01.040 – Matemática – Álgebra. Multiplicação de termos e expressões algébricas.

Multiplicação de expressões algébricas

Resolução de exercícios do post anterior.

Adicionar e depois subtrair as expressões polinomiais, ordenando os resultados em ordem crescente dos expoentes da variável comum a todos os termos.

a) $$\color{Sepia}{5ay – 3 by^5 – 2 y^2 + a y^3} $$ $$\color{Sepia}{2ay^3 + 3by^5 – 2ay}$$

Adição: $$\color{Red}{({5ay – 2ay}) + ({-3by^5 + 3by^5}) – 2y^2 +({ay^3 + 2ay^3})}$$

$$\color{Red}{3ay – 2y^2 +3ay^3}$$

Já está em ordem crescente dos expoentes de y.

Subtração: $$\color{Sepia}{({5ay – 3by^5 – 2y^2 + ay^3}) – ({2ay^3 + 3by^5 – 2ay})}$$

Eliminando os parênteses, ficamos com:

$$\color{Red}{5ay – 3by^5 – 2y^2 + ay^3 – 2ay^3 – 3by^5 + 2ay}$$

Agrupando os termos semelhantes:

$$\color{Red}{({5ay + 2ay}) +({-3by^5 – 3by^5}) – 2y^2 +({ay^3 – 2ay^3})}$$

$$\color{Red}{7ay – 6by^5 -2by^2 – ay^3}$$

Ordenando os expoentes de y em ordem crescente.

$$\color{NavyBlue}{7ay -2by^2 -ay^3 -6by^5}$$

b) $$\color{Sepia}{7bx^2 – 3cx + 4 ax^4}$$

$$\color{Sepia}{3cx +4ax^4 – 2dx^3}$$

Adição: $$\color{Red}{({7bx^2 – 3cx + 4ax^4}) + ({+ 3cx + 4ax^4 – 2dx^3})} $$

$$\color{Red}{7bx^2 + {(- 3cx + 3cx )} + {(4ax^4 + 4ax^4}) – 2dx^3}$$

$$\color{Indigo}{7bx^2 + 8ax^4 – 2dx^3}$$

Em ordem crescente: $$\color{NavyBlue}{7bx^2 – 2dx^3 + 8ax^4}$$

Subtração: $$\color{Red}{({+ 7bx^2 – 3cx + 4ax^4}) – ({+ 3cx + 4ax^4 – 2dx^3})}$$

$$\color{Red}{+ 7bx^2 – 3cx + 4ax^4 – 3cx – 4ax^4 + 2dx^3}$$

$$\color{Red}{7bx^2 + ({ – 3cx – 3cx}) + ({4ax^4 – 4ax^4}) + 2dx^3}$$

$$\color{Indigo}{7bx^2 -6cx + 2dx^3}$$

Em ordem crescente: $$\color{NavyBlue}{-6cx + 7bx^2 + 2dx^3}$$

c) $$\color{Sepia}{mz^3 + 3nz – 5 z^2 }$$ $$\color{Sepia}{4mz^3 – 5z^2 + 4 nz}$$

Adição: $$\color{Red}{({mz^3 + 3nz – 5z^2}) + ({+4mz^3 – 5z^2 + 4nz})} $$

$$\color{Red}{({+ mz^3 + 4mz^3}) +({3nz + 4nz}) + ({- 5z^2 – 5z^2}) }$$

$$\color{NavyBlue}{5mz^3 + 7nz – 10z^2}$$ $$\color{NavyBlue}{7nz – 10z^2 + 5mz^3}$$

Subtração: $$\color{Red}{({mz^3 + 3nz – 5z^2}) – ({+ 4mz^3 – 5z^2 + 4nz})}$$

$$\color{Red}{mz^3 + 3nz – 5z^2 – 4mz^3 + 5z^2 – 4nz}$$

$$ \color{Indigo}{({mz^3 – 4 mz^3}) + ({ +3nz – 4nz}) + {( -5z^2 + 5z^2})}$$

$$\color{NavyBlue}{ – 3mz^3 – nz }$$ $$\color{NavyBlue}{ – nz – 3mz^3}$$

d)$$\color{Sepia}{13 x^4 + 9 x – 6x^3}$$

$$\color{Sepia}{8x + 3x^3 – 5x^4}$$

Adição: $$\color{Red}{({ +13x^4 + 9x – 6x^3}) +({+8x + 3x^3 – 5x^4})}$$

$$\color{Red}{ +13x^4 + 9x – 6x^3 + 8x + 3x^3 – 5x^4}$$

$$\color{Red}{({+ 13 x^4 – 5x^4}) + ({+9x + 8x}) + ({-6x^3 + 3x^3})}$$

$$\color{Indigo}{8 x^4+ 17x – 3x^3}$$

$$\color{NavyBlue}{ 17 x – 3x^3 + 8x^4 }$$

Subtração: $$\color{Red}{({13x^4 + 9x – 6x^3}) – ({+8x + 3x^3 – 5x^4})}$$

$$\color{Red}{13x^4 + 9x -6x^3 – 8x – 3x^3 + 5x^4}$$

$$\color{Red}{({13x^4 + 5x^4}) + ({+9x – 8x }) + ({-6x^3 – 3x^3})} $$

$$\color{Indigo}{18x^4 + x – 9x^3} $$

$$\color{NavyBlue}{ x – 9x^3 + 18x^4}$$

e)$$\color{Sepia}{x^2 y^3 + 2xy^2 – xy}$$

$$\color{Sepia}{4xy – 5x^2y^3 + xy^2 -4}$$

Adição: $$\color{Red}{x^2y^3 + 2xy^2 – xy} + {4xy – 5x^2y^3 +xy^2 – 4}$$

$$\color{Red}{x^2y^3 + 2xy^2 – xy + 4xy – 5x^2y^3 + xy^2 – 4} $$

$$\color{Indigo}{x^2y^3 – 5x^2y^3 + 2xy^2 + xy^2 – xy + 4xy -4}$$

$$\color{NavyBlue}{-4x^2y^3 + 3xy^2 + 3xy – 4}$$

Subtração: $$\color{Red}{x^2y^3 + 2xy^2 – xy} – {4xy – 5x^2y^3 +xy^2 – 4}$$

$$\color{Red}{x^2y^3 + 2xy^2 – xy – 4xy + 5x^2y^3 – xy^2 + 4}$$

$$\color{Indigo}{x^2y^3 + 5x^2y^3 + 2xy^2 -xy^2 -xy – 4xy + 4}$$

$$\color{NavyBlue}{6x^2y^3 + xy^2 – 5xy + 4}$$

f)$$\color{Sepia}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn}$$ $$\color{Sepia}{5mn – mn^5 – 6m^3n}$$

Adição:

$$\color{Red}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn} + {5mn – mn^5 – 6m^3n}$$

$$\color{Red}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn + 5mn – mn^5 – 6m^3n}$$

$$\color{Indigo}{-mn^5 – mn^5 + 2m^3n – 6m^3n – 6 mn + 5mn}$$

$$\color{NavyBlue}{-2mn^5 – 4m^3n – mn}$$

Subtração:

$$\color{Red}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn} – {5mn – mn^5 – 6m^3n}$$

$$\color{Red}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn -5mn + mn^5 + 6m^3n}$$

$$\color{Indigo}{-mn^5 + mn^5 + 2m^3n – 6m^3n – 6mn – 5mn}$$

$$\color{NavyBlue}{ – 4m^3n – 11mn}$$

Multiplicação

Agora vamos ver como se faz para multiplicar. Começamos com a multiplicação de termos algébricos por números e por outros termos.

Exemplo. $$\color{Sepia} {5\cdot {2ax^2}}$$

Basta multiplicar o coeficiente pelo fator 5 e teremos: $${10ax^2}$$

Outro exemplo: $$\color{Sepia}{2x\cdot 3y}$$ Resulta: $$\color{Red}{2\cdot 3}\cdot{x\cdot y}$$ $$\color{NavyBlue}{6xy}$$

Se houver fatores literais de mesma espécie nos termos multiplicados, vamos aplicar a propriedade comutativa da multiplicação (lembrar das propriedades das quatro operações básicas).

$$\color{Sepia}{({5ax^3})\cdot({4ax})}$$

Colocamos os fatores da mesma espécie juntos.

$$\color{Red}{{5\cdot 4}\cdot {a\cdot a} \cdot {x^3\cdot x}}$$ $$\color{Red}{20\cdot{a^{(1+1)}}\cdot{x^{(3 + 1)}}}$$ $$\color{NavyBlue}{20{a^2}{x^4}}$$

Multiplicamos os coeficientes numéricos e as letras tem seus expoentes somados, para resultar o termo final.

E se a multiplicação for de um termo por um polinômio?

Neste caso aplicamos a propriedade distributiva  da multiplicação em relação à adição e subtração. Isto quer dizer que multiplicamos cada termo do polinômio pelo termo que está multiplicando. Para terminar, aplicamos os procedimentos vistos para os termos algébricos.

$$\color{Sepia}{2xy}\cdot {( 3x + 4y)}$$

$$\color{Sepia}{{2xy}\cdot{3x} + {2xy}\cdot {4y}}$$

Efetuando as operações teremos: $$\color{NavyBlue}{6{x^2}y + 8x{y^2}}$$

Outro exemplo.

$$\color{Sepia}{ax^3}\cdot{(2a + 3bx – 5x)}$$

$$\color{Sepia}{{ax^3}\cdot{2a} +{ax^3}\cdot{3bx} + {ax^3}\cdot{(-5x)}}$$

$$\color{Sepia}{2{a^2}{x^3} + 3ab{x^4} -{ 5a}{x^4}} $$

Exercitar é preciso

Efetue as multiplicações de termos e expressões algébricas listadas abaixo.

a) $\color{Indigo}{4a^3} \cdot{2ab^3}$

b) $\color{Indigo}{5x^3y}\cdot{2xy^4}$

c) $\color{Indigo}{3mn^2}\cdot{(2m^2 – 5m^3n^2 + m^3n^2)}$

d) $\color{Indigo}{2x^2z^3}\cdot{(xz^4 + x^3y^2 – 3x^2z^2)}$

e) $\color{Indigo}{abx^3}\cdot{(a^2bx^2 – 3a^3bx + ax^3)}$

Curitiba, 30 de março de 2016. Republicado em 13 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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