\cdot\sqrt{3}\over \sqrt{3}^2}$$\Leftrightarrow$$sec\alpha ={2\sqrt{3}\over 3}$

$\color{maroon}{sec\alpha = {2\cdot\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{blue}{sec\beta = {1\over cos\beta}}$

$sec\beta = {1\over{\sqrt{2}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {2\over \sqrt{2}}$

$sec\beta = {2\cdot \sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {2\sqrt{2}\over 2}$

$\color{maroon}{sec\beta = \sqrt{2}}$

$sen{(\alpha + \beta)} = {{1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over 2}} + {{\sqrt{2}\over 2}\cdot {\sqrt{3}\over2}}$

$sen{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{2}\over 4} + {\sqrt{6}\over 4}$

$\color{maroon}{sen{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}$

b) cosseno de ${(\alpha + \beta)}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{3}\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2} – {{1\over2}\cdot {\sqrt{2}\over 2}}}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}$

$\color{maroon}{cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{6} – \sqrt{2}}\over4}}$

c) tangente de ${(\alpha + \beta)}$

$ \color{marine}{tg{(\alpha\pm\beta)}={{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha\mp tg\beta}}}$

$tg{(\alpha + \beta)} = {{1 + {1\cdot\sqrt{3}}}\over{{\sqrt{3} – 1}}}$

$tg{(\alpha + \beta)} =\left[{\left({{1 + \sqrt{3}}}\right)\over\left({\sqrt{3} -1}\right)}\right]$

Racionalizando o denominador:

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3} – 1}\right)}\right]\cdot\left[{\left({\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3} + 1}\right)}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({\sqrt{3}^2 + 2\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3}^2 – 1^2}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({3 + 2\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({3 – 1}\right)}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{2\sqrt{3} + 4}\over{2}}\right]$

$\color{maroon}{tg{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{3} + 2}}$

d) cotangente de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{ctg{(\alpha + \beta)}= \left({{ctg\alpha – tg\beta}\over{1 + tg\beta\cdot ctg\alpha}}\right)}$

$ctg{(\alpha + \beta)} =\left[{\left({\sqrt{3} – 1}\right)\over{1 + \left({1\cdot\sqrt{3}}\right)}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg{(\alpha + \beta)} = \left[{{(\sqrt{3} – 1)}\cdot{(\sqrt{3} – 1)}\over{(\sqrt{3} + 1)}\cdot {(\sqrt{3} – 1)}}\right]$

$ctg{(\alpha + beta)} = \left[{{(\sqrt{3} – 1)}^2\over{(\sqrt{3}^2 – 1^2)}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg{(\alpha + \beta)} = \left[{
{(3 – 2\sqrt{3} +1)}\over 2}\right]$

$ctg{(\alpha + \beta)} = \left({{4 – 2\sqrt{3}}\over 2}\right) = {2 -\sqrt{3}}$

$\color{maroon}{ctg{(\alpha + \beta)} = {2 – \sqrt{3}}}$

e)secante ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{1} \over\left({{cos\alpha\cdot cos\beta} – {sen\alpha\cdot sen\beta}}\right)}\right]}$

$sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{{\sqrt{3}\over 2}\cdot{\sqrt{2}\over 2}} – {{1\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2}}}\right)}\right]= \left[{{1}\over\left({{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}\right)}\right]$*

$sec{(\alpha + \beta)} = \left({{4}\over{\sqrt{6} – \sqrt{2}}}\right)$=$\left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over{\left({\sqrt{6} – \sqrt{2}}\right)}\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\right]$

$sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over\left({6 – 2}\right)}\right] = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over 4}\right]$

$\color{maroon}{sec{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{6} + \sqrt{2}}}$

f) cossecante de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{csc{(\alpha + \beta)} = \left({{1}\over{{sen\alpha\cdot cos\beta} + {sen\beta\cdot cos\alpha}}}\right)}$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{1\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2} + {\sqrt{2}\over 2}\cdot{\sqrt{3}\over 2}}\right)}\right]$=$\left[{{1}\over\left({{\sqrt{2}\over 4} + {\sqrt{6}\over 4}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}\right)}\right]$=$\left[{{4}\over\left({\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over\left({\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right)\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\right]$=$\left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over\left({2 – 6}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over {- 4}}\right]$=$\left[{{\sqrt{2} – \sqrt{6}}\over {-1}}\right]$

$\color{maroon}{csc{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{6} – \sqrt{2}}}$

04. Sabe-se que $\color{blue}{cos\alpha ={1\over 2}}$ e $\color{blue}{sen\beta ={\sqrt{2}\over 2}}$. Determine: a) $\color{blue}{sen{(\alpha – \beta)}}$; b) $\color{blue}{cos{(\alpha – \beta)}}$; c) $\color{blue}{tg{(\alpha – beta)}}$; d)$\color{blue}{ctg{(\alpha – beta)}}$; e)$\color{blue}{csc{(\alpha – beta)}}$ e $\color{blue}{sec{(\alpha – beta)}}$.

Novamente começaremos por determinar o seno e o cosseno de $\alpha$ e $\beta$.

Temos que: $\color{brown}{cos\alpha = {1\over 2}}$

$\color{blue}{sen²\alpha + cos²\alpha = 1}$

Substituímos: $sen^2\alpha + {\left(1\over 2\right)}^2 = 1$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha + {1\over 4} = 1$

$sen^2\alpha = {1 – {1\over 4}}$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha = {3\over 4}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{3\over 4}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha ={\sqrt{3}\over\sqrt{4}}$

$\color{maroon}{sen\alpha = {\sqrt{3}\over 2}}$

Temos também que: $\color{blue}{sen\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

Substituindo na relação fundamental: $\color{navy}{sen^2\beta + cos^2\beta = 1}$

$\left({\sqrt{2}\over 2}\right)^2+ cos^2\beta = 1$

$\left({\not{2}^1\over\not{4}^2}\right) + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\beta = {1 – {1\over 2}}$

$\sqrt{cos^2\beta} = {\sqrt{1\over 2}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {\sqrt{1}\over\sqrt{2}}$

$cos\beta = {1\over\sqrt{2}}= {1\cdot\sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

Agora podemos determinar:

$\color{blue}{sen{(\alpha – \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta – sen\beta\cdot cos\alpha}}$

$sen{(\alpha – \beta)}={{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2} – {\sqrt{2}\over 2}\cdot{1\over 2}}$=${{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}$

$\color{maroon}{sen{(\alpha – \beta)} = {{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over 4}}$

b)Também podemos determinar$\color{brown}{cos{(\alpha – \beta)}}$.

$\color{navy}{cos{(\alpha – \beta)} = {{cos\alpha\cdot cos\beta} + {sen\alpha\cdot sen\beta}}}$

$cos{(\alpha – \beta)} = {({1\over2})\cdot({\sqrt{2}\over 2})+({\sqrt{3}\over2})\cdot({\sqrt{2}\over 2})}$=${({\sqrt{2}\over4}) + ({\sqrt{6}\over 4})}$

$\color{maroon}{cos{(\alpha – \beta)} = {{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}$

c) Vamos determinar $\color{blue}{tg{(\alpha – \beta)}}$

Começaremos por determinar:

$\color{blue}{tg\alpha}$; $\color{blue}{tg\beta}$; $\color{blue}{ctg\alpha}$ e $\color{blue}{ctg\beta}$

$\color{blue}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over {cos\alpha}}}$

$tg\alpha = \left[{\left({\sqrt{3}\over 2}\right)\over\left({1\over2}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left[{\left({\sqrt{3}\over2}\right)\cdot\left({1\over2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg\alpha = {\sqrt{3}\over 4}}$

$\color{blue}{tg\beta = \left[{\left({sen\beta}\right)\over\left({cos\beta}\right)}\right]}$

$tg\beta =\left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg\beta = 1}$

$\color{blue}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{\left({1\over2}\right)\over\left({\sqrt{3}\over2}\right)}\right]$ $\Leftrightarrow$$ ctg\alpha = \left[{\left({1\over 2}\right)\cdot\left({2\over \sqrt{3}}\right)}\right]$

$ctg\alpha = \left[{\left({1\cdot\not{2}}\right)\over\left({\not{2}\cdot\sqrt{3}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = {1\over\sqrt{3}} = {{1\cdot\sqrt{3}}\over\sqrt{3}^2}$

$\color{maroon}{ctg\alpha = {\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{navy}{ctg\beta ={{cos\beta}\over{sen\beta}}}$

$ctg\beta = \left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over 2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{ctg\beta = 1}$

$\color{blue}{tg{(\alpha – \beta)} = \left[{\left({1 – tg\beta\cdot ctg\alpha}\right)\over\left({ctg\alpha + tg\beta}\right)}\right]}$

$tg{(\alpha – \beta)} =\left[{{1 + \left({1\cdot\sqrt{3}\over 3}\right)}}\over{\left({{\sqrt{3}\over 3} + 1}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha – \beta)} = \left[{{\left({1 + \sqrt{3}}\right)\over3}\over{\left({\sqrt{3}\over3} + 1}\right)}}\right]$

$tg{(\alpha – \beta)}=\left[{\left({{3 + \sqrt{3}}\over\not{3}}\right)\cdot\left({\not{3}\over\sqrt{3}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha – \beta)} = \left[{{\left({3 +\sqrt{3}}\right)\cdot\sqrt{3}}\over{\sqrt{3} +{3}}}\right]$=$\left[{{3\sqrt{3} +\sqrt{3}^2}\over\sqrt{3}^2}\right]$

$tg{(\alpha – \beta)}=\left[{{3\sqrt{3} + 3}\over 3}\right]={\sqrt{3} + 1}$

$\color{maroon}{tg{(\alpha – \beta)} = {\sqrt{3} + 1}}$

d) Agora a cotangente $\color{blue}{(\alpha – \beta)}$

$ \color{blue}{ctg{(\alpha\pm\beta)} = {{ctg\alpha\mp tg\beta}\over{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}}}$

$ctg{(\alpha – \beta)}=\left[{\left({{\sqrt{3}\over3} + 1}\right)\over\left({1 – 1\cdot{\sqrt{3}\over3}}\right)}\right]$=$\left[{\left({{\sqrt{3} + 3}\over3}\right)\over\left({{3 -\sqrt{3}}\over3}\right)}\right]$

$ctg{(\alpha -\beta)} = \left[{\left({{\sqrt{3} + 3}\over\not{3}}\right)\cdot\left({\not{3}\over{\sqrt{3} – 3}}\right)}\right]$

$ctg{(\alpha – \beta)}=\left[{({\sqrt{3} +3})\cdot({\sqrt{3} + 3})\over({\sqrt{3}-3})\cdot({\sqrt{3}+3})}\right]$

$ctg{(\alpha-\beta)}=\left[{({\sqrt{3}^2 + 6\cdot\sqrt{3} + 9})\over({\sqrt{3}^2 – 9})}\right]$

$ctg{(\alpha – \beta)} = {{12 + 6\sqrt{3}}\over{3 – 9}}$=${{12 + 6\sqrt{3}}\over{-6}}$

$\color{maroon}{ctg{(\alpha-\beta)} = {\sqrt{3} – 2}}$

e) Vamos à secante $\color{blue}{(\alpha-\beta)}$

$\color{blue}{sec{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{cos\alpha\cdot cos\beta\mp sen\beta\cdot sen\alpha}}}$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over{{1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2} +{\sqrt{3}\over2}\cdot {\sqrt{2}\over2}}}\right]$=$\left[{1\over{{\sqrt{2}\over4}+{\sqrt{6}\over4}}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left({4\over{\sqrt{2} + \sqrt{6}}}\right)$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{2}-\sqrt{6}}\right)\over{\left({\sqrt{2} +\sqrt{6}}\right)\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)\over\left({\sqrt{2}^2 – \sqrt{6}^2}\right)}\right]$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)\over{2 – 6}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{\not{4}\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)\over {-\not{4}}}\right]$=${-{\left(\sqrt{2} – \sqrt{6}\right)}}$

$\color{maroon}{sec{(\alpha-\beta)} = {\sqrt{6} – \sqrt{2}}}$

f) é a vez da cossecante $\color{blue}{(\alpha-\beta)}$

$\color{navy}{csc{(\alpha-\beta)}=\left({1\over{sen\alpha\cdot cos\beta – sen\beta\cdot cos\alpha}}\right)}$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over\left({{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2}}-{{\sqrt{2}\over2}\cdot{1\over2}}\right)}\right]$=$\left[{1\over\left({{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over\left({{\sqrt{6} – \sqrt{2}}\over4}\right)}\right]$=$\left[{4\over{\sqrt{6} -\sqrt{2}}}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)\over\left({\sqrt{6} – \sqrt{2}}\right)\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)\over\left({6 – 2}\right)}\right]$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{6} +\sqrt{2}}\right)\over 4}\right]$

$\color{maroon}{csc{(\alpha-\beta)}={\sqrt{6} +\sqrt{2}}}$

05. Sabe-se que um ângulo tem $sen\gamma={\sqrt{6}\over5}$. Determine: a) $sen{2\gamma}$; b)$cos{2\gamma}$; c)$tg{2\gamma}$; d)$ctg{2\gamma}$

a) Seno do ângulo duplo $\color{green}{sen{2\gamma}}$

Precisamos começar determinando o cosseno do ângulo.

$\color{navy}{sen²\gamma + cos²\gamma = 1}$

$({\sqrt{6}\over 5})² + cos²\gamma = 1$$\Leftrightarrow$${6\over25} + cos²\gamma = 1$

$cos²\gamma = 1 – {6\over{25}}= {{25 -6}\over25}$

$\sqrt{cos²\gamma} = {\sqrt{{19}\over{25}}}$

$\color{blue}{cos\gamma = {\sqrt{19}\over5}}$

$\color{navy}{sen{(2\gamma)}= {2\cdot sen\gamma\cdot cos\gamma}}$

$sen{(2\gamma)}={2\cdot \left({\sqrt{6}\over 5}\right)\cdot\left({\sqrt{19}\over 5}\right)}$

$sen{(2\gamma)}= {2\cdot\left({\sqrt{114}\over{25}}\right)}$

$\color{maroon}{sen{(2\gamma)}= {2\sqrt{114}\over25}}$

b)$cos{(2\gamma)}$

$\color{navy}{cos{(2\gamma)}={cos^2\gamma – sen^2\gamma}}$

$cos{(2\gamma)}={\left({\sqrt{19}\over 5}\right)^2 – \left({\sqrt{6}\over 5}\right)^2}$

$cos{(2\gamma)}={{{19}\over{25}} – {6\over{25}}}={{13}\over{25}}$

$\color{maroon}{cos{(2\gamma)}={{13}\over{25}}}$

c)$\color{green}{tg{(2\gamma)}}$

Comecemos por determinar a $\color{red}{tg\gamma}$ e $\color{red}{ctg\gamma}$

$\color{blue}{tg\gamma = {{sen\gamma}\over {cos\gamma}}}$

$tg\gamma = \left[{({\sqrt{6}\over 5})\over({\sqrt{19}\over 5})}\right]$=$\left[{({\sqrt{6}\over \not{5}})\cdot({\not{5}\over\sqrt{19}})}\right]$

$tg{\gamma}=\left[{{\sqrt{6}\cdot\sqrt{19}}\over{\sqrt{19}\cdot\sqrt{19}}}\right]$= ${\sqrt{114}\over{19}}$

$\color{maroon}{tg\gamma = {\sqrt{114}\over{19}}}$

$\color{blue}{ctg\gamma = {1\over tg\gamma}}$

$ctg\gamma = \left[{1\over{\sqrt{114}\over{19}}}\right]$=$\left[{{19}\over\sqrt{114}}\right]$

$ctg\gamma=\left[{({19}\cdot\sqrt{114})\over({\sqrt{114}\cdot\sqrt{114}})}\right]$=$\left[{({{19}\cdot\sqrt{114}})\over{114}}\right]$

$\color{maroon}{ctg{(\gamma)}={\sqrt{114}\over 6}}$

$\color{navy}{tg{(2\gamma)}= {2\over{ctg\gamma – tg\gamma}}}$

$tg{(2\gamma)}=\left[{2\over{\left({\sqrt{114}\over 6}\right)-\left({\sqrt{114}\over{19}}\right)}}\right]$=$\left[{2\over\left({{{19}\sqrt{114} – 6\sqrt{114}}\over{114}}\right)}\right]$

$tg{(2\gamma)}=\left[{({2\cdot{114}})\over({{113}\cdot\sqrt{114}})}\right]$=$\left[{\left(2\cdot{114}\sqrt{114}\right)\over\left({113\sqrt{\left(114\right)}²}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg{(2\gamma)}= {2\sqrt{114}\over {113}}}$

d)$\color{green}{ctg{(2\gamma)}}$

$\color{blue}{ctg{(2\gamma)}={1\over tg{(2\gamma)}}}$

$ctg{(2\gamma)}=\left[{1\over({2\sqrt{114}\over {113}})}\right]$=$\left[{{113}\sqrt{114}\over{2\sqrt{114}^2}}\right]$

$ctg{(2\gamma)}=\left[{{{113}\sqrt{114}}\over 228}\right]$

$\color{maroon}{ctg{(2\gamma)}={{113}\sqrt{114}\over{228}}}$

Exercícios para treinar

01. Se um triângulo isósceles tem o ângulo oposto à base, medindo $\alpha = 60º$, determine o seno e o cosseno do ângulo resultante da justaposição de dois desses triângulos, como mostra a figura.

02. Sabendo que um ângulo $\beta$ mede mede 30º e o outro mede 45º. Determine a tangente e cotangente da soma desses dois ângulos.

03. Dois triângulos são colocados lado a lado, de modo a fazer coincidir um de seus vértices da base. O primeiro é equilátero e o segundo isósceles, onde o ângulo do vértice superior mede 45º. Determine: a) o seno do ângulo entre os lados dos dois triângulos $\color{red}{\alpha}$; b) o cosseno da soma do ângulo interno do equilátero e o lado do isósceles$\color{red}{(\alpha + \gamma)}$; c) o seno do ângulo formado entre a base do isósceles e o lado do equilátero$\color{red}{(\alpha + \beta)}$.

05. Sendo os ângulos $\color{red}{\alpha = 60º}$ e $\color{red}{\beta = 45º}$, determine: a) $cos{(\alpha – \beta)}$; b)$sen{(\alpha – \beta)}$; c)$tg{(\alpha – \beta)}$.

06. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que tgα=4/3 e α pertence ao primeiro quadrante($0\lt\alpha\lt90^{0}$.

07. Demostrar as seguintes igualdades trigonométricas:

a)$\left[{{1 – sen\alpha}\over cos\alpha}\right] = \left[{{cos\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right]$;

b) $\left[{{sen\alpha + ctg\alpha}\over{tg\alpha + cosec\alpha}}\right] = cos\alpha$;

c)${tag\alpha + ctg\alpha} = sec\alpha\cdot csec\alpha$;

d)$cos^2\alpha = sen^2\alpha\cdot cos^2\alpha + cos^4\alpha$

08. Faça a demonstração das igualdades trigonométricas:

a)$\color{blue}{2tg x\left({{1 + cos x}over 2}\right)} = sen x\cdot tg x$

b)$\color{blue}{\left({{tg\alpha + tg\beta}\over{ctg\alpha +ctg\beta}}\right) = tg\alpha\cdot tg\beta}$

09. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$\color{blue}{sec^2\alpha + csc^2\alpha = sec^2\alpha\cdot csc^2\alpha}$

b)$\color{blue}{\left({{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha -cos^2\alpha}}\right) = sec^2\alpha\ cdot csc^2\alpha}$

c)$\color{blue}{{\left(sec\alpha – tg\alpha\right)^2 }=\left({{1-sen\alpha}\over{1+sen\alpha}}\right)}$

10. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas.

a)$\color{blue}{sen\alpha + cos\alpha = \left({{1 + tg\alpha}\over{sec\alpha}}\right)}$

b)$\color{blue}{\left({{cos\alpha + tg\alpha}\over{cos\alpha\cdot tg\alpha}}\right) = ctg\alpha + sec\alpha}$

c)$\color{blue}{\left({{2sen\alpha}\over{tg(2\alpha)}}\right) = cos\alpha – \left({sen²\alpha\over cos\alpha}\right)}$

11. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$\color{blue}{1 + sen\alpha\cdot tg\alpha = \left({{sen\alpha + ctg\alpha}\over{ctg\alpha}}\right)}$

b)$\color{blue}{tg\alpha + ctg\alpha = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)}$

c)$\color{blue}{{\left(sen\alpha + cos\alpha\right)^2} +{\left(sen\alpha – cos\alpha\right)^2} = 2}$

12. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $ sen\alpha=3/5 $ e $0\lt\alpha\lt90$, isto é pertence ao primeiro quadrante.

13. Calcular as outras razões trigonométricas sabendo que o $cos\alpha=5/13$ e $ \alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

14. Calcular as outras razões trigonométricas sabendo que $ tgα=4/3$ e $α$ pertence ao primeiro quadrante.

15. Calcular as demais razões trigonométricas sabendo que o $\color{Green}{ cos\alpha={4\over 5}}$ e $0< α<90^{0}$, isto é, pertence ao primeiro quadrante.

Irá seguir em pouco tempo um post com a resolução de todos esses exercícios para que possas conferir e tirar dúvidas.

Curitiba, 30 de dezembro de 2019

Décio Adams

30 de novembro de 20191 de março de 2020

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Matemática – Geometria – Razões trigonométricas.

Relações entre as razões trigonométricas.

Já vimos no post anterior as primeiras relações e iremos recordá-las agora, para depois complementar com mais algumas e resolver exercícios de aplicação.

Relação fundamental

$\color{green}{sen^{2}\beta + cos^2\beta = 1}$

tangente e cotangente

$\color{green}{tg\beta = {{sen\beta}\over{cos\beta}}}$

$\color{green}{ctg\beta = {{cos\beta}\over{sen\beta}}}$

cossecante e secante

$\color{green}{csc\beta = {1\over{sen\beta}}}$

$\color{green}{sec\beta = {1\over{cos\beta}}}$

Novas relações tiradas da fundamental

Dividindo a relação fundamental por $\color{red}{sen^2\beta}$ teremos:

${{sen^2\beta}\over{sen^2\beta}} + {{cos^2\beta}\over{sen^2\beta}} = {1\over{sen^2\beta}}$

Lembrando que $\color{navy}{{{cos\beta}\over{sen\beta}} = ctg\beta}$

$ {1 + ctg^2\beta = csc^2\beta}$$\Leftrightarrow$${\sqrt{csc^2\beta} = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

$\color{maroon}{csc\beta = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

Seguindo o mesmo raciocínio, agora dividindo a relação fundamental por $cos^2\beta$, e substituindo as razões equivalentes.

${{sen^2\beta}\over{cos^2\beta}} + {{cos^2\beta}\over {cos^2\beta}} = {1\over {cos^2\beta}}$$\Leftrightarrow$$ tg^2\beta + 1 = sec^2\beta$

${\sqrt{sec^2\beta} = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$\color{maroon}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

Em $tg\beta = {{sen\beta}\over{cos\beta}}$, isolando $sen\beta$ e substituindo na relação fundamental.

$\color{Brown}{sen\beta = {tg\beta}\cdot{cos\beta}}$

${tg^2\beta}\cdot{cos^2\beta} + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\beta\cdot{(tg^2\beta + 1)} = 1$

$cos^2\beta = {1\over{tg^2\beta + 1}}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\beta} = \sqrt{1\over{tg^2\beta + 1}}$

$cos\beta = \sqrt{1\over{tg\beta+1}}$

$\color{maroon}{cos\beta = \left({tg^2\beta + 1} \right) ^{-{1\over2}}}$

Procedendo da mesma forma com $ctg\beta = {{cos\beta}\over{sen\beta}}$

${ctg\beta}\cdot{sen\beta} = cos\beta $

$sen^2\beta + ({ctg\beta}\cdot{sen\beta})^2 = 1$

$sen^2\beta + {ctg^2\beta}\cdot{sen^2\beta} = 1$

$sen^2\beta\cdot({1 + ctg^2\beta}) = 1$$\Leftrightarrow$$ sen^2\beta = {1\over{1 + ctg^2\beta}}$

$\sqrt{sen^2\beta} = \sqrt{1\over{1 + ctg^2\beta}}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = {1\over\sqrt{ctg^2\beta + 1}}$

$\color{maroon}{sen\beta = \left({ctg^2\beta + 1}\right)^{-{1\over 2}}}$

Lei dos senos.

O triângulo $\Delta{ABCA}$ é inscrito na circunferência, cujo diâmetro mede $d = 2r$. Um segmento de reta que passa pelo vértice $\hat{B}$, pelo centro e encontra a circunferência no ponto $\hat{D}$. Unimos esse ponto com o vértice $\hat{C}$, onde se forma um ângulo reto.

O triângulo $\Delta{BCDB}$ é retângulo no vértice $C$. O segmento $\overline{BC}$ é cateto oposto ao ângulo $\Delta$. Por isso:

$sen\Delta = {a\over \overline{BD}} = {a\over{2r}}$

$\color{Violet}{{a\over sen\Delta} = 2r}$

O vértice $\hat{A}$ é subtendido pelo mesmo arco $\hat{BC}$ assim como acontece com o ângulo $\Delta$. Donde se conclui que:

${{a\over sen\alpha} = 2r}$

Aplicando o mesmo raciocínio aos outros ângulos, teremos:

${{b\over sen\beta} = 2r}$

${{c\over sen\gamma} = 2r}$

Como consequência podemos estabelecer a lei dos cossenos, cujo enunciado fica assim:

Em qualquer triângulo o lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto e a razão constante é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

$\color{maroon}{{a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = 2r}$

Essa lei é especialmente útil na determinação dos demais elementos de um triângulo, conhecendo-se um ângulo e dois lados.

Leis dos cossenos

A altura relativa ao lado $b$, divide o triângulo em dois triângulos retângulos, onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras e cálcular do cosseno de um dos ângulos agudos do $\Delta{ABCA}$.

Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos formados pela altura $h$ em relação ao lado $b$

$a^2 = h^2 + n^2$ (I)

${c^2 = h^2 + m^2}$$\Leftrightarrow$${h^2 = c^2 – m^2}$ (II)

${h^2 = c^2 – m²}$ (II)

Temos que ${b = m + n}$$\Leftrightarrow$${n = b – m}$

${n = b – m}$ (III)

${{m\over c} = cos\alpha}$$\Leftrightarrow$${m = c\cdot cos\alpha}$

${m = c\cdot cos\alpha}$ (IV)

Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), teremos:

$a^2 = {c^2 – m^2} + {(b – m)^2}$$\Leftrightarrow$$a^2= {c^2 – \left({c\cdot cos\alpha}\right)^2} + {b^2 – 2bm + m^2}$

$a^2 = c^2 – c^2\cdot cos^2\alpha + b^2 -2b\left(c\cdot cos\alpha\right) +\left({c\cdot cos\alpha}\right)^2$

Cancelando os termos simétricos e ordenando a expressão:

$a^2 = b^2 + c^2 – c^2cos^2\alpha – 2bc\cdot cos\alpha + c^2\cdot cos^2 \alpha$

$\color{maroon}{a^2= b^2 + c^2-2bc\cdot cos\alpha}$

Aplicando o mesmo raciocínio em relação aos outros ângulos, teremos:

$\color{maroon}{b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cdot cos\beta}$

$\color{maroon}{{c^2 = a^2 + b^2 – 2ac\cdot cos\gamma}}$

O quadrado da medida de um lado de um triângulo qualquer é igual a soma dos quadrados dos outros lados, menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.

Exercícios

01. A $csc\beta = {{3\sqrt{3}}\over5}$. Determine as demais razões trigonométricas desse mesmo ângulo.

Temos vários caminhos que nos levam aos resultados buscados. Vamos começar pela relação entre cossecante e cotangente.

$csc\beta = {\sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

Substituindo e elevando ao quadrado teremos:

$\left({3\sqrt{3}\over5}\right)^2 = {\left({\sqrt{1 + ctg^2\beta}}\right)^2}$

$ {{9\cdot 3}\over{25}}= {1 + ctg^2\beta}$$\Leftrightarrow$${{27}\over{25}} – 1 = ctg^2\beta $

${{27 – 25}\over{25}} = ctg^2\beta$$\Leftrightarrow$$ctg^2\beta = {2\over{25}} $

$\sqrt {ctg^2\beta} = {\sqrt{2\over{25}}}$

$\color{maroon}{ctg\beta= {\sqrt{2}\over 5}}$

Temos que $tg\beta = {1\over ctg\beta}$, o que nos fornece:

$tg\beta =\left[ {1\over\left({\sqrt{2}\over5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg\beta = \left({5\over\sqrt{2}}\right)$

Racionalizando: $ tg\beta =\left({{5\cdot\sqrt{2}}\over\sqrt{2}²}\right)$

$\color{maroon}{tg\beta= {5\sqrt{2}\over 2}}$

Se $\color{navy}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$sec\beta =\left[{\sqrt{1 +\left({5\sqrt{2}\over2}\right)^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt{1 + {{{25}\cdot 2}\over4}}\right]$

$sec\beta = \left[\sqrt{1 + {{25}\over2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta = \left[\sqrt{{2 + 25}\over 2}\right]$

$sec\beta =\left[\sqrt{{27}\over2}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta= \left[\sqrt{{3^2\cdot 3}\over2}\right]$

$sec\beta = {3\cdot{\sqrt{3}}\over\sqrt{ 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {{3\sqrt{6}}\over 2}$

$\color{maroon}{sec\beta = {{3\sqrt{6}}\over 2} }$

$sec\beta = {1\over cos\beta}$$\Leftrightarrow$$ cos\beta = {1\over sec\beta}$

$cos\beta = {1\over{{3\sqrt{6}}\over2}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {2\over {3\sqrt{6}}}$

$cos\beta= {{{2\cdot\sqrt{6}}\over{3\cdot{\sqrt{6}}^2}}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {{2\sqrt{6}}\over{3\cdot 6}}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{6}\over 9}}$

$csc\beta = {1\over sen\beta}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = \left[{1\over\left({3\sqrt{3}\over5}\right)}\right]$

$sen\beta = {5\over{3\sqrt{3}}}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = {{5\cdot\sqrt{3}}\over{3\sqrt{3}^2}}$

$\color{maroon}{sen\beta = {5\sqrt{3}\over9}}$

02. Um triângulo tem o lado $a = 8,0\, cm$, um ângulo adjacente a ele mede $\beta = 45^{0}$ e o triângulo está inscrito em uma circunferência de raio $r = 8,0\, cm$. Pede-se determinar as medidas dos outros dois lados e os ângulo $\alpha$ e $\gamma$.

Dados: $a = 8,0\, cm$; $\beta = 45^{0}$ e $r = 8,0\, cm$.

Lei dos senos: ${a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = {2\cdot r}$

${a\over sen\alpha} = {2\cdot r}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha = {a\over 2r}$

$sen\alpha = {8\over{2\cdot 8,0}}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha ={1\over2}$

$sen\alpha = {1\over 2}$

$\color{maroon}{\alpha = 30^{0}}$

${b\over sen\beta} = {a\over sen\alpha}$$\Leftrightarrow$${b\over sen {45º}} = {8,0\over sen {30^{0}}}$

${b\over{\sqrt{2}\over 2}} = {8\over {1\over2}}$$\Leftrightarrow$$b = 8\cdot \frac{2\cdot\sqrt{2}}{2}$

$\color{maroon}{b = {8\cdot\sqrt{2}}cm}$

$\alpha + \beta + \gamma = 180^{0}$$\Leftrightarrow$$ 30^{0} + 45^{0} + \gamma = 180^{0}$

$\gamma = 180^{0} – 75^{0}$$\Leftrightarrow$$\gamma = 105^{0}$

$\color{maroon}{\gamma = 105^{0}$

${c\over sen\gamma} = 2\cdot r$

${c\over sen{(45^{0} + 60^{0})}} = 2\cdot 8 $

$\left[{c\over{(sen 45^{0}\cdot cos 60^{0} + sen 60^{0}\cdot cos 45^{0})}}\right] = 16$

$\left[{c\over{{(\sqrt{2}\over2}\cdot {1\over2}} +{{\sqrt{3}\over2}\cdot {\sqrt{2}\over2})}}\right] = 16$

$\left[{c\over{(\sqrt{2}\over 4} +{\sqrt{6}\over 4})}\right] = 16$$\Leftrightarrow$$\left[{c\over{{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}\right] = 16$

$c = 16\cdot{{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}$

$\color{maroon}{c = 4\cdot\left[{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right] cm}$

Soma de ângulos, seno e cosseno

Imagine se deparar com uma expressão como essa: $y = sen{(\alpha + \beta)}$! ou então $y = cos{(\alpha + \beta)}$!

Simplesmente irá fazer a adição dos ângulos? Isso estará correto? No final do exercício dois acima foi usado esse recurso para obter um dos senos dos ângulos. E não foi assim. Há uma forma mais fácil de resolver essas situações.

Vejamos a demonstração de como fica essa questão. Essa demonstração normalmente não é cobrada do candidato ou aluno em provas, mas eu tenho uma aversão radical à simplesmente despejar uma fórmula e dizer apenas “é assim que se faz”. Sempre quero mostrar o “porquê?” Então me empenho em colocar tudo em pratos limpos.

Vamos inciar por desenhar um retângulo e um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a diagonal, à qual iremos atribuir a medida de uma unidade de comprimento.

Temos a diagonal $\overline{AB}$, que é a hipotenusa do triângulo retângulo $\Delta{ABCA}$.

Vamos baixar uma perpendicular ao prolongamento da base do retângulo, a partir do vértice $C$ do triângulo.

Traçada a perpendicular $\overline{CD}$, temos agora três triângulos retângulos: $\Delta{ABEA}$; $\Delta{ABCA}$ e $\Delta{ACDA}$.

No triângulo $\Delta{ABEA}$, o ângulo do vértice $A$ é igual a soma dos ângulos agudos $\alpha + \beta$ dos outros dois triângulos e podemos escrever, pela definição das razões trigonométricas:

$sen{(\alpha + \beta)} = {{\overline{BE}}\over\overline{AB}}$ (I)

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\overline{AE}}\over\overline{AB}}$ (II)

Vamos destacar o triângulo $\Delta{ACDA}$ e analisar as razões seno e cosseno.

O triângulo destacado está em azul claro.

Observando seus lados, temos:

$sen\alpha = {{\overline{CD}}\over\overline{AC}}$

$sen\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{CD}$ (III)

$cos\alpha = {{\overline{AE}}\over\overline{AC}}$

$cos\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{AE}$ (IV)

Agora vamos destacar o triângulo $\Delta{ABCA}$ e analisar as razões seno e cosseno.

No $\Delta{ABCA}$ surgem os indícios do que irá ocorrer no fechamento do raciocínio.

Neste triângulo, veremos:

$sen\beta = {{\overline{BC}}\over\overline{AB}}$

$sen\beta = {{\overline{BC}}\over 1}$$\Leftrightarrow$$sen\beta =\overline{BC}$ (V)

$cos\beta = {{\overline{AC}}\over 1}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = \overline{AC}$ (VI)

Falta completar o quarto triângulo. Prolongamos a base superior do retângulo e o segmento $\overline{CD}$, formando $\Delta{CBFC}$, que é semelhante ao triângulo $\Delta{ACDA}$. São semelhantes pois ambos são retângulos e os lados são respectivamente perpendiculares. Por isso o ângulo com vértice no ponto $C$ é congruente ao ângulo $\alpha$.

Triângulos $\Delta{ACDA}$ e $\Delta{CBFC}$ são semelhantes. Tem lados perpendiculares e são retângulos.

Aqui temos: $sen\alpha = {{\overline{BF}}\over\overline{BC}}$ (VII)

$cos\alpha = {{\overline{CF}}\over\overline{BC}}$ (VIII)

Resumo:

$sen{(\alpha + \beta)} = {{\overline{BE}}\over\overline{AB}}$ (I)

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\overline{AE}}\over\overline{AB}}$ (II)

$sen\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{CD}$ (III)

$cos\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{AE}$ (IV)

$sen\beta =\overline{BC}$ (V)

$cos\beta = \overline{AC}$ (VI)

Substituindo (V) em (VII) e (VIII):

$sen\alpha = {{\overline{BF}}\over sen\beta}$

${sen\alpha\cdot sen\beta} = \overline{BF}$ (IX)

$cos\alpha = {{\overline{CF}}\over sen\beta}$

${cos\alpha\cdot sen\beta} = \overline{CF}$ (X)

Substituindo (VI) em (III) e (IV), fica:

${sen\alpha\cdot\cos\beta} = \overline{CD}$ (XI)

${cos\alpha\cdot\ cos\beta} = \overline{AE}$ (XII)

Na figura principal, observamos que os segmentos:

$\overline{BE} = \overline{CD} + \overline{CF}$

$\overline{AE} = \overline{AD} – \overline{ED}$

Olhando as expressões (I) e (II), podemos deduzir que:

$\overline{BE} = sen{(\alpha + \beta)}$

$\overline{AE} = cos{(\alpha + \beta)}$

De onde podemos tirar que:

$sen{(\alpha + \beta)}= {sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {cos\alpha\cdot cos\beta – sen\alpha\cdot sen\beta}$

Se em lugar de $\alpha + \beta$, tivéssemos $\alpha – \beta$, bastaria trocar os sinais +/- nas expressões, ficando:

$sen{(\alpha \pm \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta \pm sen\beta\cdot cos\alpha}$

$cos{(\alpha \pm \beta)} = {cos\alpha\cdot cos\beta \mp sen\alpha\cdot cos\beta}$

A partir dessas expressões podemos obter também a tangente e cotangente da soma de ângulos. Vejamos:

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{sen{(\alpha +\beta)}}\over{cos{(\alpha + \beta)}}}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}\over{cos\alpha\cdot cos\beta – sen\alpha\cdot sen\beta}}\right]$

Dividindo todos os termos do segundo membro da equação por $sen\alpha\cdot cos\beta$, teremos:

$tg{(\alpha + \beta)} =\left[{{\left({{sen\alpha\cdot cos\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right) + \left({{sen\beta\cdot cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right)}\over{\left({{cos\alpha\cdot cos\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right) – \left({{sen\alpha\cdot sen\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right)}}\right]$

$\color{maroon}{tg{(\alpha + \beta)} = {{1 + tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha – tg\beta}}}$

Sendo $ctg{(\alpha + \beta)} = {1\over tg{(\alpha + \beta)}}$, podemos escrever que:

$\color{maroon}{ctg{(\alpha + \beta)} = {{ctg\alpha – tg\beta}\over{1 + ctg\beta\cdot tg\alpha}}}$

Arco duplo – Seno, cosseno e …

As relações da soma e diferença de ângulos, são úteis na obtenção dos chamados “arcos duplos ou triplos”.

${sen(2\alpha)} = ?$

Lembrando que $2\alpha = \alpha + \alpha$

$sen(2\alpha) = sen\alpha\cdot cos\alpha + sen\alpha\cdot cos\alpha$

$\color{maroon}{sen(2\alpha) = 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha}$

$cos(2\alpha) = cos\alpha\cdot cos\alpha – sen\alpha\cdot sen\alpha$

$\color{maroon}{cos(2\alpha) = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

$tg(2\alpha) = \left({{2sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{cos^2\alpha – sen^2\alpha}}\right)$

$tg(2\alpha) =\left[{\left({{2sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)\over\left({{cos²\alpha – sen²\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg(2\alpha) = \left[{2\over{{{cos^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}} – {{sen^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}}\right]$

$\color{Maroon}{tg(2\alpha) = {2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}}$

Como $ctg(2\alpha) = {1\over{tg(2\alpha)}}$

temos que:

$\color{maroon}{ctg(2\alpha) = {{ctg\alpha – tg\alpha}\over 2}}$

$csc(2\alpha) = {1\over sen(2\alpha)}$

$csc(2\alpha) = {1\over{2sen\alpha\cdot cos\alpha}}$

$\color{maroon}{sec(2\alpha) = {1\over{cos^2\alpha – sen^2\alpha}}}$

Vamos deixar os exercícios para o próximo post, que será bem recheado deles. Se existir alguma dúvida sobre as demonstrações, por obséquio, pergunte para esclarecer. Não há necessidade de decorar esses procedimentos, mas entender de onde vem as expressões que depois serão utilizadas.

Curitiba, 30 de novembro de 2019

Décio Adams

15 de novembro de 201913 de fevereiro de 2020

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Matemática – Geometria. Geometria Plana. Polígonos

Hexágono regular

Recapitulando os polígonos regulares vistos até aqui, veremos que em todos eles existe um ponto central, onde ocorre a divisão da circunferência em triângulos congruentes.

No triângulo equilátero temos o baricentro.

As linhas que unem os vértices ao meio do lado oposto, se interceptam no centro geométrico. Cada lado subtende um ângulo central de 120º, o que perfaz uma volta completa de 360º.

O quadrado tem esse ponto determinado pelas duas diagonais, que são perpendiculares entre si, formando quatro ângulos de 90º.

É fácil perceber que as duas diagonais dividem o círculo, tanto inscrito, quanto o circunscrito em quatro partes iguais, cada uma subtendendo um ângulo central de 90º.

O pentágono regular também tem esse ponto. É o centro geométrico do polígono.

As linhas medianas, que unem os vértices ao meio dos lados opostos, formam cinco triângulos, que têm um vértice comum no ponto de intersecção dessas linhas. Cada um deles mede exatamente 72º.

Hexágono

Seguindo o mesmo critério, as linhas medianas irão dividir o hexágono em seis triângulos equiláteros. Cada um dos ângulos centrais mede então $60^{0}$. Os outros dois ângulos dos triângulos juntos medem $120^{0}$, sendo que são congruentes e portanto medem também $60^{0}$.

Sendo triângulos equiláteros, sabemos que a altura, neste caso vem a ser o apótema do hexágono; o raio R é congruente ao lado do hexágono. Então podemos determinar o apótema pela expressão:

$ l² = a² + {\left(l\over 2\right)}^{2}$$\Leftrightarrow$$a² = {{4\cdot l² – l²}\over4}$

$\sqrt {a²} = \sqrt{{3\cdot l²}\over4}$

$a = {{l\sqrt{3}}\over 2}$

Área do triângulo e do hexágono.

$S_{\Delta} = {{{{l\cdot l\sqrt{3}}}\over 2}\over 2}$

$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over4}$

A área do hexágono é a área de um triângulo multiplicado por 6.

$S_{hex} = 6\cdot{l²\sqrt{3}\over4} = 3\cdot{l²\sqrt{3}\over 2}$

Medida dos ângulos internos do hexágono regular.

Cada um dos seis vértices do hexágono é formado por dois ângulos adjacentes de 60^{0}. Isso faz com que cada ângulo interno seja igual a 120^{0}.

Desta forma a soma dos ângulos internos do hexágono regular é dada por:

$S_{i6} = 6\cdot 120º$

$S_{i6} = 720º$

Círculos inscrito e circunscrito ao hexágono

O lado do hexágono é a medida do raio da circunferência circunscrita e o apótema é a medida do raio da circunferência inscrita. Veja a figura.

Os dois círculos devidamente traçados, dentro e fora do hexágono.

Exercício 1. Um hexágono tem lado medindo ${l = 2,0 m}$. Determinar: a) o raio da circunferência circunscrita; b) o raio da circunferência inscrita; c) a área de um dos triângulos equiláteros internos; d) a área total do hexágono.

a) o raio da circunferência circunscrita é congruente ao lado do hexágono

${R = 2,0 m}$

b)o raio da circunferência inscrita é o apótema do hexágono.

$a = {{l\sqrt{3}}\over2}$$\Leftrightarrow$$a = {{2\sqrt{3}}\over 2}$

$a = \sqrt{3} m$

c)Temos acima a fórmula da área do triângulo.

$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over 4}$$\Leftrightarrow$$S_{\Delta}={{2,0}^2\sqrt{3}\over 4}$

$S_{\Delta} = \sqrt{3} m²$

d) a área toda é seis vezes a área do triângulo.

$S_{hex}= {6\cdot{l²\sqrt{3}}\over 4}$

$S_{hex} = {6\cdot\sqrt{3} m²}$

Exercício 2. Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio $R = 80,0 cm$. Determinar: a) o lado do hexágono; b) o apótema do hexágono; c) a área de um dos triângulos que formam o hexágono; d) a área total do hexágono;

a)as diagonais que unem os vértices dos ângulos internos opostos, determinam o centro da figura e dividem o hexágono em seis triângulos equiláteros. Assim ficamos com o lado igual ao raio da circunferência.

$l = R$$\Leftrightarrow$$ l = 80,0 cm$

b)o apótema coincide com a altura do triângulo equilátero.

$a = {{l\cdot\sqrt{3}}\over 2}$

$a = {{{80,0}\cdot\sqrt{3}}\over2} = 40,0\sqrt{3}cm$

c)$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over4}$

$S_{\Delta} = {{{80,0}^{2}\sqrt{3}}\over 4}$$\Leftrightarrow$$ S_{\Delta} = {{{6400,0}\sqrt{3}}\over4} = 1600,0\sqrt{3} cm^2$

d)o hexágono é formado por seis triângulos.

$S_{hex} = 3\cdot{{l^2\sqrt{3}}\over 2}$

$S_{hex} = 3\cdot{{{80,0}^{2}\sqrt{3}}\over2} = {9600,0}\sqrt{3} cm^2$

Heptágono regular

É sem dúvida um dos polígonos com poucos lados que é mais difícil de construir. Isso pelo fato de a divisão dos $360^{0}$ por sete ser um número decimal não exato. Isso torna as medidas dos lados sempre aproximados, bem como os ângulos.

Vejamos

${360 \div 7 = 51,428571…^{0}}$ ou ${51^{0}25’42,857…”}$

Nem mesmo fazendo a divisão em graus, minutos e segundos o resultado é exato, mas difere muito pouco disso.

Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de $180^{0}$, teremos que os dois ângulos restantes de cada triângulo será:

$ {\hat{r} + \hat{s} + \hat{t} = 180^{0}}$

${{(51º25’42,857…”)} + \hat{s} + \hat{t} = 180^{0}}$

Como os dois ângulos são congruentes $\hat{s} = \hat{t}$

${2\cdot\hat{s} = 180º – 51,428571º}$$\Leftrightarrow$${2\cdot\hat{s} = 128,57143º}$

${\hat{s} = 64,28572º}$

Temos aí a dificuldade de construir esse polígono, mesmo usando instrumentos de desenho.

O processo de construção do heptágono regular requer o uso de instrumentos de desenho, como régua, esquadro e principalmente compasso. Usei a ideia aplicando as opções do paint e consegui fazer algo que se aproxima da figura correta.

As imprecisões devem-se ao fato de não ser possível manter a exatidão das formas que o programa oferece. Precisamos usar muito de nossa acuidade visual.

O heptágono, traçando-se um segmento que une os vértices ao meio dos lados opostos, fica dividido em sete triângulos isósceles, cujo ângulo central é o determinado acima $51,428571…º$ o que resulta em ângulos de $64,28572…º$ adjacentes aos lados do heptágono. O apótema dividirá esses ângulos internos em dois triângulos retângulos congruentes.

O triângulo ao lado simboliza um dos sete triângulos em que fica dividido o heptágono. Vamos estabelecer a relação entre o lado do polígono e o raio da circunferência, bem como o apótema.

Cada um dos dois triângulos retângulos que obtemos com o traçado do apótema têm como lados o raio R, l/2 e o apótema. R é a hipotenusa. Logo:

${R² = a² +{\left(l\over2\right)}²}$ (I)

${{l\over2} = {R\cdot{cos(64,28572º)}}}$$\Leftrightarrow$${l = 2\cdot{R}\cdot{cos(64,28572º)}}$

${l\simeq {0,868}\cdot{R}}$ (II)

O lado do hexágono é aproximadamente igual a 0,868 R.

Substituindo (II) em (I):

${R^2 = a^2 + \left({{0,868\cdot{R}}\over 2}\right)^{2}}$$\Leftrightarrow$${a^2 = R^2 – {{R^2\cdot{(0,753)}}\over 4}}$

${\sqrt{a^2} = \sqrt{{{4R^2 – 0,753R^2}\over 4}}}$$\Leftrightarrow$$a = \sqrt{{R^2\cdot{(4 – 0,753)}\over 4}}$

$a = R\cdot\sqrt{(3,247)}\over 2 $$\Leftrightarrow$$a = R\cdot{(1,8019)}\over 2$

${a\simeq 0,9R}$

O apótema de um heptágono regular é aproximadamente igual a nove décimos do raio da circunferência circunscrita.

Área de um Heptágono regular

Primeiro vamos estabelecer a área de cada um dos triângulos isósceles que formam um heptágono regular.

A base é o lado: $ l\simeq 0,868 R$

A altura é o apótema: $a\simeq 0,9R$

$S_{\Delta} = {{(0,868)\cdot R}\cdot {(0,9)\cdot R}\over 2}$ $\Leftrightarrow$$S_{\Delta} = {{{0,78}\cdot{R}}\over 2}$

$S_{\Delta} = 0,39R$

Sendo sete triângulos, basta multiplicar o resultado por esse número.

$S_{hep} = 7\cdot{(0,39R)}$$\Leftrightarrow$$S_{hep} \simeq{2,73R}$

Exercício 1. Um heptágono é inscrito num círculo de raio $R = 1,2 m$. Determine: a) o lado do heptágono; b) o apótema do heptágono; c) a área de cada triângulo isósceles que formam o heptágono; d) a área do heptágono.

$R = 1,2 m$

a) $l \simeq 0,868 R$

$l\simeq {0,868}\cdot {1,2}\simeq{1,042} m$

b)$a \simeq {0,9}\cdot {R} $

$a\simeq{0,9}\cdot {1,2}\simeq 1,080 m$

c)$S_{\Delta_{7}}\simeq {0,39}\cdot {R}$

$S_{\Delta_{7}}\simeq {0,39}\cdot{1,2} \simeq{0,468} m²$

d)$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{R}$

$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{1,2}\simeq {3,276} m^2$

Exercício 2. O apótema de um heptágono é igual a $a = 0,50 m$. Determine: a) o lado do apótema; b) a área de um dos triângulos internos; c) o raio do círculo circunscrito ao heptágono; d) a área do heptágono.

$a = {0,50}m$

$a\simeq{0,9}R$$\Leftrightarrow$$ R = {a\over{0,9}}$

a)$l\simeq{0,868}R$$\Leftrightarrow$$l\simeq{0,868}\cdot{{0,50}\over{0,9}}$

$l\simeq {{0,434}\over{0,9}}\simeq{0,482}\, m$

b)$S_{\Delta_{7}} = {0,39}\cdot {a\over{0,9}}$

$S_{\Delta_{7}}= {0,39}\cdot{0,50\over{0,9}}\simeq{0,216} m^2$

c) $a\simeq{0,9}R$

$R \simeq{\left(a\over{0,9}\right)}\simeq\left({0,50}\over{0,9}\right)\simeq{0,556} m$

d)$S_{hep}= {{2,73}\cdot{R}}$$\Leftrightarrow$$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{0,556}$

$S_{hep}\simeq 1,518 m^2$

Diagonais de um polígono

Quantas diagonais podemos traçar em um polígono de n lados?

Vimos que uma diagonal une dois vértices não consecutivos. Assim, tomando um vértice, os dois que lhe ficam consecutivos são excluídos, tal como o próprio vértice. Isso nos permite traçar, a partir de um vértice, tantas diagonais quantos forem os vértices, menos 3:

${D_{v} = n_{v} – 3}$ $\Rightarrow$ diagonais de um vértice.

Cada diagonal une dois vértices, o que nos leva a ter que dividir o número total aparente por dois.

${D_{p} = {{{(n – 3)}\cdot n}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$ {D_{p} ={{n² -3n}\over2}}$

Este é o número de diagonais de um polígono. Vamos exercitar!

Exemplo 1. Quantas diagonais tem um pentágono?

${n_{v} = 5}$

${D_{pen} = {{n² – 3\cdot n}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{pen}= {{5² -3\cdot5}\over 2}}$

${D_{pen}= {{25 – 15}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{pen}= {10\over2} = 5}$

O pentágono tem cinco diagonais.

Exemplo 2. Quantas diagonais tem um quadrado?

${n_{v} = 4}$

${D_{qua}= {{4² – 3\cdot 4}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$ {D_{qua}= {{16 – 12}\over 2}}$

${D_{qua} = {4\over 2} = 2}$$\Rightarrow$ quadrado tem duas diagonais.

Exemplo 3. Calcule o número de diagonais de um hexágono.

$ n_{v} = 6 $

${D_{hex}= {{6² – 3\cdot{6}}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{hex} = {{36 – 18}\over 2}}$

${D_{hex}= {18\over 2} = 9}$$\Rightarrow$ o hexágono tem 9(nove) diagonais.

Exemplo 4. Quantas diagonais tem um dodecágono?

${n_{v} = {12}}$

${D_{12} = {{(12)^2 – 3\cdot {12}}\over2}}$$\Leftrightarrow$${D_{12}={{144 – 36}\over 2}}$

${D_{12} = {{144 – 36}\over 2}$$\Leftrightarrow$${D_{12} = {{108}\over 2} = 54}$ – O dodecágono tem 54 diagonais.

Exemplo 5. Quantas diagonais possui um polígono de 20 lados?

$n_{v} = 20$

$D_{20}= {{20}^2 – 3\cdot{20}}\over 2}$$\Leftrightarrow$$D_{20} = {{400 – 60}\over 2}$

$D_{20}={{340}\over 2} = 170$

O polígono de 20 lados admite 170 diagonais.

Soma dos ângulos internos de um polígono.

Vimos que as diagonais dividem o polígono em triângulos isósceles, que se inscrevem em um círculo com o qual coincidem os vértices. Dessa forma os ângulos centrais, que tem vértice no centro do círculo, tem a medida obtida pela divisão da volta completa pelo número de lados.

$\hat{a}_{c} = {360\over n}$

Prolongando um lado além do vértice, temos um ângulo externo, que têm a mesma medida do ângulo central dos triângulos. Cada ângulo interno é suplementar do ângulo central dos triângulos.

$\hat{a}_{i} = {180º – \hat{a}_{c}}$$\Leftrightarrow$$\hat{a}_{i} = 180^{0} – {360^{0}\over n}$

$\hat{a}_{i} = {{{180^{0}\cdot n} -360^{0}}\over n}$

A soma dos ângulos internos é igual a medida de um ângulo interno multiplicada pelo número de vértices, que é igual ao número de lados.

$S_{a_{i}} = n\cdot{180^{0} – {360^{0}\over n}}$

$S_{a_{i}}= {180^{0}\cdot n – 360^{0}}$

Exemplo 1. Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de nove lados?

$S_{a_{9}} = {180^{0}\cdot n – 360^{0}}$

$S_{a_{9}} = 180^{0}\cdot 9 – 360^{0}$

$S_{a_{9}}= 1620^{0} – 360^{0} = 1240^{0}$

Exemplo 2. Determine a soma dos ângulos internos de um polígono de 12 lados.

$S_{a_{12}} = 180º\cdot 12 – 360 $

$S_{a_{12}} = 2160º – 360º = 1800º$

Exercícios para resolver.

01. Os hexágonos são polígonos que apresentam seis lados, seis ângulos internos e seis vértices. A respeito dos hexágonos regulares inscritos em uma circunferência, assinale a alternativa correta.

a) Um hexágono é chamado regular quando ele possui ângulos iguais, lados congruentes e não existe a necessidade de que seja convexo para isso.

b) Um hexágono regular inscrito tem a medida do apótema igual à medida do raio do círculo que o circunscreve.

c) Um hexágono regular inscrito tem a medida do lado igual à medida do raio do círculo que o circunscreve.

d) Um hexágono regular é chamado inscrito quando todos os seus lados são tangentes a uma circunferência.

e) Um hexágono regular inscrito possui apótema e lado iguais.

02. Qual é a medida do lado $l$ de um hexágono regular cujo apótema mede$a = 3,0 cm$?

a) $2\sqrt{3} cm$

b) $2 cm$

c) $\sqrt{3} cm$

d) $3\sqrt{3} cm$

e) $6\sqrt{3} cm$

03. Determine a medida do apótema de um hexágono regular, sabendo que a medida de seu lado é igual a $l =2\sqrt{3} cm.

a) $2\sqrt{3} cm$

b)$1 cm$

c) $2 cm$

d) $3 cm$

e) $\sqrt{3} cm$

04. Determine a medida do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de diâmetro igual a $D= 12 cm$.

a) $2\sqrt{3} cm$

b) $3\sqrt{2} cm$

c) $3\sqrt{3} cm$

d) $6\sqrt{2} cm$

e) $6\sqrt{3} cm$

05. (FUVEST-2014). Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.

Modelo de piscina (Foto: Reprodução/Fuvest)

Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.

a) $S\simeq1600 m²$;

b)$S\simeq1800 m²$;

c)$S\simeq2000 m²$;

d)$S\simeq2200 m²$

e)$S\simeq2400 m²$

06. Determine o apótema de um hexágono regular cujo lado mede $l = 200\sqrt{3}cm$. Depois calcule a área do hexágono.

07. Determine a área de um hexágono regular cujo lado mede $l = 4,0 cm$. Determine o perímetro desse polígono.

Havendo dúvidas, pergunte. Os canais estão à disposição para quando você precisar.

Curitiba, 15 de novembro de 2019

Décio Adams

6 de novembro de 201912 de fevereiro de 2020

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Matemática – Geometria plana – Polígonos diversos

Trapézio

É um quadrilátero que tem pelo menos dois lados paralelos, sendo os outros inclinados em relação a eles.

O perímetro é a soma dos quatro lados. Os lados paralelos são geralmente denominados bases, sendo um a base maior e o outro a base menor.

Há também os trapézios escalenos, onde os lados não paralelos não são congruentes e todos os seus ângulos são diferentes entre si.

Diagonais dos trapézios, como nos outros polígonos, unem dois vértices não consecutivos. No caso dos trapézios isósceles elas são congruentes.

Os ângulos adjacentes às bases são congruentes para cada uma das duas bases.

Área do trapézio

É sempre possível determinar uma base média, entre as bases maior e menor. Isso permite formar um retângulo cujo comprimento é a média das bases e o outro lado é a altura do trapézio. Assim:

$S_{t}= {{{B + b}\over2} \cdot h}$

A área do trapézio é igual à média das bases multiplicada pela altura.

Um trapézio isósceles tem os lados paralelos medindo $B= 8,0 cm$ e o outro $b= 4,0 cm$. A altura do polígono é de $h=3,0 cm$. Determine a área deste trapézio.

$S_{t}= {{{B + b}\over2} \cdot h}$

$S_{t}={{{{8,0}+{4,0}}\over{2}}\cdot {3,0}}$

$S_{t}= {6,0}\cdot{3,0} = 18,0 cm²$

2. Um trapézio isósceles, mede em sua base maior $B = 30,0 cm$. Se os ângulos que os lados oblíquos formam com a base são de $\theta = 45º$, quanto medem os ângulos obtusos que eles formam com a base menor? Se a altura é $h=10,0 cm$, quanto medem os lados não paralelos e qual é a área do trapézio?

Os lados não paralelos são duas transversais que interceptam duas retas paralelas. Formam de cada lado um par de ângulos alternos internos. Estes são, como vimos no estudo desse assunto, ângulos suplementares. Portanto: Um trapézio isósceles, mede em sua base maior $B = 30,0 cm$. Se os ângulos que os lados oblíquos formam com a base são de $\theta = 45º$, quanto medem os ângulos obtusos que eles formam com a base menor. Se a altura é $h=10,0 cm$, quanto medem os lados não paralelos e qual é a área do trapézio?

$â + 45º = 180º$ $\Leftrightarrow$$â = 180º – 45º$

$â = 135º$

$\overline{MP} = c$

A base da altura do trapézio determina um cateto do triângulo retângulo. Como a altura é o outro cateto, temos que os dois tem a mesma medida.

$c² = h² + b²$$\Leftrightarrow$$ c² = {10,0}² + {10,0}²$

$c² = 100,0 + 100,0$$\Leftrightarrow$$c = \sqrt{200}$

$c = 10\sqrt{2}cm$

Área: $S= {{30,0 + 10,0}\over2}\cdot 10$

$S = {40,0\over2}\cdot 10$$\Leftrightarrow$$ S = 200,0 cm²$

3. Dada a figura poligonal a seguir:

A figura é composta de dois trapézios retângulos e um triângulo, cuja área é fornecida. Observe e determine o que pede o exercício.

Sendo a área do triângulo $\Delta{(AEDA)}$ igual a $S=800,0cm²$ e é de $3\over 5$ a razão entre as áreas dos triângulos $\Delta{(AMEA)}$ e $\Delta{((DMED)}$ determine:

a)primeiramente a altura $\overline{ME}$ do triângulo;

$S_{\Delta} = {{b\cdot h}\over2}$$\Leftrightarrow$$800,0 = {{80\cdot h}\over2}$

${{{800,0}\cdot{2}}\over{80,0}} = h$$\Leftrightarrow$$ h = 20,0 cm$

b)conhecendo o segmento $\overline{ME}$, podemos determinar o segmento $\overline{EN}$;

$\overline{MN} – \overline{ME} = \overline{EN}$$\Leftrightarrow$$50,0 – 20,0 = \overline{EN}$

$\overline{EN} = 30,0 cm$

c)determine a área do retângulo $S_{ret}{(ABCDA)}$ e depois subtraia dessa área a do triângulo.

$S_{ret} = l\cdot c$$\Leftrightarrow$$S_{ret}= {50,0}\cdot{80,0}$

$S_{ret}= 4000,0 cm^2$

$S = S_{ret} – S_{\Delta}$$\Leftrightarrow$$ S = 4000,0 – 800,0$

$S = 3200,0 cm^2

d)determine os segmentos $\overline{AM} = m$ e $\overline{MD} = n$ que são as alturas dos trapézios ${(ABNEA)}$ e ${(BCNEB)}$.

$S_{\Delta_{1}} = {{m\cdot 20}\over 2}$

$S_{\Delta_{2}} = {{n\cdot20}\over 2}$

${ S_{\Delta_{1}}\over S_{\Delta_{2}}} = {{{{m\cdot 20}\over 2}}\over{{n\cdot20}\over 2}} = {3\over5}$

${ S_{\Delta_{1}}\over S_{\Delta_{2}}} = {{{{m\cdot 20}\over 2}} \cdot{{2\over{n\cdot20}}}} = {3\over 5}$

Simplificando os fatores comuns

${ S_{\Delta_{1}}\over S_{\Delta_{2}}} = {m\over n} = {3\over 5}$

$m = {{3\cdot n}\over5}$ (I)

$m + n = 80$$\Leftrightarrow$$m = 80 – n$ (II)

Substituindo (I) em (II);

$80 – n = {3n\over5}$$\Leftrightarrow$$ 5\cdot{(80 – n)} = 3n$

$400 – 5n = 3n$$\Leftrightarrow$$800 = 3n + 5n$

$8n = 400$$\Leftrightarrow$$n = {400\over8} = 50,0cm$ (III)

Substituindo (III) em (II)

$m = 80 – 50 = 30,0\,cm$

Área do trapézio $S = {{B + b}\over2}\cdot h$

$S_{1} = {{50,0 + 30,0}\over2}\cdot 30$$\Leftrightarrow$$S = 1200,0\, cm^2$

$S_{2}= {{50 + 30}\over 2}\cdot 50$$\Leftrightarrow$$S_{2}= 2000,0\, cm^2$

$S_{1} + S_{2} = 2000,0 + 1200,0 = 3200,0\, cm^2$

Exercícios para resolver

01. Calcule a área de um trapézio de altura 5 cm e bases de 8 cm e 3 cm.

02. Determine a medida da base menor de um trapézio de 100 cm² de área, 10 cm de altura e base maior de 15 cm.

03. Qual a altura de um trapézio com área de 50 cm², base maior de 6 cm e menor de 4 cm?

04. Calcule a área de um trapézio de bases medindo 10 cm e 5 cm e altura 6 cm.

05. Determine a medida da base maior de um trapézio com 150 cm² de área, 10 cm de altura e base menor medindo 12 cm.

06. Num trapézio de 8,0 cm de altura, a base maior é o dobro da base menor. Determine a medida dessas bases sabendo que a área desse trapézio é 180 cm^2.

07. Determine a altura de um trapézio de $45,0\, cm^2$ de área, base maior medindo 11.0 cm e base menor com 7,0 cm de comprimento.

08. Calcule a área colorida em azul da figura abaixo, usando as áreas do retângulo e do trapézio.

A figura é um retângulo do qual foi recortado um trapézio. Basta usar as duas fórmulas de cálculo das áreas e calcular a diferença.

09. Analise a figura poligonal e divida-a em partes das quais seja possível calcular a área e obter o total da área da figura.

É possível dividir a figura de várias formas em polígonos cujas áreas temos capacidade de calcular. A soma dessas áreas será a área da figura.

10. A figura é composta por dois polígonos. Determine as suas áreas e a área total da figura.

Havendo dúvidas, recorra por meio de um dos canais abaixo para esclarecer. Não tenha acanhamento.

Curitiba, 06 de novembro de 2019.

Décio Adams

30 de outubro de 201911 de fevereiro de 2020

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Matemática – Geometria – Geometria Plana.

Estudo detalhado do triângulo equilátero.

Depois de termos visto o Teorema de Pitágoras, podemos aplicar esse conhecimento na determinação de elementos notáveis dos triângulos equiláteros.

Como foi visto acima, é o único triângulo classificado como figura geométrica regular. Isso implica em que o traçado de suas alturas, bissetrizes dos ângulos, medianas e mediatrizes sejam coincidentes, interceptando-se em um mesmo ponto que é o centro geométrico do triângulo ou seja é o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro. Iremos estabelecer modos de determinação das medidas da altura, do apótema e do raio da circunferência circunscrita.

Esses três segmentos traçados a partir dos vértices, representam todas as linhas mencionadas acima. Altura, bissetriz, mediana e mediatriz de cada lado e vértice. Interceptam-se no CG da figura.

O ponto $M$, divide o lado $\overline{BC}$ em dois segmentos congruentes, equivalentes à metade do lado do triângulo. Portanto $\overline{MC} = {{l}\over{2}}$, determinando assim um triângulo retângulo $\Delta{(AMCA)}$, onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

$\overline{AC} = l $ $\Rightarrow$ hipotenusa.

$\overline{AM} = h $ $\Rightarrow$ altura do triângulo e é um dos catetos.

$\overline{MC} = {{l}\over{2}}$ $\Rightarrow$ cateto.

${l}² = h² + ({{l}\over {2}})²$ $\Leftrightarrow$ $h² = l² – {{l²}\over{4}}$

$\sqrt{h²} = {{{{4}\cdot{l²}} – l²}\over{4}}$

$h = {{{3}\cdot{l²}}\over{4}}$ $\Leftrightarrow$ $h = \sqrt {{{3}\cdot{l²}}\over{4}} $

$h = {{{l}\cdot\sqrt{3}}\over{2}}$

O apótema equivale ao segmento que representa o raio da circunferência inscrita no interior do retângulo equilátero.

O apótema é um dos catetos do $\Delta{BMOB}$, o raio da circunferência circunscrita é a hipotenusa e $\overline{BM} = {{l}\over{2}}$ é o outro cateto.

No triângulo destacado, temos:

$\overline{BO}$ $\Rightarrow$ raio da circunferência circunscrita (hipotenusa). Equivale à diferença entre a altura e o apótema.

$R = h – a $

$\overline{BM} ={{l}\over{2}}$ $\Rightarrow$ cateto.

$a$ $\Rightarrow$ apótema que é igual ao raio da circunferência inscrita.

$R² = a² + ({{l}\over{2}})²$ $\Leftrightarrow$ ${h – a}² = a² + {{l²}\over{4}}$

${h² – 2ah + a²} = a² + {{l²}\over{4}}$ $\Leftrightarrow$ $h² – 2ah =a² – a² +{{l²}\over{4}}$

$h² – {{l²}\over{4}} = 2ah$ $\Leftrightarrow$ $a = {{h^2 – {{l^2}\over{4}}}\over{2h}}$

$a = {{\left({{l}\sqrt{3}\over{2}}\right)^2 -{l²}}\over{{2{l}\sqrt{3}}\over{2}}}$$\Leftrightarrow$$a = {{{3{l}² – {l}²}\over{4}}\over{l\sqrt{3}}}$

$a = {{2{l}²\over{4}}\over{l\sqrt{3}}}$ $\Leftrightarrow$ $a = {{l²}\over{2}}\cdot{{1}\over{l\sqrt{3}}}\cdot{\sqrt{3}\over\sqrt{3}}$

$a = {{l\sqrt{3}}\over{6}}$

Estabelecemos acima que ${R = h – a}$ de onde podemos deduzir a expressão de $R$ em função do lado do triângulo.

$R = {{l}\sqrt{3}\over{2}} – {{l}\sqrt{3}\over{6}}$

$R = {{{3\cdot{{l}\sqrt{3}}} – {{l}\sqrt{3}}}\over{6}}$

$R = {{2{l}\sqrt{3}}\over{6}}$

$R = {{l}\sqrt{3}\over{3}}$

Comparando esses três elementos, podemos estabelecer que:

${{{h}\over{a}} = {{{l}\sqrt{3}\over{2}}\over{{l}{\sqrt{3}}\over{6}}}}$ $\Leftrightarrow$ ${{{h}\over{a}} = {{{l}\sqrt{3}\over{2}}\cdot {{6}\over{{l}\sqrt{3}}}}}$

${h\over {a}} = {\not{6}\over\not{2}}$ $\Leftrightarrow$ $ a = {1\over3}\cdot h $

${{{h}\over{R}} = {{{{l}\sqrt{3}}\over{2}}\over{{{l}\sqrt{3}}\over{3}}}}$$\Leftrightarrow$${{{h}\over{R}} = {{{{l}\sqrt{3}}\over{2}}\cdot{{3}\over{l}\sqrt{3}}}}$

${{h}\over{R}} = {3\over2}$

$R = {2\over3}\cdot h$

${{a}\over{R}} = {{{{l}\sqrt{3}}\over{6}}\over{{{l}\sqrt{3}}\over{3}}}$$\Leftrightarrow$$ {{a}\over{R}} = {{{{l}\sqrt{3}}\over{6}}\cdot{{3}\over{{l}\sqrt{3}}}}$

$a = {1\over2}\cdot R$

Vejamos as circunferências inscrita e circunscrita num triângulo equilátero.

Temos aí uma circunferência inscrita num triângulo equilátero. Note que o raio da mesma é o apótema do triângulo. Este equivale à ${1\over3}$ da altura do triângulo.

Aqui, além da inscrita, temos também a circunferência circunscrita, cujo raio é exatamente igual ao dobro do apótema, ou seja ${2\over3}$ da altura do triângulo.

Perímetro

Denominamos perímetro a soma das medidas de todos os lados de um polígono. Se imaginarmos fazer uma cerca ao redor do polígono usando arame, qual seria o comprimento de um fio desse produto para dar uma volta completa? Com certeza todos dirão que é só somar os lados. Pronta a resposta. Por isso dizemos que:

Perímetro de um triângulo equilátero é a soma de seus três lados.

$ p = l + l + l$ $\Leftrightarrow$$ p = 3\cdot l$

Vamos exercitar um bocado.

Um triângulo equilátero tem uma circunferência inscrita, cujo raio mede $7,0 cm$. Pede-se determinar o raio da circunferência circunscrita, a altura do triângulo e a medida do lado. Calcule também a área do triângulo.

$ r = a = {1\over2}\cdot{R}$ $\Leftrightarrow$$ 7 = {R\over2}$

$R = {7,0}\cdot{2} = 14,0 cm$

$h = a + R$

$h = 7,0 + 14,0 = 21,0 cm$

$h = {{{l}\sqrt{3}}\over{2}}$

$21,0 = {{{l}\sqrt{3}}\over{2}}$$\Leftrightarrow$${(21,0)}\cdot{2} = {l}\sqrt{3}$

${{(42,0)}\over\sqrt{3}} = l $ $\Leftrightarrow$${{{(42,0)}\cdot\sqrt{3}}\over\sqrt{3}} = l$

$l = {{{(42,0)}\cdot\sqrt{3}}\over{3}} = {{(14,0)}\cdot\sqrt{3}} cm$

$S_{3} = {{b\cdot h}\over2}$

$b = l = {(14,0)\cdot\sqrt{3}}$

$h = 21.0 cm$

$S_{3}= {{{(14,0)\cdot\sqrt{3}}\cdot{(21,0)}}\over2}$

$S_{3} = {(147,0)}\sqrt{3} cm$

2. Uma circunferência de raio $R = 30,0 cm$ é circunscrita a um triângulo equilátero. Pede-se determinar o raio da circunferência inscrita, a altura e o lado do triângulo, além de sua área.

$R = 30,0 cm$

$a = {R\over2}$

$a ={{(30,0)}\over{2}} = 15,0 cm$

$r = a = 15,0 cm$

$h = R + a$ $\Leftrightarrow$ $ h = 30,0 + 15,0 = 45,0 cm$

$h = {{{l}\cdot\sqrt{3}}\over{2}}$

$(45,0) = {{{l}\sqrt{3}}\over{2}}$$\Leftrightarrow$${{{(45,0)}\cdot{2}}\over\sqrt{3}} = l$

${{{(90,0)}\sqrt{3}}\over\sqrt{3}} = i$$\Leftrightarrow$$ l = {{(90,0)\sqrt{3}}\over{3}}$$\Leftrightarrow$$l = (30,0)\sqrt{3} cm$

$S_{3}= {{b\cdot h}\over2}$

$S_{3}= {{(30,0)\sqrt{3}\cdot (45,0)}\over2}$

$S_{3}= {(15,0)\cdot(45,0)\sqrt{3}}$$\Leftrightarrow$ $S_{3}= (675,0)\sqrt{3} cm²$

3. Um triângulo equilátero tem o lado medindo $ l = 27,0 m$. Pede-se determinar o raio da circunferência circunscrita, o raio da circunferência inscrita, a altura e a área da figura.

$R = {{l\sqrt{3}}\over 3}$

Sendo $ l = 27,0 m$, ficamos com:

$R = {{(27,0)\sqrt{3}}\over{3}}$$\Leftrightarrow$$R = (9,0)\sqrt{3} m$

$r = a = {{l\sqrt{3}}\over6}$

$r = {{(27,0)\sqrt{3}}\over 6}$$\Leftrightarrow$$ r = {{(9,0)\sqrt{3}}\over 2} m$

$h = {{l\sqrt{3}}\over 2}$

$h = {{(27,0)\sqrt{3}}\over 2}$$\Leftrightarrow$$ h = (13,5)\sqrt{3} m$

$S_{3}= {{b\cdot h}\over2}$

$S_{3} = {{(27,0)\cdot(13,5)\sqrt{3}}\over 2}$

$S_{3} = 182,25\sqrt{3} m²$

4. Um proprietário de terras, deseja cercar uma área em forma de triângulo equilátero, com 5(cinco) fios de arame liso. Se um dos lados da área mede $l = 200,0 m$, quantos metros de fio ele irá gastar para completar a cerca?

Se $p = 3\cdot l$$\Leftrightarrow$$ p = 3\cdot{200,0} = 600,0 m$

Cada fio de arame consumirá $600,0 m$ do material. Se ele quer colocar 5(cinco) fios, irá gastar:

$P = 5\cdot p$ $\Leftrightarrow$$ P = 5\cdot{600,0} = 3000,0 m$

Chegou a sua vez. Mostre do que é capaz.

Se um círculo de raio $r = 12,0 cm$ está inscrito em um triângulo equilátero, determine: a) o raio do círculo circunscrito; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) a área do triângulo.
Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência de raio $R = 25,0 cm$. Calcule o raio do círculo inscrito nesse triângulo, a altura do triângulo e o seu lado.
Um triângulo equilátero tem altura de $h = 18,0 cm$. Quer-se saber quanto mede o raio da circunferência inscrita, o lado do triângulo e a sua área. É possível circunscrever um círculo perfeito a esse triângulo? Se for, qual é seu raio.
O perímetro de um triângulo equilátero (soma dos lados) é $p = 54,0 cm$. Determine sua altura, o apótema, o raio da circunferência circunscrita e a área do triângulo.
Um triângulo equilátero, justapõe-se a outro igual a ele, formando um losango. Sendo as diagonais desse losango de medidas $d = 12,0 cm$ e $D ={(8,0)\sqrt{3}}cm$, determine sua área, a medida dos lados, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita aos vértices mais distantes.
Um homem possui no terreno de sua casa uma sobra onde pretende colocar cerca murada. A forma é de um triângulo equilátero e vai precisar de 24 unidades de tijolos de 25,0cm, para cada fileira de um lado. Se quer fazer o muro com 8 (oito) fileiras de tijolos, quantos tijolos irá precisar para completar a obra?
Dois irmãos são sócios em 50% para cada um de um terreno em forma de triângulo equilátero. Eles querem construir suas casas e para isso precisam demarcar as parcelas que cabem a cada um. Visando proteger o terreno de intrusos, quando ali forem colocar o material para a construção, querem construir muros de todos os lados e também na divisória. Se o lado do terreno mede $l = 50,0 m$, quantos metros de muros terão que construir? Se o código de edificações em área residencial da prefeitura permite ocupar 40% da área, qual é a área máxima que cada um deles poderá ocupar com a sua moradia?
A diagonal menor de um losango, divide a figura em dois triângulos equiláteros. Se $d = 15,0 m$, determine a área de cada triângulo e a área do losango. Determine a diagonal maior da figura resultante. Determine o raio da circunferência que poderá ser inscrita na figura completa.

No caso de haver dificuldades, não hesite. Peça ajuda por meio de qualquer um dos canais abaixo.

Curitiba, 30 de outubro de 2019

Décio Adams

30 de outubro de 20191 de dezembro de 2020

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Matemática – Geometria – Geometria Plana.

Mais um pouco de Polígonos

Já temos uma noção inicial de triângulos. Podemos dar mais um passo em frente. Vamos estudar os quadriláteros. Os quadriláteros, como diz o nome, são formados por quatro lados. O quadrilátero regular é o quadrado, ou seja, é formado por quatro lados congruentes e tem quatro ângulos internos que medem ${90}^0$ cada. Os lados são paralelos dois a dois.

São os quatro tipos de paralelogramos convexos possíveis de ser traçados.

Existe uma denominação genérica para os polígonos de quatro lados paralelos. São os paralelogramos. O quadrado é um exemplo de paralelogramo, mas existem vários outros.

Paralelogramo: – figura geométrica de quatro lados, paralelos dois a dois.

Quadrado: – é um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes, formando ângulos retos, isto é, iguais a ${90}^0$.

Losango: – é um paralelo gramo que tem os quatro lados congruentes e paralelos dois a dois, porém apenas os ângulos opostos são necessariamente congruentes.

Retângulo: – é o paralelogramo que tem os lados congruentes e paralelos dois a dois, formando ângulos retos (${90}^{0}$).

O que é uma diagonal?

Diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de um polígono.

Dessa forma, os paralelogramos possuem apenas um par de diagonais que se interceptam no centro da figura. As diagonais dividem o paralelogramo em quatro triângulos. Nos quadrados e losangos os triângulos são congruentes, pois as diagonais formam entre si ângulos retos. Nos retângulos e demais paralelogramos as diagonais formam ângulos suplementares e os triângulos são congruentes dois a dois.

A figura nos mostra o que foi descrito acima. Os triângulos têm um vértice comum que é o centro da figura geométrica.

Em todas essas situações é possível aplicar o Teorema de Pitágoras para solucionar questões relativas aos lados e ângulos dos paralelogramos.

Aplicando o que foi visto em relação aos ângulos formados por paralelas e uma transversal conseguiremos mostrar que a soma dos ângulos internos de qualquer paralelogramo é igual a ${360}^{0}$.

Área de um quadrado

Para constatar que a área de um quadrado é igual à medida de seu lado, elevada ao quadrado, basta construir um quadrado e dividir com linhas horizontais e verticais. Notamos que o número de linhas de quadrinhos é igual ao de colunas, ou seja, basta multiplicar o lado por ele mesmo.

$S = {l}\cdot{l} = {l^2}$

O quadrado da figura foi divido em cinco linhas por cinco colunas, isto é, tem 25 unidades de área. Já o retângulo foi dividido em 5 linhas e 12 colunas. Multiplicando ${{5}\cdot{12}} = 60$. Isso nos dá 60 unidades de área.

Área do retângulo

Também aqui fazemos a divisão em linhas e colunas, multiplicando os resultados. Isso nos dá que:

$S = {b}\cdot {h}$

Retângulo áureo

Um retângulo que tem comprimento $a$ e largura $b$ de modo que $\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b} = \Phi$ é denominado retângulo áureo.

Isso permite construir um segundo retângulo, de modo que a razão entre suas áreas seja igual à razão áurea.

$\frac{a\times b}{b\times b} = \frac{b\times b}{b\times(a – b)} = \Phi$

$\Phi = \frac{b^{2} + b(a – b)}{b^{2}}$$\Leftrightarrow$$\Phi = \frac{b^{2}}{b^{2}} + \frac{b(a-b)}{b^{2}}$

Simplificando os fatores comuns ficamos com:

$\Phi = 1 + \frac{a – b}{b}$$\Leftrightarrow$$\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}$

${\Phi}^{2} = \Phi + 1$$\Leftrightarrow$${\Phi}^{2} – \Phi – 1 = 0$

Assim provamos ser um retângulo áureo. A solução dessa equação do segundo grau é:

$\Phi = \frac{1 +\sqrt{5}}{2} = 1,618$

Área do losango

Na figura podemos observar que se completamos um retângulo, usando as medidas das diagonais do losango, a área do mesmo será igual ao dobro do losango. Isto permite que façamos o cálculo da área, multiplicando as diagonais e dividindo o resultado por $2$

$ S = {{{d}\cdot{D}}\over{2}}$

À esquerda temos um losango, onde traçamos dois segmentos paralelos à cada diagonal, formando um retângulo. Desse retângulo percebemos que somente a metade faz parte do **losango**. Dividindo a área do retângulo por dois temos a área do losango. No **paralelogramo**, recortamos um triângulo em uma extremidade e o transferimos para a outra. Assim formamos um retângulo cuja área já sabemos calcular.

$S = {b}\cdot{h}$

Área de um triângulo

Deixei essa área para esse momento, pois fica mais fácil entender a fórmula a partir da área dos paralelogramos. Vejamos a figura.

Do lado esquerdo completou-se um retângulo, traçando um segmento $\overline{CD}$ paralelo ao lado $\overline{AB}$ e outro segmento $\overline{BD}$ paralelo ao segmento $\overline{AC}$. O lado $\overline{BC}$ divide o retângulo em dois triângulos iguais. Isso nos permite fazer o cálculo da área, dividindo a área do retângulo por dois. Na direita, também completamos um retângulo e fica fácil perceber que só a metade do retângulo faz parte do triângulo, levando ao mesmo modo de cálculo da área.

A área do triângulo, seja ele qual for, é calculada pelo produto da base pela altura, dividido por dois.

$S = {{{b}\cdot {h}}\over{2}}$

Apótema do quadrado.

No quadrado fica muito mais fácil determinar o apótema. Ele é um segmento que une o centro geométrico, intersecção das diagonais, ao meio de qualquer um dos lados. Isto nos leva a concluir que:

$a = {l\over 2}$

Raio da circunferência circunscrita

O raio da circunferência circunscrita, é o segmento que une o centro geométrico a qualquer um dos vértices ou seja, tem a medida da metade da diagonal.

$d² = l² + l²$$\Leftrightarrow$ $d = \sqrt{2\cdot{l²}}$

$d = l\sqrt{2}$

Sendo $R = {d\over2}$ $\Leftrightarrow$$R = {{l\sqrt{2}}\over{2}}$

Pentágono

O nome dessa figura geométrica vem do grego penta = cinco. Portanto um polígono de cinco lados é um pentágono. Para ser um pentágono regular, é necessário que seus lados e seus ângulos internos sejam congruentes.

Cinco lados congruentes, formando ângulos internos também congruentes.

As alturas em relação a um vértice e o lado oposto, as medianas dos lados, as mediatrizes dos lados e as bissetrizes dos ângulos internos se interceptam todas no mesmo ponto, que denominaremos **centro** do pentágono.

O pentágono tem ao todo 5(cinco) diagonais. De cada vértice partem duas, mas a mesma diagonal une sempre dois vértices. É notável observar que as diagonais se interceptam entre si, formando no interior uma miniatura do pentágono, apenas em posição invertida (de cabeça para baixo).

Os segmentos de reta que unem os vértices ao centro, determinam cinco triângulos isósceles. O ângulo do vértice central é obtido dividindo-se a circunferência ${360}^{0}$, em cinco partes iguais. Fazendo centro do compasso no ponto O, abertura até os vértices, podemos circunscrever uma circunferência ao pentágono.

O ângulo central $\alpha$, é obtido pela divisão da volta completa em 5(cinco) partes iguais.

$\alpha = {{{360}^{0}}\over{4}} = {72}^{0}$

O segmento $\overline{OP} = a$ é denominado apótema do pentágono e é o raio da circunferência inscrita na figura.

O triângulo $\Delta{(OCDO)}$ é um triângulo isósceles. Isso nos leva a concluir que os dois ângulos formados pelo lado $\overline{CD}$; os lados $\overline{OC}$ e $\overline{OD}$, são congruentes $\beta_{1} = \beta_{2} = \beta$. Como os ângulos internos do triângulo somam ${180}^0$, podemos concluir que:

$\beta_{1} + \beta_{2} + {72}^0 = {180}^{0}$

$\beta_{1} + \beta_{2} = {180}^{0} – {72}^{0}$

$2{\beta} = {108}^{0}$$\Leftrightarrow$$\beta = {{{108}^{0}}\over{2}} = {54}^{0}$

Apótema – é o segmento $\overline{OP} = a$ e que corresponde à altura do triângulo $\Delta{(OCDO)}$. Este segmento divide o lado $\overline{CD}$ em dois, permitindo aplicar o Teorema de Pitágoras no $\Delta{(OMDO)}$, onde o segmento $\overline{OD} = R$ é a hipotenusa, o apótema $a$ e a metade do lado $\overline{CD} = m$ são os catetos. Temos então:

${R}^2 = a^2 + m^2$ $\Leftrightarrow$ $ a^2 = R^2 – m^2$

$\sqrt{a^2} = \sqrt{{R^2 – {[R\cdot{cos (54)^0]}}^2}}$

$a = \sqrt{{R² – {[R\cdot{cos(54)^0}]}²}}$

Com centro do compasso no centro do pentágono, abertura igual ao apótema, pode-se inscrever uma circunferência que tangencia o meio de todos os lados.

Medida do ângulo interno

Cada ângulo interno é formado por dois ângulos dos triângulos em que dividimos o pentágono. Vimos que cada ângulo mede $54^0$. Logo, o ângulo interno do pentágono mede

$\hat{i} = 2\cdot{54^0} = 108^{0}$

Sendo cinco ângulos internos $S_{5} = 5\cdot {108^0} = 540^0$

Exercitar é preciso!

Se um lote de esquina tem as medidas indicadas na figura a seguir, determine a área das duas partes que formam o L e a sua soma.

Podemos dividir o lote em dois retângulos. Um deles mede $(60,0)m X (25,0) m$ e o outro mede $(30,0)m X (25,0)m$.

Basta aplicarmos a forma de cálculo da área de um retângulo e teremos as duas áreas. Fazemos a soma e obtemos a área total do lote.

a) parte 1 $(60,0) m X (25,0)m $

$S_{1} = {b}\cdot {l}$ $\Leftrightarrow$ $ S_{1} = {(60,0)}\cdot{(25,0)} = 1500,0 m²$

b) parte 2 $(25,0) m X (30,0) m$

$S_{2} = {c}\cdot{h}$ $\Leftrightarrow$ $S_{2} = {(25,0)}\cdot{(30,0)} = 750,0 m²$

c) total $ S_{1} + S_{2} = S$

$S = 1500,0 + 750,0 = 2250,0 m²$

O total do lote é de 2250,0 m².

2. Numa quadra onde uma das ruas não é perpendicular à outra, o primeiro terreno ficou assim configurado.

Podemos dividir o lote em duas partes. Uma é um triângulo e a outra um retângulo.

Podemos identificar o triângulo $\Delta{(ABEA)}$ e o retângulo ${(BCDEB)}$.

Área do triângulo

$b = \overline{BE} = 35,0 m$

$h = \overline{AE} = {45,0 – 30,0}m$

$S_{1} = {{b\cdot h}\over 2}$$\Leftrightarrow$ $S_{1} ={{{35,0}\cdot{15,0}}\over{2}}$

$S_{1} = {{525,0}\over2} = 262,5 m²$

Área do retângulo

$b =\overline{BC} = 30,0 m$

$h = \overline{CD} = 35,0 m$

$S_{2} = b\cdot h$ $\Leftrightarrow$ $S_{2} = {30,0}\cdot{35,0} = 1050,0 m²$

Soma das áreas

$ S = S_{1} + S_{2}$ $\Leftrightarrow$$ S = 262,5 + 1050,0 = 1312,5 m²$

3. Um triângulo retângulo tem área $S = 30,0 cm²$ e sua hipotenusa mede $a = 13,0 cm$. Determine as medidas de seus catetos.

$S = {b\cdot c}\over{2} = 30,0 cm²$$\Leftrightarrow$ $b = {{60,0}\over{c}}$ (I)

$a² = b² + c² $ $\Leftrightarrow$ ${(13,0)}^2 = {\left({60,0}\over{c}\right)^2} + c^2 $

$169,0 = {{3600,0}\over{c²}}+ c²$$\Leftrightarrow$${169,0\cdot c²} = 3600 + c^4$

Fazendo $c² = x$, teremos $c^4 = x²$

$169,0 x = 3600,0 + x²$$\Leftrightarrow$ $x² – 169,0 x + 3600,0 = 0$

Usando a fórmula $ x = {{-b \pm\sqrt{b² – 4\cdot a\cdot c}}\over{2\cdot a}}$

$x = {{-(-169,0)\pm\sqrt{{169,0}^2 – 4\cdot 1\cdot 3600}}\over{2\cdot 1}}$

$ x = {{169,0\pm\sqrt{28561 – 14400}}\over{2}}$

$x = {{169,0\pm\sqrt{14161}}\over{2}}$$\Leftrightarrow$$x={{169,0\pm{119}}\over{2}}$

$x_{1} = {{169,0 + 119,0}\over{2}} = {288,0\over 2} = 144,0$

$S_{2} = {{169,0 – 119,0}\over{2}} = {{50.0}\over {2}} = 25,0$

Substituindo em $c² = x$

$c² = 144,0$$\Leftrightarrow$$\sqrt{c²} = \sqrt{144.0}$

$c = 12,0 cm$

$c² = 25$$\Leftrightarrow$$c =\sqrt{25,0} = 5,0 cm$

Os catetos do triângulo medem respectivamente $5,0 cm$ e $12,0 cm$

Agora é sua vez.

Um poste de iluminação, projeta uma sombra de 8,0 m, quando o sol está em determinada inclinação. Se a altura do poste é de 6,0 m, determine a distância entre a extremidade superior do poste e a extremidade da sombra projetada.
Um losango tem a diagonal menor medindo $d = 16,0 cm$. Se sua área é de ${S = 240,0 cm²$ qual é a medida de sua diagonal menor?
Um retângulo tem a diagonal medindo $ d = 20,0 cm$ e sua largura é de $l = 12,0 cm$. Determine a medida do comprimento e a área do retângulo.
Um triângulo retângulo tem hipotenusa igual a $a = 25,0 m$ e um de seus catetos mede $b = 20,0 m$. Determine a medida do outro cateto e também a área do triângulo.
Um quadrado está inscrito em uma circunferência de raio ${R = 5,0 m$. Determine o raio da circunferência que se inscreve exatamente no interior desse quadrado, a medida do lado desse quadrado e a área do mesmo.
Um retângulo mede $ b = 6,0 cm$ e $h = 10,0 cm$. Determine a medida de sua diagonal, o raio da circunferência que se inscreve totalmente no interior do mesmo, a área desse retângulo.
Um paralelo gramo tem comprimento de $c = 25,0 cm$. Sua área é de $S = 300,0 cm²$. Calcule sua largura e a medida dos lados menores.
O apótema de um quadrado mede $a = 6,0 m$. Determine a medida de seu lado, a medida das diagonais e sua área.
Um losango tem as diagonais medindo $d=12,0 cm$ e $D=16,0 cm$. Determine a área desse losango, a medida de seu lado e depois calcule o raio da circunferência que se pode inscrever no seu interior. (Desafio)

Se tiver dúvidas, venha depressa pedir auxilio por um dos canais abaixo.

Curitiba, 30 de outubro de 2019

Décio Adams