Matemática – Geometria – Geometria Plana.

Triângulo retângulo

Como mencionei no final do post anterior, vamos dedicar esse especialmente ao estudo do triângulo retângulo.

Triângulo retângulo pitagórico

Já no tempo a.C., o matemático e filósofo grego Pitágoras, estabeleceu uma relação importante entre os lados de um triângulo retângulo. Analisando detidamente os lados desse polígono, descobriu que, se construirmos um quadrado com as medidas dos respectivos lados do triângulo, os dois quadrados correspondentes aos catetos, somados tem a mesma área do quadrado que corresponde à hipotenusa.

O quadrado correspondente ao cateto b tem 9(nove) unidades de área; o quadrado correspondente ao cateto c tem 16(dezesseis) unidades de área e o quadrado correspondente à hipotenusa, tem 25(vinte e cinco) unidades de área. Os quadrados dos catetos, têm a mesma área do quadrado da hipotenusa.

Essa conclusão é denominada de Teorema de Pitágoras. Seu enunciado ficou assim estabelecido:

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.

${{a^2} = {b^2} + {c^2}}$

Nem todos os triângulos retângulos têm os lados na exata medida para resultarem em três números inteiros. Na verdade a imensa maioria deles resulta em lados com aproximação decimal. Aqueles que têm os lados na exata medida, são denominados Triângulos Pitagóricos.

Vamos tomar dois exemplos e mostrar como funciona.

  1. Determinar a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem respectivamente 6,0 cm e 8,0 cm.

${b = 6,0 cm}$ e ${c = 8,0 cm}$

${{a^2} = {b^2} + {c^2}}$ $\Leftrightarrow$ $a^2 = {(6,0)}² + {(8,0)}² $

$a² = 36,0 + 64,0$ $\Leftrightarrow$ $ a = \sqrt{100,0} = 10,0 cm$

Esse é mais um exemplo de triângulo pitagórico.

2. Determinar o outro cateto do triângulo, que tem por hipotenusa um segmento de 8,0 cm e um dos catetos mede 5,0 cm.

$a = 8,0 cm$

$b = 5,0 cm$

$a² = b² +c²$ $\Leftrightarrow$ $(8,0)² = (5,0)² + c²$

$64,0 = 25,0 + c²$ $\Leftrightarrow$ $c² = 64,0 – 25,0$

$\sqrt{c²} = \sqrt{39,0}$ $\Leftrightarrow$ $c \simeq 6,245$

Este já não é triângulo pitagórico, embora o teorema se aplique também nele.

3. Vamos determinar a altura do triângulo da figura, em relação ao lado maior $a = 7,0 m$, sendo os dois outros lados respectivamente $b = 5,0 m$ e $c =3,0m$.

Temos um triângulo escaleno obtusângulo.

Vamos traçar pelo vértice $\hat{A}$, a altura em relação ao lado $a$.

A altura h dividiu o triângulo $\Delta{ABCA}$ em dois triângulos retângulos.

Temos agora os triângulos retângulos $\Delta{ABMA}$ e $\Delta{ACMA}$.

No primeiro:

$c $ $\Rightarrow$ hipotenusa

$m ; h$ $\Rightarrow$ catetos

$c² = h² + m² $ $\Leftrightarrow$ $h² = c² – m²$ (I)

No segundo

$b$ $\Rightarrow$ hipotenusa

$n; h$$\Rightarrow$ catetos

$b² = h² + n²$ $\Leftrightarrow$ $h² = b² – n²$ (II)

Igualando as expressões (I) e (II), teremos:

$ c² – m² = b² – n²$ (III)

Na figura temos que: $m + n = a$ $\Leftrightarrow$$m = a – n$ (IV)

Substituindo (IV) em (III): $c² – {(a – n)}² = b² – n²$

$c² -(a² – 2an + n²) = b² – n²$ $\Leftrightarrow$ $c² – b² = a² – 2an + n² – n²$

$(3,0)² – (5,0)² = (7,0)² – 2\cdot{7,0}\cdot{n}$

$9,0 – 25,0 = 49,0 – 14,0 n$ $\Leftrightarrow$ $14,0n = 40,0 + 25,0$

$n = {{65,0}\over{14}}$$\Leftrightarrow$ $ n = 4,64 m$

$h²= b² – n²$ $\Leftrightarrow$ $ h² = (5,0)² – (4,64)²$

$h² = 25,0 – 21,53$ $\Leftrightarrow$ $ h = \sqrt{3,47} \simeq 1,86 m$

4. Determine a altura de um triângulo equilátero cujos lados medem 5,0 m cada.

No triângulo equilátero, a altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

Sabemos que os lados medem $ 5,0 m$. A altura divide o lado oposto ao vértice $\hat{A}$ em duas metades, de modo que os dois triângulos resultantes são congruentes.

$a = 5,0 m$; $b = 5,0 m$ e $c = 5,0 m$

Aplicando o Teorema de Pitágoras a um dos triângulos retângulos, teremos:

$b² = h² + {\left(a\over 2\right)}²$ $\Leftrightarrow$ $(5,0)² = h² + {\left(5\over 2\right)}²$ $\Leftrightarrow$ $h² = 25,0 – {{25}\over{4}}$

$\sqrt{h²} = \sqrt{(25,0 – 6,25)}$ $\Leftrightarrow$ $ h = \sqrt{18,75} = 4,33 m$

Demonstramos que a medida aproximada da altura do triângulo equilátero é $h\simeq 4,33 m$.

Hora de se virar sozinho

  1. Um triângulo isósceles têm os lados congruentes medindo 8,0 cm e o lado oposto ao ângulo formado pelos primeiros, mede 6,0 cm. Determine a altura desse triângulo em relação ao lado menor.
  2. Um triângulo retângulo tem a hipotenusa medindo 13,0 cm e um dos catetos mede 5,0 cm. Determine a medida do outro cateto e também a altura em relação à hipotenusa.
  3. Um triângulo equilátero obtuso, mede 10,0 cm na sua base e a altura até seu vértice é de 5,0 cm. Determine a medida dos dois lados congruentes.
  4. Um triângulo escaleno tem os lados com as medidas $a = 7,0 cm$, $b = 9,0 cm$ e $c= 12,0 cm$. Determine a altura em relação ao lado maior e as medidas dos segmentos que ela determina sobre este lado $c$.
  5. Se a altura de um triângulo retângulo, em relação à hipotenusa mede $h = 9,0 cm$ e um dos catetos mede $b = 12,0 cm$, determine o outro cateto $c$, a hipotenusa e os dois segmentos em que a hipotenusa fica dividida.
  6. Sendo a base de um triângulo isósceles $a = 18,0 cm$, e a altura medindo $h = 24,0cm$, pede-se determinar os dois lados congruentes.

Havendo dificuldades, faça contato comigo por meio de um dos canais abaixo listados, podendo inclusive apresentar exercícios ou dificuldades sobre o assunto, provenientes de outras fontes como cursos presenciais, EAD ou livros e apostilas.

Curitiba, 26 de outubro de 2019

Décio Adams

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Matemática – Geometria – Geometria Plana.

Linhas Poligonais

Linhas poligonais abertas são as linhas em que as extremidades não se tocam. Podem ser curvas, segmentos de reta, um tendo extremidade comum com o seguinte.

A linha não fecha, isto é, não forma uma área delimitada em seu interior.

As linhas poligonais fechadas formam o que denominamos geralmente de figuras geométricas ou polígonos. Esse nome vem do grego: poli = mais de dois e gono = ângulo. Então a figura fechada com mais de dois ângulos é um polígono.

O polígono com menor número de lados é o triângulo, depois vêm os quadriláteros, os pentágonos, hexágonos e assim sucessivamente. O polígono com um número infinito de lados é uma circunferência ou pode ser uma elipse também.

Polígonos regulares e irregulares

Regulares são os polígonos formados por lados iguais. Os lados são os segmentos de reta compreendidos entre dois ângulos consecutivos.

Irregulares são os polígonos formados por lados cujas medidas não são iguais.

Triângulos

Triângulo equilátero, que é também equiângulo é todo triângulo formado por três lados congruentes e em consequência os ângulos internos também são congruentes. Esses ângulos são todos agudos, isto é, medem menos de $90^{0}$.

É o único triângulo que podemos classificar como um polígono regular. Seus lados são congruentes e seus ângulos internos também.

Triângulo isósceles: – é o triângulo que tem dois lados congruentes. A altura, traçada em relação ao lado oposto, divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

O ângulo formado pelos lados congruentes pode ser agudo, reto ou obtuso.

Triângulo escaleno: – é o triângulo que tem os três lados com medidas diferentes. Pode ser retângulo, acutângulo ou obtusângulo.

Triângulo retângulo:tem necessariamente um ângulo reto, podendo os outros dois ser congruentes ou diferentes, mas sempre menores que$90^{0}$

Os lados do ângulo reto são denominados catetos e o terceiro lado, maior, que é oposto ao ângulo reto, denomina-se hipotenusa.

Triângulo obtusângulo: – tem um ângulo obtuso, sendo os outros dois agudos.

Os triângulos obtusângulos podem ser escalenos ou isósceles. É essencial que um dos três ângulos internos seja maior que $90^{0}$.

Soma dos ângulos internos do triângulo.

Vejamos a figura .

Prolongando dois lados e no vértice traçando uma paralela ao outro lado, formamos dois ângulos correspondentes aos ângulos da base e um que é oposto pelo vértice ao terceiro. Pela figura vemos que esses três ângulos somados totalizam $180^{0}$. Essa soma é sempre a mesma, para qualquer triângulo.

Como podemos observar na figura, os ângulos formados pelos prolongamentos dos dois lados e a paralela ao outro lado, passando pelo vértice oposto a ela, são respectivamente opostos pelo vértice e os outros dois são ângulos correspondentes, formados por uma transversal a retas paralelas. Os três ângulos completam exatamente um ângulo raso, ou seja $180^{0}$. Isso irá ocorrer com qualquer triângulo, não importando as medidas de seus ângulos internos. A soma dos mesmos será sempre a mesma. Dará $180^{0}$.

Podemos estabelecer que:

$\alpha \lt(\beta + \gamma)$

$\beta \lt (\alpha + \gamma)$

$\gamma \lt (\beta + \alpha)$

Também podemos estabelecer que cada ângulo é maior do que o módulo da diferença dos outros dois.

$\alpha \gt |\beta – \gamma|$

$\gamma \gt |\alpha – \beta|$

$\beta \gt |\alpha – \gamma|$

Segmentos notáveis num triângulo

Altura: – é o segmento que une um vértice ao lado oposto formando com ele um ângulo reto. Como mostram as várias figuras, esse segmento pode estar localizado no interior do triângulo, como também pode estar fora, como acontece nos ângulos obtusângulos, quando é traçada em relação a um dos lados menores. Nos triângulos retângulos, as alturas em relação aos catetos, são os próprios. As alturas traçadas em relação aos três lados, se interceptam em um ponto, que pode estar localizado fora da figura. Este ponto é o chamado ortocentro do triângulo

Habitualmente a altura é simbolizada pela letra h, o que não é regra, apenas uma sugestão. A intersecção das alturas é denominada de ortocentro do triângulo.

Bissetriz: – denominamos bissetriz a reta ou segmento de reta que divide um ângulo ao meio. Todo triângulo possui três bissetrizes, que se interceptam em um ponto, no interior do polígono. A intersecção das bissetrizes denomina-se incentro, isto é, centro do compasso nesse ponto e abertura até qualquer um dos lados, pode-se traçar uma circunferência inscrita no interior do triângulo. Ela será tangente aos três lados do triângulo.

As bissetrizes inscrevem uma circunferência no interior do triângulo. Esta circunferência toca os três lados do triângulo.

Obs.: O triângulo equilátero e equiângulo, é o único triângulo que pode ser denominado como figura geométrica regular. Por isso dedicaremos especial atenção a alguns detalhes. (Final.)

Medianas de um triângulo: – denominamos medianas as retas ou segmentos de reta que contém um vértice e o ponto médio do lado oposto a esse vértice, em qualquer triângulo. A intersecção das medianas determina o ponto denominado baricentro. Em outras palavras significa que uma lâmina triangular de material e espessura uniforme fica em equilíbrio se suspensa por esse ponto.

A intersecção das medianas determina o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo, sendo feita de material uniforme e espessura constante.

Mediatrizes de um triângulo: – são segmentos de reta levantados perpendicularmente ($90^{0}$) ao ponto médio de cada um dos lados do triângulo. A intersecção desses segmentos determina o ponto denominado circuncentro. Centrando o compasso nesse ponto e com abertura aos vértices, pode-se traçar uma circunferência circunscrita ao triângulo.

As mediatrizes permitem circunscrever uma circunferência ao triângulo, contendo os três vértices.

Triângulos semelhantes

Dois ou mais triângulos são semelhantes se eles tiverem ao menos dois ângulos congruentes. Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a $180^{0}$, a congruência entre dois ângulos, implica necessariamente que o terceiro ângulo também seja congruente.

Os triângulos semelhantes têm uma característica importante. A congruência entre seus ângulos faz com que os lados que formam os respectivos ângulos sejam proporcionais.

Aqui temos dois triângulos equiláteros e portanto são semelhantes. Não são congruentes pois seus lados têm medidas diferentes, porém eles são proporcionais.

Observando os lados correspondentes podemos escrever a proporção:

$ {a\over a’} = {b\over b’} = {c\over c’}$

Agora temos dois triângulos retângulos, onde os ângulos congruentes determinam a proporcionalidade entre os lados correspondentes.

${m\over m’} = {n\over n’} = {p\over p’}$

Temos aqui um triângulo retângulo, onde a altura $h$ divide o ${\Delta}{(ABCA)}$ em dois triângulos semelhantes entre si e ao original.

No triângulo retângulo, temos o angulo reto $\widehat{(BAC)}$, e os ângulos agudos $\widehat{(ABC)}$ e $\widehat{(ACB)}$. Ao traçar a altura $h$ passamos a ter dois triângulos retângulos com os ângulos retos adjacentes $\widehat{(AMB)}$ e $\widehat{(AMC)}$. Tanto o $\Delta{(AMBA)}$ quanto o $\Delta{(AMCA)}$ têm um ângulo comum com o $\Delta{(ABCA)}$. Sendo assim ambos são semelhantes ao triângulo maior e consequentemente são semelhantes entre si. Isso nos permite escrever a proporção:

${m\over h} = {h\over n}$$\Leftrightarrow$$ h² = m\cdot n$

Entre estas expressões a que mais usamos em aplicações variadas é a última, que costuma ser enunciada como:

Num triângulo retângulo a altura relativamente à hipotenusa é média proporcional entre as projeções dos catetos sobre ela”.

Como demonstramos acima.

Triângulo áureo

O triângulo áureo básico é aquele que tem por hipotenusa um segmento cuja medida é igual à razão áurea $a = \Phi$. Os catetos são $b = \sqrt{\Phi}$ e $c = 1$. Todos os triângulos semelhantes a esse, quer sejam maiores ou menores são triângulos áureos. Seus lados serão respectivamente proporcionais.

Triângulo áureo fundamental e seus semelhantes

Podemos determinar os ângulos internos de qualquer triângulo áureo.

Por definição o ângulo entre os lados menores é reto. Mede $90^{0}$.

Os ângulos agudos são opostos aos catetos. Vejamos:

$sen^{-1}\gamma = \frac{\sqrt{\Phi}}{\Phi} = \frac{\sqrt{1,618}}{1,618}$

$\color{Navy}{sen^{-1}\gamma\simeq 51,828^{0}}$

$sen^{-1}\alpha = \frac{1}{\Phi} = \frac{1}{1,618}$

$\color{Navy}{sen^{-1}\alpha\simeq 38,172}$

Soma dos lados de um triângulo

Perímetro: – é a soma dos três lados do triângulo.

$p_{\Delta} = a + b + c$

Soma de dois lados: – em qualquer triângulo a soma de dois lados será sempre maior do que o terceiro lado.

$a \lt b + c$

$b \lt a + c$

$c \lt a + b$

Diferença entre dois lados: – o módulo da diferença entre dois lados de um triângulo é sempre menor do que o outro lado.

$|a – b| \lt c$

$|a – c| \lt b$

$|b – c| \lt a$

O triângulo retângulo tem uma característica importante, que veremos no próximo post. É uma figura geométrica de grande importância, com inúmeras situações em que se aplicam os conhecimentos a seu respeito.

Algumas perguntas para pensar?

  1. Um triângulo retângulo pode ser equilátero?

( ) sim; ( ) não; Porquê?…………………………………

2. Um triângulo escaleno pode ser retângulo?

( ) sim; ( ) não; Porquê?………………………………

3. Um triângulo equilátero pode ser obtusângulo?

( ) sim; ( ) não; Porquê? ……………………………………

4. Um triângulo isósceles pode ser retângulo?

( ) sim; ( ) nâo; Porquê? …………………………………

5. Um triângulo isósceles pode ser obtusângulo?

( ) sim; ( ) não; Porquê?…………………………………..

06. Um triangulo equilátero e um obtusângulo podem ser semelhantes? ( ) sim; ( )não; Porquê? ……………………………………………………………………………..

07. Se um triângulo deve ser construído com os lados medindo 3,0 cm, 5,0 m e 10,0 cm, é possível essa construção? ( )sim; ( )não; Porquê? Pense bem antes de responder. ………………………………………………………………………………………………..

08. Se a hipotenusa de um triângulo áureo mede $a = 5,0\,cm$, quais são as medidas de seus catetos?

09. O cateto menor de um triângulo áureo mede $c = 3,2\,cm$. Determine a medida do outro cateto e da hipotenusa.

10. A soma dos catetos de um triângulo áureo mede $b + c = 6,0\,cm$. Determine as medidas dos catetos e também da hipotenusa.

11. Um triângulo tem os lados $a = 8,0\, cm$ e $b= 6,0\,cm$. O terceiro lado mede tem sua medida em qual intervalo?

12. Em um triângulo um dos lados mede $15,0\,cm$. Quais os possíveis valores das medidas dos outros dois lados?

13. Se um dos ângulos de um triângulo mede $75^{0}$, quais são os possíveis valores das medidas dos outros dois ângulos?

14. Se um triângulo retângulo tem um ângulo agudo de $52^{0}$, quantos graus mede o outro ângulo agudo?

15. Se dois ângulos em um triângulo medem respectivamente $48^{0}$ e $62^{0}$, qual é a medida do terceiro ângulo?

16. Um triângulo tem dois lados medindo $a = 25,0\,cm$ e $b = 32,0\,cm$. Pergunta-se qual é o valor máximo que o perímetro desse triângulo pode ter?

Se ficaram dúvidas, faça a gentileza de entrar em contato por meio de um dos canais listados abaixo e vamos esclarecer o que não ficou entendido. OK?

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Matemática – Geometria

Figuras geométricas.

Ângulos

A intersecção de duas retas ou o encontro de dois segmentos de reta, formam o que chamamos de ângulo. Vejamos a figura ilustrativa abaixo.

Temos aí vários exemplos de ângulos, todos identificados por três letras, onde a letra do meio está associada ao ponto de encontro dos segmentos ou das retas. Esse ponto é denominado vértice do ângulo. No primeiro caso temos o ângulo $\widehat{ABC}$, depois $\widehat{DEF}$, $\widehat{GHI}$. Na intersecção das retas podemos identificar os ângulos ${\widehat{POQ}}$, ${\widehat{QOS}}$, $\widehat{ROS}$ e $\widehat{POR}$.

Vértice: – é o ponto de encontro dos segmentos ou das retas que formam o ângulo.

Unidades de ângulos:

a) a unidade mais empregada para medir ângulos é o “grau”. Uma circunferência é dividida em $360^{0}$. Isso equivale a dizer que a divisão da circunferência em quatro partes iguais resulta num ângulo reto que mede $90^{0}$.

b) a partir da expressão do comprimento da circunferência, obtemos outra unidade. Estamos falando do radiano e resulta da divisão do comprimento pelo raio. Disso resulta:

$\frac{2\cdot\pi\cdot R}{R} = 2\pi\,rad$

c)existe uma terceira unidade denominada “grado” e uma circunferência é dividida em 400 gr. Essa unidade é pouco empregada.

Equivalências entre as unidades de ângulos.

Vimos que uma circunferência mede:

$360^{0} = 400 gr = 2\pi\, rad$

Ao dividir a circunferência em quatro partes ficamos com:

$90^{0} = 100 gr = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\,rad$

Ao dividir a mesma em duas partes (metades), temos:

$180^{0} = 200 gr = \frac{2\pi}{2} = \pi\,rad$

Classificação de ângulos

Os ângulos são classificados em função das suas medidas nas várias unidades.

a) Ângulo agudo: – é a denominação dos ângulos menores que $90^{0}$. ( ${0^{0}\lt\alpha\lt{90^{0}}}$)

b)Ângulo reto:é o ângulo que mede 90^{0} ou o equivalente em radianos ou grados. (${\alpha = 90^{0} = {\pi\over{2} }rad = 100 gr}$)

c)Ângulo obtuso: – é todo ângulo que mede mais do que $90^{0}$. (${90^{0}\lt\alpha\lt 180^{0} = {\pi rad} = 200 gr}$)

d)Ângulo raso: – equivale a meia volta. Seriam duas semi-retas colineares ou segmentos colineares.($\alpha = 180^{0} = {\pi rad} = 200 gr$)

e)Ângulos congruentes ou côngruos: – são ângulos que apresentam a mesma medida (abertura). Podem ser sobrepostos, como se fossem um.

Ângulos em função da posição.

Ângulos adjacentes: – São ângulos que têm um lado comum e o mesmo vértice.

Ângulos opostos pelo vértice: – são ângulos formados por dois pares de segmentos consecutivos ou por duas retas concorrentes. O vértice comum é o ponto de intersecção dos segmentos ou das retas.

Os ângulos $\widehat{ABC}$ e $\widehat{CBD}$ são adjacentes. Seu lado comum é o segmento $\overline{BC}$. Os segmentos $\overline{MQ}$ e $\overline{PN}$, formam dois pares de ângulos. Os ângulos $\widehat{MON}$ e $\widehat{POQ}$, os ângulos $\widehat{MOP}$ e $\widehat{NOQ}$. Da mesma forma as retas que se interceptam em $\hat{X}$, formam os ângulos $\widehat{RXS}$, $\widehat{RXT}$, $\widehat{TXU}$ e $\widehat{UXS}$. O vértice sempre é a letra associada ao ponto comum entre os lados dos ângulos.

Ângulos complementares: – são ângulos que somados completam um ângulo reto, ou seja $90^{0}$.

Ângulos suplementares: – são ângulos que somados totalizam um ângulo raso, isto é, totalizam $180^{0}$.

Ângulos replementares: – são ângulos cuja soma perfaz um ângulo de $270^{0}$. Isso equivale à $\frac{3}{4}$ da circunferência.

Ângulos implementares: – os ângulos que somados completam uma volta, isto é uma circunferência, recebem essa denominação.

Retas paralelas cortadas por uma transversal.

Observamos que estão presentes os ângulos opostos pelo vértice e ângulos adjacentes.

Observando atentamente essa figura, podemos encontrar mais algumas conclusões importantes.

a) Ângulos alternos externos: – são os ângulos externos às retas paralelas e ficam em lados opostos da reta transversal. Assim $\alpha_{1}$ é alterno externo de $\alpha_{4}$; $\gamma_{1}$ é alterno externo de $\gamma_{4}$. Esses ângulos são congruentes entre si.

b)Ângulos alternos internos: – são os ângulos internos às retas paralelas e situados em lados opostos à reta transversal. São alternos externos os ângulos $\alpha_{3}$ e $\alpha_{2}$; $\gamma_{3}$ e $\gamma_{2}$. Também estes são congruentes entre si.

c)Ângulos colaterais externos: – são os ângulos externos às retas paralelas e situados do mesmo lado da reta transversal. Isso nos permite dizer que $\alpha_{1}$ é colateral externo de $\gamma_{4}$ e que $\gamma_{1}$ é colateral externo de $\alpha_{4}$. São ângulos suplementares.

d)Ângulos colaterais internos: – são os ângulos internos às retas paralelas e situados do mesmo lado da reta transversal. Então temos que $\gamma_{3}$ e $\alpha_{2}$, assim como $\alpha_{3}$ e $\gamma_{2}$ são colaterais internos.

Obs.: Facilmente se percebe que os ângulos colaterais, tanto os internos quanto os externos são respectivamente suplementares, isto é, somadas suas medidas resultam 180º.

e)Ângulos correspondentes:são ângulos que se situam do mesmo lado da reta transversal e estão voltados para o mesmo lado. Se deslizássemos uma das paralelas sobre a outra eles iriam coincidir ou se sobrepor. Em outras palavras, eles são congruentes. Sempre serão um interno e o outro externo.

Feixe de paralelas cortadas por transversais.

Aqui podemos também identificar todos os ângulos vistos no item anterior. Agora, porém, daremos um passo em frente. Vamos analisar os segmentos de reta determinados pelas paralelas sobre as transversais. Se as transversais também fossem paralelas, haveria a determinação de segmentos congruentes entre as mesmas paralelas. Como não é esse o caso, iremos constatar que existe uma proporcionalidade entre esses segmentos. Quanto mais o ângulo entre as transversais e as paralelas se aproxima de 90º, menor se torna o segmento determinado. Por isso podemos dizer que para ângulos quaisquer, esses mesmos segmentos são proporcionais. Assim:

$\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}}$

Aplicando as propriedades das proporções podemos mudar a ordem dos segmentos e escrever de outra forma.

$\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}$

Mantendo o mesmo raciocínio também é válido dizer que:

${{\overline{AB}\over\overline{AC}} = {\overline{DE}\over\overline{EF}}}$

Divisão áurea ou extrema razão.

Se um segmento de reta $\overline{AC}$ for dividido em dois segmentos por um ponto $B$, de modo que se tenha:

$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}$

Vejamos a figura:

Segmentos na razão áurea.

Fazendo: $\Phi = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}$

$\Phi = \frac{\overline{BC} + \overline{AB}}{\overline{BC}}$

$\Phi = \frac{\overline{BC}}{\overline{BC}} + \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}$

$\Phi = 1 + \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}$$\Leftrightarrow$$\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}$

${\Phi}^{2} = \Phi + 1$$\Leftrightarrow$${\Phi}^{2} – \Phi – 1 = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$\Delta = (-1)^{2} – 4\times 1\times {(-1)} = 5$

$\Phi = \frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2\times 1}$

$\Phi_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\Phi_{2} = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$

Desprezamos a raiz que terá valor negativo e ficamos com um valor

$\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$\Leftrightarrow$$\color{Navy}{\Phi = 1,618033989…}$

Via de regra usamos até a terceira casa decimal: $\color{Maroon}{1,618}$

Este é o valor da razão áurea ou média e extrema razão.

Que tal um pouco de exercícios!

  1. Exprimir um ângulo de $135^{0}$ nas unidades radiano e grado.

Sabemos que ; $180^{0} = \pi\,rad$,

Isso nos permite escrever: $\frac{180^{0}}{135^{0}} = \frac{\pi}{x}$$\Leftrightarrow$$x = \frac{135^{0}}{180^{0}}\cdot\pi$

$x = \frac{3}{4}\cdot\pi\, rad$

Se ${360^{0} = 400 gr}$$\Leftrightarrow$$\frac{360^{0}}{135^{0}} = \frac{400}{x}$

$ x = 400\cdot\frac{135^{0}}{360^{0}}$$\Leftrightarrow$

$x = 150\,gr$

Resposta: $135^{0} = 150\,gr = \frac{3}{4}\cdot\pi\,rad$

2. Determinar o complemento, o suplemento, o replemento e o implemento de um ângulo de ${\pi\over{3}}rad$.

a) complemento

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{3}$$\Leftrightarrow$$x = \frac{3\pi – 2\pi}{6}$

$x =\frac{\pi}{6}\,rad$

b) suplemento

$ x + \frac{\pi}{3} = \pi$$\Leftrightarrow$$x = \pi – \frac{\pi}{3}$

$x =\frac{3\cdot\pi -\pi}{3}$$\Leftrightarrow$$x = \frac{2\pi}{3}\,rad$

c) replemento

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$

$x = \frac{3\pi}{2} – \frac{\pi}{3}$

mmc(3 e 2) = 6

$x =\frac{3\cdot{3\pi} – 2\cdot\pi}{6}$$\Leftrightarrow$$x = \frac{9\pi – 2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\,rad$

d)implemento

$x +\frac{\pi}{3} = 2\pi$$\Leftrightarrow$$x = 2\pi – \frac{\pi}{3}$

$x = \frac{3\cdot{2\pi} – \pi}{3}$$\Leftrightarrow$$x = \frac{6\pi – \pi}{3}$ $\Leftrightarrow$$x = \frac{5\pi}{3}\,rad$

3. Um ângulo $\alpha = \frac{\pi}{4}\,rad$, é formado por duas retas concorrentes no ponto ${P}$. Pede-se determinar a medida do seu ângulo oposto pelo vértice e as medidas dos dois ângulos adjacentes formados pelas mesmas retas.

O ângulo oposto pelo vértice, como vimos, é congruente ao ângulo dado. Portanto: $\alpha_{1} = \frac{\pi}{4}\,rad$.

Os ângulos adjacentes são os suplementos do ângulo dado e são congruentes entre si, pois também são opostos pelo vértice por sua vez. Então:

$\beta + \frac{\pi}{4} = \pi $$\Leftrightarrow$$\beta = \pi – \frac{\pi}{4}$

$\beta = \frac{4\pi – \pi}{4}$$\Leftrightarrow$$\beta = \frac{3\pi}{4}\,rad$

Os dois ângulos adjacentes são congruentes e portanto têm a mesma medida.

4. Um feixe de três retas paralelas (r//s//p), é cortado por duas retas transversais $t_{1}$ e $t_{2}$, determinando sobre $t_{1}$, os segmentos $\overline{AB} = 5,0\,cm$ e $\overline{AC} =12,0\,cm$. Na reta $t_{2}$ fica determinado o segmento $\overline{DF} = 15,0 \,cm$. Pede-se determinar os segmentos $\overline{BC}$, $\overline{DE}$ e $\overline{EF}$.

Pela lógica do exercício, pode-se escrever:

$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$

$\overline{BC} = \overline{AC} – \overline{AB}$

$\overline{BC} = \overline{AC} – \overline{AB}$

A proporção fica:

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}$

$\frac{5,0}{12,0} = \frac{\overline{DE}}{15,0}$

$\frac{{5,0}\cdot{15,0}}{12,0} = \overline{DE}$

$\overline{DE} = 6,25\,cm$

Para o segmento $\overline{EF}$

$\overline{DE} + \overline{EF} = \overline{DF}$

$\overline{EF} = \overline{DF} – \overline{DE}$

$\overline{EF} = 15,0 – 6,25 = 8,75\,cm$

5. Determine o segmento que divide o segmento $\overline{AC} = 10\,cm$ em dois segmentos segundo a divisão áurea.

$\Phi = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$

$\overline{AB} =\frac{\overline{AC}}{\Phi}$$\Leftrightarrow$$\overline{AB} = \frac{10}{1,618}$

$\overline{AB}\simeq 6,180\,cm$

$\overline{BC} = \overline{AC} – \overline{AB}$$\Leftrightarrow$$\overline{BC} = 10 – 6,180$

$\overline{BC}\simeq 3,82\,cm$

6. Determine a medida dos segmentos que formam os segmentos que estão entre si na razão áurea, maiores que $c = 7,0\,cm$.

$\Phi = \frac{b}{c}$$\Leftrightarrow$$1,618 = \frac{b}{7,0}$

$b = \Phi\times 7$$\Leftrightarrow$$b = 1,618\times 7,0$

$\color{Sepia}{b = 11,326\,cm}$

$\Phi = \frac{a}{11,326}$$\Leftrightarrow$$a = 1,618\times 11,326$

$\color{Sepia}{a = 18,326\,cm}$

Agora é a sua vez.

  1. Determine os suplementos dos ângulos ${\alpha = 30^{0}}$, ${\beta = 75^{0}}$, ${\theta = 120^{0}}$. Exprima os valores também em radianos.
  2. Determine os replementos dos ângulos ${\epsilon ={ 2\pi\over{3}}}$, ${\gamma = {3\pi\over{4}}}$, ${\omega = {\pi\over{6}}}$. Exprima os resultados também em graus.
  3. Determine o implemento dos ângulos ${\alpha = 150^{0}}$, ${\gamma = 225^{0}}$ e ${\beta = 45^{0}}$. dê os resultados também em radianos e grados.
  4. Dois ângulos adjacentes formam juntos um ângulo raso. Se a medida de um deles é igual a $\frac{1}{3}$ desse ângulo, quanto mede o outro? Exprima os valores em graus, grados e radianos.
  5. Uma reta transversal intercepta duas paralelas, formando um ângulo obtuso de ${135^{0}}$. Quanto mede o ângulo colateral agudo desse ângulo? Exprima os resultados nas outras unidades.
  6. Duas retas transversais interceptam um feixe de paralelas, determinando sobre a primeira transversal os segmentos ${\overline{MN} = 7,0cm}$, ${\overline{NO} = 9,0 cm}$ e na outra transversal o segmento ${\overline{PQ} = 6,0 cm}$. Determine os segmentos ${\overline{MO}}$, ${\overline{PR}}$ e ${\overline{QR}}$.
  7. Um segmento de $15\,cm$ é dividido em dois segmentos que formam com ele uma razão áurea. Determine as medidas desses segmentos.
  8. Em um conjunto de três segmentos em uma razão áurea o segmento de medida entre o maior e o menor tem $b = 8,0\,cm$. Determine as medidas dos outros dois segmentos.

Havendo dificuldades faça contato comigo para esclarecimentos. Os canais são estes relacionados abaixo.

Curitiba, 24 de outubro de 2019

Décio Adams

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Matemática – Geometria

Introdução.

O desenvolvimento dos conceitos geométricos foram ocorrendo ao longo da história, especialmente para suprir as necessidades construtivas, demarcações de áreas e outras atividades humanas em sua evolução.

Há evidências do uso de algumas formas geométricas desde a mais remota antiguidade, grandemente nas inscrições denominadas rupestres, nas grutas e cavernas. Eram lugares primitivamente usados para abrigar os seres humanos das intempéries e outros riscos que enfrentavam.

De época mais recente, uma boa parcela de formas geométricas e mesmo alguns cálculos rudimentares, surgiram entre os egípcios para construção de seus sistemas de irrigação agrícola, bem como a demarcação periódica dos lotes destinados ao plantio, após as enchentes benfazejas do Rio Nilo. Foi um filósofo/matemático grego, de nome Euclides, que colocou ordem no caos que era a geometria egípcia. Daí a denominação de Geometria Euclidiana, dada à parte da Geometria que estuda as figuras planas em geral. Ao longo dos séculos foram surgindo novas contribuições de várias origens, até chegarmos aos dias atuais. A Geometria é de grande valia na vida humana, especialmente no desenvolvimento de máquinas e equipamentos, edificações diversas, onde as formas derivam desses conhecimentos.

Conceitos primitivos ou que não se podem definir.

Há alguns conceitos primitivos que podemos apenas descrever, mas não definir ou materializar. Todos os demais conceitos derivam deles, uma vez que os usamos para definir os outros, mais complexos, mais elaborados.

Ponto – Se pegarmos um lápis, muito bem afinado e com ele tocarmos uma folha de papel ou outra superfície, a marca deixada nos dará a ideia de um ponto. Dizemos que nos dá a ideia de ponto, uma vez que este é infinitamente menor, o que equivale a dizer que o ponto não tem dimensão. Os pontos são identificados por meio de letras maiúsculas como A, B, C, D, ou P, Q, R, S e outras.

As marcas feitas na imagem acima, podem servir de uma localização de pontos, mas na realidade não são pontos, são conjuntos de pontos. São pequenas manchas.

Reta – se colocarmos justapostos um número infinito de pontos, sempre na mesma direção, teremos a representação de uma reta. Ela é infinita em ambos os sentidos. Sendo formada por pontos, ela não tem espessura. Um risco com o lápis ou caneta, nos dá uma representação da reta, mas apenas isso. Geralmente usamos uma letra minúscula para identificar uma reta. É comum usar para isso as letras como r, s, t, p, q ou qualquer uma das outras, dependendo das circunstâncias.

Por um ponto passam infinitas retas. Por dois pontos em um plano, é possível traçar uma e somente uma reta.

As infinitas retas que podemos traçar pelo ponto, abrangem todo espaço tridimensional.
Pelos pontos ${A}$ e ${B}$, podemos traçar somente a reta ${\overleftrightarrow{AB}}$, assim como pelos pontos ${C}$ e ${D}$, é possível traçar somente a reta ${\overleftrightarrow{CD}}$

Semi-retas: – um ponto sobre uma reta, divide a mesma em duas semi-retas, que têm como origem esse ponto e se prolongam até o infinito na mesma direções e em sentidos opostos. Uma semi-reta é representada pelo ponto de origem e outro ponto identificado, encimados por uma seta partindo da letra origem para a outra letra. Por exemplo ${\overrightarrow{PP’}}$ ou ${\overrightarrow{PP”}}$

Segmentos de reta: – denominamos segmento de reta a parte de uma reta compreendida entre dois pontos identificados sobre ela. Os segmentos de reta são identificados pelas letras associadas as extremidades, encimadas por um traço horizontal. Exemplo ${\overline{PQ}}$

Segmentos consecutivos: – segmentos consecutivos têm uma extremidade comum e fazem parte da mesma reta. Por fazerem parte da mesma reta também são denominados segmentos colineares. Na figura os segmentos ${\overline{PQ} ;\overline{QR}}$

Na primeira reta temos as semi-retas ${\overrightarrow{PP’} e \overrightarrow{PP”}}$. Na segunda reta podemos identificar o segmento de reta ${\overline{PQ}}$ e na terceira reta temos os segmentos consecutivos ${\overline{PQ} e \overline{QR}}$.

Plano: – se olharmos para uma folha de papel sobre uma mesa ou colocada na vertical, podemos imaginar o que é um plano se imaginarmos essa folha se estendendo infinitamente em todas as direções e sentidos imagináveis. O plano é infinito, mas não tem espessura. Um plano geralmente é identificado por uma letra grega, como ${\alpha}$; ${\beta}$; ${\gamma}$.

O plano se estende infinitamente em todas as direções imagináveis prolongando a folha ou a tela do computador.

Classificação de retas

Retas coplanares: – são retas que estão contidas no mesmo plano. Vejamos a figura a seguir.

As retas coplanares podem ser paralelas, convergentes ou ortogonais.

Retas de topo: – são retas que perfuram um ou mais planos em qualquer direção, como mostra a figura.

Dois planos ortogonais, são perfurados por retas em diferentes pontos e estas retas são denominadas retas de topo.

Retas paralelas: – são retas pertencentes a um mesmo plano e todos os seus pontos sucessivos são equidistantes. Em outras palavras elas se prolongam até o infinito, sem jamais se encontrarem, isto é, não têm nenhum ponto comum.

As retas r, s, t, u tem todos seus pontos pertencentes ao plano ${\alpha}$ e no entanto não têm nenhum ponto em comum entre elas.

Retas concorrentes: – são retas que podem pertencer a um mesmo plano e têm um ponto comum. Por um mesmo ponto podemos traçar infinitas retas.

As retas p, q e r pertencem ao mesmo plano ${\alpha}$. As retas p e q, concorrem no ponto C. As retas q e r concorrem no ponto B e as retas p e r convergem ou concorrem no ponto A. Cada uma dessas retas é concorrente de inúmeras retas que passam no mesmo ponto e em pontos diferentes.

Retas ortogonais: – são retas que formam entre elas um ângulo de 90º ou seja um ângulo reto. Elas determinam um plano, como é o caso $\beta$.

As retas x e y são concorrentes no ponto O e formam um ângulo reto, isto é, os quatro ângulos formados pelas semi-retas são todos iguais a 90º.

Retas oblíquas: – são retas coplanares que formam ângulos diferentes de 90º. Dois são iguais e menores que 90º e outros dois são iguais e maiores que 90º.

As retas r e s são concorrentes no ponto P e formam dois ângulos ${\theta \lt {90º}}$ e dois ângulos ${\alpha\gt{90º}}$.

Planos paralelos: – são planos cujos pontos determinados por retas ortogonais a eles e paralelas entre si, são sempre equidistantes. Veja ilustração da figura.

Duas retas paralelas perfuram os planos ${\alpha}$ e ${\beta}$, determinando dois segmentos congruentes (mesma medida) que são ${\overline{MN}}|$ e ${\overline{PQ}}$. Isso demonstra que os planos ${\alpha}$ e ${\beta}$ são paralelos.

Planos ortogonais: – são planos que se interceptam segundo uma linha reta e qualquer reta ortogonal a um deles, será obrigatoriamente paralela ao outro plano.

As retas r e s perfuram os planos $\alpha$ e $\beta$ num ângulo que mede $90º$ e são paralelas respectivamente aos dois planos ortogonais. Fica fácil observar que as mesmas retas são também ortogonais entre si.

Planos oblíquos:são planos que se interceptam segundo uma linha reta, mas formam entre si ângulos $\neq{90º} $. Dois ângulos $\lt{90º}$ e dois angulos $\gt{90º}$.

Os planos oblíquos $\gamma$ e $\beta$ formam dois ângulos $\theta\lt{90º}$ e dois ângulos ${{180º – \theta}\gt{90º}}$.

Já vimos que existem linhas retas, que é o caso mais simples de linha. Agora vejamos os outros tipos de linhas possíveis.

Linhas curvas: são formadas por um conjunto infinito de pontos, que não estão arrumados na mesma direção. A direção varia em cada ponto da linha.

Linha mista:linha formada por porções curvas e porções retas, que podem se alternar.

Linha quebrada: – sequência de trechos retos e direções variadas.

Com estas informações teremos condições de desenvolver os próximos tópicos, que iniciaremos no post que virá em seguida.

Havendo dúvidas, não hesite em contactar-me por um dos canais abaixo listados, para esclarecimentos.

Curitiba, 23 de outubro de 2019

Décio Adams

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