01.018 – Matemática, Teoria dos conjuntos. Intersecção e união de conjuntos.

Operações com conjuntos.

  • União ou reunião de conjuntos.

Sejam:

  • $\color{Navy}{A = \{a,e,i,o,u\}}$ $\rightarrow$ conjunto das vogais.
  • $\color{Navy}{B = \{a,b,c,d,e,…,x,y,z\}}$$\rightarrow$ alfabeto latino.

união ou reunião desses dois conjuntos, formará o conjunto das letras do alfabeto. Simbolicamente representamos isso da seguinte maneira:

  • $\color{Navy}{A \cup B = U =\{a,b,c,d,e,f,g,…,x,y,z\}}$
  • Vemos que ao unir um conjunto a um de seus sub-conjuntos, o resultado é o próprio conjunto.

Num Diagrama de Venn:

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Vejamos outros exemplos:

  • $$\color{Maroon}{ M = \{0,1,2,3\}}$$
  • $$\color{Maroon}{N = \{3,4,5,6\}}$$
  • $$\color{Navy}{M\cup N = \{0,1,2,3,4,5,6,\}}$$

Num Diagrama de Venn

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Notamos que o elemento comum aos dois conjuntos, na reunião aparece somente uma vez. No primeiro exemplo, os elementos do conjunto são todos também elementos do conjunto e portanto o número de elementos do conjunto união é igual ao número de elementos do conjunto B. No segundo exemplo, temos um elemento comum e assim o conjunto união tem um elemento a menos do que a soma do número de elementos dos conjuntos  M e N.

Se os conjuntos a serem unidos, não contiverem elementos comuns, bastará reunir todos os elementos em um único e teremos o conjunto união ou reunião. Vejamos os conjuntos:

  • $\color{Navy}{A=\{-4,-2,0,2,4\}}$
  • $\color{Navy}{B=\{-3,-1,1,3\}}$
    • $\color{Maroon}{A\cup B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}}$

Notamos que o número de elementos $\color{Blue}{n(A\cup B) = n(A) + n(B) = 4 + 5 = 9}$

Num Diagrama de Venn, teremos:

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  • Intersecção de conjuntos.

Como vimos nos exemplos anteriores, os conjuntos podem ter elementos comuns entre si. A este conjunto de elementos, que pertencem tanto a um quanto a outro conjunto, denominamos intersecção. Sejam os conjuntos:

  • $\color{Brown}{ P = \{a,b,c,d,e\}}$
  • $\color{Brown}{ Q = \{a,e,i,o,u\}}$

Entre os dois conjuntos, temos dois elementos comuns. A intersecção é representada simbolicamente pelo símbolo $\color{Navy}{\cap}$. Portanto podemos escrever:

  • $$\color{Navy}{P\cap Q = \{a,e\}}$$

Num Diagrama de Venn

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Ou

  • $\color{Brown}{ G = \{1,3,5,7,9\}}$
  • $\color{Brown}{ H = \{6,7,8,9,10,11\}}$

A intersecção fica assim:

  • $\color{Navy}{G\cap H = \{7,9\}}$

No Diagrama de Venn

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  • Conjuntos disjuntos

O prefixo “dis” indica separação. Desse modo fica fácil compreender que estes conjuntos não tem elementos em comum, isto é, sua intersecção é um conjunto vazio. Podemos retomar o terceiro exemplo da união de conjuntos.

  • $\color{Navy}{A = \{-3,-1,1,3\}}$
  • $\color{Navy}{B = \{-4,-2, 0, 2,4\}}$
    • $\color{Maroon}{A\cap B = \varnothing =\{\}}$

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  • Intersecção de mais de dois conjuntos.

  • Podemos ter a intersecção entre vários conjuntos, pois um ou mais elementos podem fazer parte de todos eles. Sejam os conjuntos:
  • $\color{Maroon}{A = \{a,b,c,d,e\}}$
  • $\color{Maroon}{B = \{b,c,f,g,h,m\}}$
  • $\color{Maroon}{C = \{b,e,f,h,l\}}$
  • $\color{Navy}{A\cap B = \{b,c\}}$
  • $\color{Navy}{B\cap C = \{b,f,h\}}$
  • $\color{Navy}{A\cap C = \{b,e\}}$
  • $\color{Navy}{A\cap B\cap C = \{b\}}$

Num diagrama de Venn, isso fica assim:

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Exercitando um pouco.

  • Dados os conjuntos:
    • $\color{Navy}{A = \{-10, -5, 0, 5, 10, 15\}}$
    • $\color{Navy}{B = \{-2,-1,0,1,2,3\}}$
    • $\color{Navy}{C = \{0,2,4,6,8\}}$
    • $\color{Navy}{D = \{-1,0,1,3,5,7\}}$
    • $\color{Navy}{E = \{2,4,6,8,10,12\}}$
    • $\color{Navy}{F = \{1,2,3,4,5\}}$
    • $\color{Navy}{G = \{1,5,9,13,17\}}$
  • Efetue as operações com os conjuntos e represente-as em Diagrama de Venn.
    • $\color{Brown}{A \cup C =\{…\}}$
    • $\color{Brown}{B\cap F = \{…\}}$
    • $\color{Brown}{C\cup D\cup F =\{…\}}$
    • $\color{Brown}{E\cup A\cup D =\{…\}}$
    • $\color{Brown}{(A \cup D)\cap (F\cup E) = \{…\}}$
    • $\color{Brown}{(B\cap C)\cup (E\cap F) = \{…\}}$
    • $\color{Brown}{A\cap (D\cup F) = \{…\}}$

Curitiba, 07 de julho de 2016. Corrigido e atualizado em 04/11/2017 para republicação.

Décio Adams

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