01.041- Matemática, álbgebra. Multiplicação de polinômios.

Multiplicando polinômios

No post anterior, vimos como se multiplica um termo algébrico por outro e também um termo por um polinômio. E se tivermos que multiplicar um polinômio por outro, como fica a questão? Seja por exemplo:

$$\color{Sepia}{{(mx^2 + my)}\cdot{(2x + 3xy – 5y)}}$$

Vamos multiplicar alternadamente o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, até terminar. O resultado será uma expressão com vários termos, entre os quais é possível haver termos semelhantes. Bastará fazer a redução e teremos o resultado procurado. Façamos em partes.

$$\color{Red}{{mx^2}\cdot({2x + 3xy – 5y})}$$

$$\color{Red}{(mx^2)\cdot (2x)} + {(mx^2)\cdot (3xy)} +{(mx^2)\cdot (-5y)}$$

$$\color{Red}{2\cdot m\cdot x^2\cdot x} + {3\cdot m\cdot x^2\cdot xy} +{-5\cdot m\cdot  x^2\cdot y}$$

$$\color{Red}{{2mx^3 + 3mx^3y – 5mx^2y}}$$

$$\color{Indigo}{{my\cdot 2x} +{my\cdot 3xy} + {my\cdot{-5y}}}$$

$$\color{NavyBlue}{2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Escrevendo as duas partes juntas, verificaremos que não há termos semelhantes e assim ficaremos com uma expressão de seis termos no final.

$$\color{NavyBlue}{2mx^3 + 3mx^3y – 5mx^2y + 2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Vamos a outro exemplo:

$$\color{Sepia}{{( 3x^2 + 2x)}\cdot{(2x^3 + x^2)}}$$

Na multiplicação do primeiro termo do primeiro polinômio, pelo segundo polinômio resulta:

$\color{Red}{{(3x^2)}\cdot{(2x^3 +x^2)}}$

$\color{Red}{{(3x^2)}{(2x^3)} + {(3x^2)}{(x^2)}}$

$\color{Red}{{6x^{(2 + 3)}} + 3x^{(2+2)}}$

$\color{Red}{6x^5 + 3x^4}$

A segunda parte fica:

$\color{Red}{{(2x)}\cdot{(2x^3 +x^2)}}$

$\color{Red}{{2x\cdot 2x^3} + (2x)\cdot ({x^2})} $

$\color{Red}{4x^{(1+3)} + 2x^{(1+2)}}$

$$\color{Indigo}{4x^4 + 2x^3}$$

Reunindo as duas partes teremos:

$\color{NavyBlue}{6x^5 + 3x^4 +4x^4 + 2x^3}$

Temos dois termos semelhantes:

$\color{Brown}{{6x^5 +{(3x^4 + 4x^4)} + 2x^3}}$

$$\color{Purple}{6x^5 + 7x^4 + 2x^3}$$

Podemos, para facilitar, fazer as multiplicações na mesma sequência, sem separar, subentendendo alguns passos, depois de dominarmos o processo. Ou seja, podemos fazer as multiplicações mentalmente e escrever apenas os resultados, de modo a diminuir o espaço ocupado no papel. Mas isso deve ser feito, depois de termos perfeito domínio de cada passo. Não significa que iremos omitir os passos, apenas os fazemos em sequência e depois escrevemos o resultado. Isso acontece na medida em que adquirimos desenvoltura com as diferentes operações.

Hora de exercitar.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

a)$\color{Indigo}{({7\over 5}\cdot bx)\cdot{({5\over 3}\cdot cx^2})}$

b$\color{Indigo}{{(2ay)}{(5ay)}}$

c)$\color{Indigo}{{(6 pr)}{({2\over3}qr)}}$

d)$\color{Indigo}{{(3 i)}{(5ij)}}$

e)$\color{Indigo}{{(4mn)}{(3n^3)}}$

f)$\color{Indigo}{{(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}}$

g)$\color{Indigo}{{(bx^3)}{(2cxy^2)}{(5bc^2)}}$

h)$\color{Indigo}{{(3mn^2)}{(2m^3n)}{(-mn)}}$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $\color{Sepia}{{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$

b) $\color{Sepia}{{(mx^2)}\cdot {(mx + nx^2}y + mxy)}$

c) $\color{Sepia}{{(5 u^2v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}}$

d) $\color{Sepia}{{({2\over 3}{axy^3})}{(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}}$

e)$\color{Sepia}{{(3px^2)}{(5px + 3pq – 4qx^3)}}$

f)$\color{Sepia}{{(2mn^2 + 5mx – 3nx^3)}{(2mn)}}$

g)$\color{Sepia}{{(3xz^3)}{(2xy – 4xy^3z + 6x – x^2yz)}}$

h)$\color{Sepia}{{Ax^2)}{(Ax^3 + Bxy – Cyz^2)}}$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$\color{Brown}{{( a + ab)}{(abx + x)}}$

b)$\color{Brown}{{(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}}$

c)$\color{Brown}{{(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}}$

d)$\color{Brown}{{(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}}$

e)$\color{Brown}{{(4m – 2n)}{(mn + m^2n – 3n^3)}}$

f)$\color{Brown}{{(5 – 6x + 3xy + x^2y^3)}{(2 + 4xy)}}$

g)$\color{Brown}{{(4r^2 – 3pq)}{(5 + 3r – 2rq)}}$

h)$\color{Brown}{{(2ny – 3mx)}{(4nm + 2mx – 5mnx)}}$

Curitiba, 31/março/2016. Republicado em 16 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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