Matemática – Aritmética – Divisão parte II

Divisão.

  • Vamos continuar aprendendo mais um pouco.
  • Vou tentar apresentar alguns exemplos onde apareçam as dificuldades que podem atrapalhar e explicar como se procede para contornar.
  • Vejamos o caso:
  • $$\color{NavyBlue}{1516\div 76 = ?}$$

Temos que dividir os três primeiros algarismos do dividendo, para ser possível. Observe que ${15\div 7 = 2}$. Isso nos daria o primeiro algarismo do quociente igual a 2. Mas, ao multiplicar ${2\times 76 = 152}$, vemos que não é possível subtrair esse valor de ${151}$. Assim, temos que reduzir o primeiro algarismo do quociente para 1. Isso acontece com frequência. É preciso ter cuidado para não se perder nesse momento.

Colocando ${1}$ no quociente e fazendo a multiplicação, subtraímos de ${151-76 = 75}$. O resto é ${75}$. Note que faltou pouco para o quociente ser ${2}$. Baixamos o ${6}$ para a direita do resto e temos o número ${756}$. Importante notar que nunca se colocam dois algarismos de uma vez no quociente. Por isso o máximo que pode aparecer é ${9}$, nunca mais. A multiplicação ${9\times 76 = 684}$, subtraímos  ${756-684=72}$. Temos portanto o resultado da divisão: $\color{NavyBlue}{1516\div 76 = 19}$, $\color{NavyBlue}{resto = 72}$ $\Leftrightarrow $ $\color{NavyBlue}{19\times 76 + \color{Red}{72} = 1516}$

$\color{NavyBlue}{5356\div 52 = ?}$

O primeiro algarismo do quociente será ${1}$ (um) e teremos resto ${1}$. Ao baixarmos o próximo algarismo, forma-se o número ${15\lt 52}$ e neste caso escrevemos, como próximo algarismo do quociente um ${0}$ (zero), antes de baixar o outro algarismo, formando agora o número ${156}$. A divisão de ${15\div5 = 3}$ o que deve permitir divisão por ${3}$ (três). Multiplicando ${3\times 52 = 156}$, que subtraído do dividendo, deixará resto${0}$ (zero). Resulta que $\color{NavyBlue}{5356\div 52 = 103}$, $\color{NavyBlue}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{103\times 52 = 5356}$.

  • $\color{NavyBlue}{4009\div 64 = ?}$

Os dois primeiros algarismos do dividendo formam um número menor que o divisor ${40\lt 64}$. Então temos que começar dividindo o número com três algarismos ${400\gt 64}$. Dividindo ${40\div 6 = 6}$, resto ${4}$. Devemos ter como primeiro algarismo do quociente o ${6}$ (seis). ${6\times 64 =384\lt 400}$. Subtraindo ${400 – 384 =16}$. Escrevemos ao lado direito do resto o último algarismo do dividendo, formamos ${169}$. A divisão ${16\div 6 = 2}$ com resto ${4}$. O próximo algarismo do quociente será ${2}$. ${2\times 64 = 128}$, que subtraído ${169 – 128 = 41}$. O quociente da divisão será pois ${62}$ e o resto ${41}$. Podemos escrever: $\color{NavyBlue}{4009\div 64 = 62}$, $\color{NavyBlue}{resto = 41}$, $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{62\times 64 +\color{red}{41} = 4009}$

  • $\color{navy}{2401\div 49 = ?}$
  • O número para começar a divisão, deve ter três algarismos, pois ${24\lt 49}$. Então ${24\div 4 = 6}$. Fazendo ${6\times 49 = 294\gt 240}$ o que não permite a divisão. Diminuímos para ${5\times 49 = 245\gt 240}$, também não permite a divisão. Devemos começar com o algarismo ${4}$ no quociente. Multiplicando ${4\times 49 = 196}$. Subtraindo ${240 – 196 = 44}$.
  • Escrevemos à direita do resto o último algarismo do dividendo ficamos com ${441}$. Dividindo ${44\div 4 = 11\gt 9}$. Portanto o próximo algarismo pode ser no máximo ${9}$. Multiplicamos ${9\times 49 = 441}$. Subtraímos ${441 – 441 = 0}$. Então:
  • $\color{NavyBlue}{2401\div 49 = 49}$,$\color{NavyBlue}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{49\times 49 = 2401}$.
  • $\color{NavyBlue}{2581\div 89 =?}$

A divisão começa pelo número ${258}$, onde temos ${25\div 8 = 3}$, restando ${1}$. Multiplicando ${3\times 89 = 267\gt 258}$. Temos que diminuir uma unidade. Agora ${2\times 89 = 178}$, que diminuído ${258 – 178 = 80}$. Escrevendo o algarismo final ${1}$ à direita do resto fica ${801}$. Para saber o valor do próximo algarismo do quociente, vejamos quanto dá ${80\div 8 = 10\gt 9}$, por isso devemos usar no máximo ${9}$. Multiplicamos ${9\times 89 = 801}$. Diminuímos ${801 – 801 = 0}$. $\color{NavyBlue}{2581\div 89 = 29}$, $\color{NavyBlue}{resto = 0}$, $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{29\times 89 = 2581}$.

Exercícios, lá vamos nós!

Efetue as divisões a seguir, usando para isso a forma de escrever os termos dentro da chave e realizando as operações, passo a passo. 

  • $\color{OliveGreen}{3792\div 65 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{7921\div 89  = ?}$
  • $\color{OliveGree}{4036\div 53  = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{5123\div 47 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{3584\div 37 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{10548\div 96 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{3230\div 65 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{3792\div 72 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{9486\div 75 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{5392\div 82 =?}$

Obs.: Em caso de qualquer dúvida, faça contato com um dos meios abaixo para tirar suas dúvidas. Mande outro tipo de dúvida que tentarei ajudar se for possível. 

Confira as respostas que obteve para os exercícios acima. 

  • $\color{OliveGreen}{3792\div 65 = 58 \Rightarrow (58\cdot 65) + 22}$
  • $\color{OliveGreen}{7921\div 89 = 89\Rightarrow(89\cdot 89) = {(89)}^2}$
  • $\color{OliveGreen}{4036\div 53  = 76\Rightarrow (76\cdot 53) + 8}$
  • $\color{OliveGreen}{5123\div 47 =109\Rightarrow (109\cdot 47)}$
  • $\color{OliveGreen}{3584\div 37 = 96 \Rightarrow(96\cdot 37) + 32}$
  • $\color{OliveGreen}{10548\div 96 = 109 \Rightarrow (109\cdot 96) + 84}$
  • $\color{OliveGreen}{3230\div 65 = 49 \Rightarrow (49\cdot 65) +45}$
  • $\color{OliveGreen}{3792\div 72 = 52 \Rightarrow(52\cdot 72) + 48}$
  • $\color{OliveGreen}{9486\div 75 =126 \Rightarrow(126\cdot 75) + 36}$
  • $\color{OliveGreen}{5392\div 82 =65 \Rightarrow (65\cdot 82) + 62}$

Curitiba, 14 de julho de 2016. Revisado e atualizado em 12 de outubro de 2019.

Décio Adams

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Matemática – Teoria dos conjuntos.

Conjuntos de números.

  • A necessidade de contar ou quantificar as coisas, como número de animais caçados, composição do rebanho com o surgimento da pecuária, volume de cereais e outros produtos colhidos. Até o número de soldados de um exército, levou o homem, há muito tempo, a criar números e símbolos para representá-los. Existiu, ao longo da história, uma imensa variedade de sistemas de numeração. Muitos deles associados a alguma coisa ou até a uma parte do próprio corpo.
  • Assim, os indígenas que habitavam a América, utilizavam um sistema de numeração de base 5(cinco), que é o número de dedos de uma mão. Os povos fenícios da antiguidade, usaram e espalharam por todos os lugares onde comerciavam, seu sistema de numeração  sexagesimal ,  isto é, de base 60. É deles que vem a divisão de uma hora em 60 minutos, e um minuto em 60 segundos. Uma circunferência é dividida em 360º, cada grau dividido em 60′ e cada minuto em 60″.
  • Os sistemas de informática, são baseados na numeração de base 2 (dois) ou numeração binária. Associada, inicialmente à uma lâmpada apagada, representando o número 0(zero) e uma lâmpada acesa representando o número 1(hum)
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Matemática – Conjuntos

Conjuntos numéricos – Produto cartesiano

Produto cartesiano!

Que bicho é esse?

Chamamos produto cartesiano de dois conjuntos numéricos A e B, ao conjunto de pares ordenados $\color{maroon}{(x; y)}$, onde $\color{maroon}{ x\in A} $ e $\color{maroon}{ y\in B}$. 

Simbólicamente fica

  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{ A X B =\{{(x;y)} | x \in A \wedge y \in B\}}}$. Lê-se:“A cartesiano B é igual aos pares (x;y), tais que x pertence a A e y pertence a B”.

Podemos inverter a ordem:

  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{B X A = \{{(x;y)} | x\in B \wedge y \in A\}}}$. Lemos: “B cartesiano A, é igual aos pares (x;y), tais que x pertence a B e y pertence a A”.

Vejamos como fica isso na prática. Sejam os conjuntos:

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006.3 – Matemática, aritmética, operações com naturais. Multiplicação III.

Multiplicação com múltiplos algarismos

 

Agora iremos ter os dois fatores com mais de um algarismo. Estaremos dando mais um passo no rumo dos níveis mais altos da matemática. Agora teremos mais de uma linha abaixo do traço horizontal e teremos necessidade de adicionar as colunas conforme a posição de cada algarismo. Vejamos:

  •  ${12\cdot 78 = ?}$
    • 78
  • X    12

    Começamos multiplicando ${2\cdot 8 = 16}$. O 6, algarismo das unidades será escrito sob a coluna das unidades e 1, algarismo das dezenas, fica reservado para adicionar no próximo passo. Vamos multiplicar ${2\cdot 7 = 14}$ e adicionamos ${1}$ que é a dezena reservada  ${14 + 1 = 15}$. Este número ${15}$ irá para a esquerda do ${6}$, formando na primeira linha o número ${156}$.

    • 78

X    12


156

Agora iremos multiplicar ${10\cdot 78}$. Multiplicar por ${10}$, resulta o  número ${780}$, que será colocado sob a primeira linha.78

X     12


156    (primeira linha)

780     (segunda linha)


936  – resultou: novecentos e trinta e seis.

Nas unidades temos o ${6}$ na primeira linha. Na coluna das dezenas ${5 + 8 = 13}$. O ${3}$ é colocado na coluna, reservando ${1}$ centena para adicionar na coluna própria. Nas centenas temos então ${1 + 1 + 7 = 9}$, completando assim o produto de ${12\cdot 78}$.

Vamos a mais um exemplo.

  • ${35\cdot 136 = ?}$
    • 136

X     35


Temos ${5\cdot 6 = 30}$

${5\cdot 3 = 15}$ ⇔ ${ 15 + 3 = 18}$ ⇒${10 + 8}$

${5\cdot 1 = 5}$ ⇒ ${5 + 1 = 6}$

Teremos na primeira linha o número 680.

Na segunda linha ${3\cdot 6 = 18}$ ⇒ ${10 + 8}$.

${3\cdot 3 = 9}$ ⇒ ${1 + 9 = 10}$ ⇒ ${10 + 0}$.

         ${3\cdot 1 = 3}$⇒ ${1 + 3 = 4}$

Na segunda linha formamos o número 408, que escrevemos abaixo da primeira linha, deixando a coluna das unidades vaga ou a completamos com um 0 (zero).

136

X        35


680

4080


4760 (quatro mil setecentos e sessenta) é o produto resultante.

Hora de exercitar novamente.

  • Efetue as multiplicações indicadas abaixo.
    • ${24\cdot 169 = ?}$
    • ${19\cdot 324 = ?}$
    • ${42\cdot 275 = ?}$
    • ${32\cdot 538 = ?}$
    • ${65\cdot 417 = ?}$
    • ${71\cdot 814 = ?}$
    • ${84\cdot 742 = ?}$
    •  ${54\cdot 249 = ?}$
    •  ${66\cdot 461 = ?}$
    •  ${84\cdot 569 = ?}$
    •  ${32\cdot 803 = ?}$

Com estes exemplos resolvidos, você tem condições de se orientar em outras multiplicações semelhantes, bastará escolher números quaisquer e aplicar o mesmo raciocínio.

Curitiba, 15 de outubro de 2017. Atualizado em 20 de julho de 2018.

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006.2 – Matemática, aritmética. Operações com naturais. Multiplicação.

Avançando com a multiplicação.

  • No post anterior, aprendemos a multiplicar os números com apenas um algarismo. Espero ter conseguido mostrar como se procede e que tenha dominado esse conteúdo. Havendo alguma dúvida, por favor, peça maiores explicações, fazendo um comentário expondo sua dificuldade. E quando os fatores forem números com mais de um algarismo, como iremos proceder? A operação é a mesma, apenas torna-se difícil fazer a representação concreta de conjuntos, depois contar os elementos para obter a resposta. Mas não se aflija. Novamente usaremos a escrita na forma de colunas e multiplicaremos todos os algarismos de um fator, por todos os algarismos do outro fator, escrevendo os resultados sob as colunas correspondentes. Se houver mais de uma linha, adicionaremos os valores de cada coluna, partindo da direita para a esquerda. A soma encontrada será o produto dos números. Nada melhor do que mostrar como se procede, com um bom exemplo resolvido.
  • ${18\cdot 4 = ?}$

18

X      4


Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\cdot 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\cdot 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o 7 à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.

18

x4


72 (setenta e dois é o produto: ${4\cdot 18 = 72}$).

Um outro exemplo: ${6\cdot 35 = ?}$

35

X                  6


Começando novamente da direita: ${6\cdot 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\cdot 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:

35

X         6


       210 (duzentos e dez, será o produto)

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006.1 – Matemática, aritmética. Multiplicação.

Crescei e multiplicai-vos

É isso que o Criador disse aos primeiros homens a caminhar sobre a Terra. Mas a nossa multiplicação aqui é um pouco diferente. Vamos multiplicar números, começando por entender o que significa essa operação.  Observe o exemplo.

  •  {♦, ♦} + {♦, ♦} + {♦,♦} = {♦,♦,♦,♦,♦,♦} ⇒ ${{ 2 + 2 + 2} = 6}$

Note que o conjunto de dois elementos foi adicionado três vezes, ou seja, temos uma adição de parcelas iguais, onde cada parcela tem dois elementos. Sempre que surge a ocasião de simplificar a forma de escrever ou seja traduzir em palavras ou símbolos uma sentença matemática, nós o fazemos. Nesse caso, podemos fazer a multiplicação e fica assim:

  • ${3\cdot {♦,♦,} = {3\cdot 2} = 6}$

Lemos aqui: “Tres vezes dois é igual a seis”. Os dois números multiplicados recebem o nome de fatores.

A multiplicação na verdade é nada mais nada menos que uma adição de parcelas iguais.  É importante lembrar desse detalhe, pois  será muito útil em situações que virão pela frente.

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005.1 – Matemática, aritmética. Subtração

Subtração

Começaremos por dizer que a subtração é a operação inversa da adição. Se na adição nós juntamos, reunimos os elementos de mais de um conjunto, na subtração fazemos o contrário. Retiramos, diminuimos os elementos de um conjunto(subtraendo), dos elementos de outro conjunto(minuendo) normalmente maior.  Por exemplo:

  • ${(♠, ♠, ♠, ♠, ♠, ♠, ♠)} – {(♠, ♠, ♠)} $
  • $= {(♠, ♠, ♠, ♠,\underbrace{ ♠, ♠, ♠})} ={(♠, ♠, ♠, ♠)}$
  •              7      –      3     =  4

Na forma de conjuntos, basta contar os elementos a serem subtraidos(subtraendo), retirando-os do conjunto (minuendo) e teremos um conjunto que é igual a diferença entre os dois. No exemplo temos 7 elementos no minuendo e 3 no subtraendo. Restaram 4 elementos no conjunto diferença. Para conferir se está certo, basta contar os elementos do resto, junto com os elementos do subtraendo e deveremos encontrar o minuendo. Você pode usar os dedos das suas mãos, dos pés, outros objetos para formar os conjuntos que ajudarão a efetuar essas operações. Com isso logo, logo, saberá de cor e salteado a diferença entre esses números pequenos, ficando mais fácil obter o resultado.

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004.3 – Matemática, aritmética. Adição de números naturais.

Adição de números naturais. 

Múltiplas parcelas com múltiplos algarismos.

Você deve ter notado que os exemplos e exercícios vistos até aqui nessa etapa, todos foram escolhidos de forma que a soma dos algarismos de cada coluna ficasse menor do que uma dezena. Isso facilitou nossa atividade. Mas na vida prática, isto não acontece dessa forma. Constantemente teremos adições, de vários números e as somas das colunas irão ultrapassar, e muito, a uma dezena. O que faremos neste caso?

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004.2 – Matemática, aritmética. Adição de números naturais.

Adição de números naturais

Números com vários algarismos. Mais de dois números.

Vamos ver agora como se procede com mais de dois números. Sejam os números.

  • 35 + 21 + 43 =

3 5

+ 2 1

4 3


Fazendo adição à mão 3

9 9

Temos na coluna das unidades simples (5 + 1 + 3 = 9) e na coluna das dezenas (3 + 2 + 4 = 9). Escrevemos os dois resultados abaixo das colunas correspondentes, sob a reta horizontal e temos o resultado da adição, que dá noventa e nove (99). São nove dezenas e nove unidades simples.

  • 413 + 324 + 252 =

4 1 3

+ 3 2 4

2 5 2


Fazendo adição à mão 4

9 8 9

Na coluna das unidades temos (3 + 4 + 2 = 9), na coluna das dezenas (1 + 2 + 5 =8) e na coluna das cebtebas simples temos ( + 4 + 3 + 2 = 9). Escrevendo os resultados abaixo das colunas correspondentes, teremos o resultado da adição que é 989. Nove centenas, oito dezenas e nove unidades simples. Facilmente entendemos que se houver mais números a serem adicionados, bastará escreve-los todos na forma de colunas e efetuar a adição, começando da direita (unidades) para esquerda. Novamente iremos exercitar o que vimos.

Efetue as adições, escrevendo em colunas os números (parcelas).

  • 17 + 42 + 30 =
  • 43 + 12 + 34 =
  • 132 + 225 + 312 =
  • 315 + 462 + 212 =
  • 3125 + 2423 + 1321 =
  • 1473 + 3012 + 4114 =
  • 132 + 205 + 230 + 322 =
  • 92 + 142 + 231 + 420 + 23 =

Realize as adições e confira, revisando para ter certeza de que o resultado é o que você encontrou. Se tiver dúvidas, entre em contato comigo por um dos canais abaixo listados.

Curitiba, 18 de julho de 2018

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067.11 – Matemática, álgebra. Cologaritmo e antilogaritmo.

Logaritmos

Cologaritmo

Vimos que se ${0 < a ≠ 1}$ e ${b > 0}$, denominamos logaritmo de ${b}$ na base ${a}$ ao expoente de ${a}$ que resulta na potência igual a ${b}$.

Já o cologaritmo é o oposto ou simétrico do logaritmo. Assim: ${colog_a{b} = – log_a{b}}$

${colog_a{b} = (-1)\cdot{log_a{b}}} ⇔ {colog_a{b} = log_a{b}^{-1}}$

${colog_a{b} = log_a{1\over b}}$

Fica demonstrado que o cologaritmo de um número em determinada base é igual ao logaritmo de seu inverso na mesma base.

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