01.020 – Matemática, aritmética. Números inteiros relativos.

Números relativos.

Nos primórdios da matemática, surgiram primeiramente os números, hoje denominados Números Naturais, associados a quantidades de objetos. A necessidade de exprimir quantidades que não representam um número inteiro de objetos, fez surgir as divisões decimais. Os algarismos após a vírgula, mas exatos, ou as dízimas periódicas. Isso ampliou grandemente as opções de resolução de problemas. Persistia no entanto um problema. A subtração só era possível se o minuendo tivesse valor maior que o subtraendo. Isso deixava a operação de subtração impossível em muitas situações. Como a necessidade costuma resultar no surgimento de inovações, foi também aqui que surgiu o que hoje conhecemos como Conjunto de Números Inteiros Relativos e posteriormente, os Racionais Relativos. 

Vamos primeiramente representar os números Naturais, na Reta Numérica. Na verdade uma semi-reta, começando em uma origem à qual associamos o número 0(zero), orientada da esquerda para direita.

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Os espaços entre os números que representamos ficam, podemos dizer, reservados para inserir os números fracionários, decimais ou periódicos existentes entre cada par de números inteiros. Cada número está associado a um ponto da reta.

O conjunto dos números naturais é representado, usando a notação de conjuntos, assim:

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{navy}{N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …\}}}$

Alguns números decimais na reta numérica. 

A seguir representamos alguns pontos associados a números inteiros e fracionários decimais. É impossível escrever todos os números, pois são infinitos. A figura apenas visa ilustrar, para dar uma ideia da realidade.

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Em notação de conjuntos
– $\bbox[4px,borcer:2px solid Olive]{\color{Navy}{R_{≠(-)}= \{0;…,0,5;…,1,0;…,1,5;…,2,0;…,2,25;…,2,75;…,3,0;…, 3,2;…,3,6;…\}}}$

Obs.: É importante notar que as retas tem uma seta na extremidade, indicando que elas se prolongam infinitamente, assim como o conjunto dos números também é infinito.

Números inteiros relativos.

  • A subtração, para ser possível em todas as situações, exige a ampliação do conjunto dos números. Primeiramente iremos falar apenas da ampliação dos números inteiros. Vejamos por exemplo:
  • $\color{Navy}{ 5 – 7  = Ø}$

Coloquei após o sinal de igualdade o símbolo de conjunto vazio, pois até agora essa operação não era possível. Não existe número natural que corresponda a subtração do número sete, do cinco. A solução que surgiu diante desse impasse, foi a introdução da noção de negativo. Imagine por exemplo que você precisa adquirir um objeto que custe $R\$ 50,00$, mas só dispõe de $R\$ 30,00$. Se o vendedor quiser, se você for digno de sua confiança, poderá pagar o valor que dispõe e ficar devendo o saldo. Isso seria representado assim:

  • $$\color{Navy}{30,00 – 50,00 = -20,00}$$

Em seu controle de saldo financeiro, haverá agora um valor negativo, uma dívida. Essa é a ideia de número negativo. Agora teremos a reta numérica ampliada nos dois sentidos a partir da origem 0(zero). Para cada número (+) positivo existente à direita, haverá um outro (-) negativo, situado à esquerda, na mesma distância da origem. Esse novo conjunto numérico é o Conjunto dos números inteiros relativos. O conjunto é representado na notação de conjuntos da seguinte maneira.

  • $$\color{Navy}{ I  = \{…, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, …\}}$$

Na reta numérica fica assim:

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  • Novamente temos apenas os inteiros representados na reta, mas entre eles permanece o espaço destinado a representar todos os números fracionários ou decimais compreendidos entre os inteiros. 

Esse novo conjunto numérico abre um enorme leque de opções, formas de cálculo, algumas regras, deduzidas pela aplicação do raciocínio a essa nova realidade. A partir desse momento, a operação de subtração passa a ser possível em quaisquer circunstâncias. Dispomos de um número relativo que exprime o resultado, seja ele qual for.

A reta numérica, ou numerada, com os números relativos, tem inúmeras aplicações práticas. Vamos citar alguns exemplos do nosso cotidiano.

  • Ao falarmos em temperatura, seja ambiente ou de algum meio especial, em geral usamos a escala Celsius, que atribui o valor $0^{0}C$ (zero grau Celsius) à temperatura do ponto de fusão do gelo sob pressão normal e $100^{0}C$ (cem graus Celsius) à temperatura de ebulição da água sob pressão normal. Frequentemente ouvimos anunciar que em determinada região do globo, onde é inverno no momento, as temperaturas alcançaram valores de $-20^{0}C$, $-30^{0}C$ e assim por diante. Também podemos nos deparar com informações de $1500^{0}C$, temperatura de fusão do ferro; $374^{0}C$, temperatura do ponto crítico da água; $-273^{0}C$, temperatura mínima possível dentro da teoria de vibração das moléculas, responsáveis pela sensação externa de temperatura.
  • Outra coisa que se apresenta em escalas positiva e negativa, são as posições relativas ao nível do mar. Os pontos situados acima, são representados por números positivos e na mesma escala, os pontos abaixo são negativos. Portanto, se o nível do mar for a referência,  o pico do Everest está a uma altitude superior aos $8800\,m$,  acima do nível do mar. No Oceano Pacífico, existem os locais de maior profundidade marinha, abaixo dos $12000\,m$ de profundidade, portanto em uma mesma escala, esses pontos serão representados por números negativos.
  • As rodovias pelo mundo afora, costumam ter um marco 0 (zero). A partir dali, a cada milha ou quilômetro, dependendo do país, é colocado um marco que indica a distância desse ponto, ao marco zero. Se a estrada fosse construída, em sentidos opostos a partir do marco zero as indicações seriam feitas em sentidos positivo e negativo, para diferenciar um ponto do outro. Seria escolhido um sentido como positivo e outro como negativo. Esse sistema de colocação de marcos, indicando a distância do local até um ponto de origem, já era usado nas estradas romanas, existentes por todo império. As estradas construídas pelos romanos existem, pelo menos algumas até hoje, devido à sua excelente qualidade. Pontes, sistemas de drenagem e compactação eram de qualidade superior.

Como as estradas sempre são feitas em duas mãos de direção, você pode percorrer as mesmas em dois sentidos. Se estiver percorrendo no sentido que demanda o marco zero, verá os números inscritos nos marcos na beira do caminho diminuindo gradativamente, na medida em que progredir em sua viagem. Depois de passar pelo marco zero, a numeração voltará a crescer, pelo menos em módulo, pois estará se afastando da origem. Pode ser que ali seja o começo de uma outra estrada que leva a outro lugar do país.

Talvez você tenha se perguntado por que usamos o nome de números relativos. Isso é fácil de explicar. Dissemos acima que na reta numerada existem sempre dois pontos, equidistantes da origem, aos quais atribuímos o número positivo no lado direito e o número negativo ao da esquerda. É costumeiro dizermos que são dois números de mesmo módulo, porém de sinais contrários. Assim o valor de cada número depende de seu módulo, bem como do sinal que lhe é atribuído. Eis a razão da denominação números relativos.

Consideramos a ordem crescente dos números relativos, da esquerda para direita. Dessa forma, os números negativos são considerados todos menores que 0 (zero).

$$\color{NavyBlue}{ -1 < 0 <+1}$$

$$\color{NavyBlue}{ -5  < -3 < 0}$$

$$\color{NavyBlue}{- 4 < +1}$$

  • Vemos assim que, para os números negativos, quanto maior o módulo (número sem sinal), menor é seu valor relativo. Já os números positivos seguem o que já estamos habituados desde que aprendemos a contar.
  •  Pesquise na internet as altitudes das capitais dos estados do Brasil e represente-as de maneira correta.
  • Pesquise as temperaturas de fusão do álcool, gasolina, óleo diesel, benzina, querosene, óleo de oliva, éter, representando-as de maneira correta.

Obs.: Para maiores esclarecimentos, entre em contato comigo num dos canais fornecidos abaixo. Estou sempre à disposição para tirar dúvidas.

Curitiba, 18 de maio de 2015 (Atualizado no dia 25 de julho de 2016). Republicação em 12/11/2017.

Décio Adams

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