Matemática – Aritmética – Divisão parte II

Divisão.

  • Vamos continuar aprendendo mais um pouco.
  • Vou tentar apresentar alguns exemplos onde apareçam as dificuldades que podem atrapalhar e explicar como se procede para contornar.
  • Vejamos o caso:
  • $$\color{NavyBlue}{1516\div 76 = ?}$$

Temos que dividir os três primeiros algarismos do dividendo, para ser possível. Observe que ${15\div 7 = 2}$. Isso nos daria o primeiro algarismo do quociente igual a 2. Mas, ao multiplicar ${2\times 76 = 152}$, vemos que não é possível subtrair esse valor de ${151}$. Assim, temos que reduzir o primeiro algarismo do quociente para 1. Isso acontece com frequência. É preciso ter cuidado para não se perder nesse momento.

Colocando ${1}$ no quociente e fazendo a multiplicação, subtraímos de ${151-76 = 75}$. O resto é ${75}$. Note que faltou pouco para o quociente ser ${2}$. Baixamos o ${6}$ para a direita do resto e temos o número ${756}$. Importante notar que nunca se colocam dois algarismos de uma vez no quociente. Por isso o máximo que pode aparecer é ${9}$, nunca mais. A multiplicação ${9\times 76 = 684}$, subtraímos  ${756-684=72}$. Temos portanto o resultado da divisão: $\color{NavyBlue}{1516\div 76 = 19}$, $\color{NavyBlue}{resto = 72}$ $\Leftrightarrow $ $\color{NavyBlue}{19\times 76 + \color{Red}{72} = 1516}$

$\color{NavyBlue}{5356\div 52 = ?}$

O primeiro algarismo do quociente será ${1}$ (um) e teremos resto ${1}$. Ao baixarmos o próximo algarismo, forma-se o número ${15\lt 52}$ e neste caso escrevemos, como próximo algarismo do quociente um ${0}$ (zero), antes de baixar o outro algarismo, formando agora o número ${156}$. A divisão de ${15\div5 = 3}$ o que deve permitir divisão por ${3}$ (três). Multiplicando ${3\times 52 = 156}$, que subtraído do dividendo, deixará resto${0}$ (zero). Resulta que $\color{NavyBlue}{5356\div 52 = 103}$, $\color{NavyBlue}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{103\times 52 = 5356}$.

  • $\color{NavyBlue}{4009\div 64 = ?}$

Os dois primeiros algarismos do dividendo formam um número menor que o divisor ${40\lt 64}$. Então temos que começar dividindo o número com três algarismos ${400\gt 64}$. Dividindo ${40\div 6 = 6}$, resto ${4}$. Devemos ter como primeiro algarismo do quociente o ${6}$ (seis). ${6\times 64 =384\lt 400}$. Subtraindo ${400 – 384 =16}$. Escrevemos ao lado direito do resto o último algarismo do dividendo, formamos ${169}$. A divisão ${16\div 6 = 2}$ com resto ${4}$. O próximo algarismo do quociente será ${2}$. ${2\times 64 = 128}$, que subtraído ${169 – 128 = 41}$. O quociente da divisão será pois ${62}$ e o resto ${41}$. Podemos escrever: $\color{NavyBlue}{4009\div 64 = 62}$, $\color{NavyBlue}{resto = 41}$, $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{62\times 64 +\color{red}{41} = 4009}$

  • $\color{navy}{2401\div 49 = ?}$
  • O número para começar a divisão, deve ter três algarismos, pois ${24\lt 49}$. Então ${24\div 4 = 6}$. Fazendo ${6\times 49 = 294\gt 240}$ o que não permite a divisão. Diminuímos para ${5\times 49 = 245\gt 240}$, também não permite a divisão. Devemos começar com o algarismo ${4}$ no quociente. Multiplicando ${4\times 49 = 196}$. Subtraindo ${240 – 196 = 44}$.
  • Escrevemos à direita do resto o último algarismo do dividendo ficamos com ${441}$. Dividindo ${44\div 4 = 11\gt 9}$. Portanto o próximo algarismo pode ser no máximo ${9}$. Multiplicamos ${9\times 49 = 441}$. Subtraímos ${441 – 441 = 0}$. Então:
  • $\color{NavyBlue}{2401\div 49 = 49}$,$\color{NavyBlue}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{49\times 49 = 2401}$.
  • $\color{NavyBlue}{2581\div 89 =?}$

A divisão começa pelo número ${258}$, onde temos ${25\div 8 = 3}$, restando ${1}$. Multiplicando ${3\times 89 = 267\gt 258}$. Temos que diminuir uma unidade. Agora ${2\times 89 = 178}$, que diminuído ${258 – 178 = 80}$. Escrevendo o algarismo final ${1}$ à direita do resto fica ${801}$. Para saber o valor do próximo algarismo do quociente, vejamos quanto dá ${80\div 8 = 10\gt 9}$, por isso devemos usar no máximo ${9}$. Multiplicamos ${9\times 89 = 801}$. Diminuímos ${801 – 801 = 0}$. $\color{NavyBlue}{2581\div 89 = 29}$, $\color{NavyBlue}{resto = 0}$, $\Leftrightarrow$ $\color{NavyBlue}{29\times 89 = 2581}$.

Exercícios, lá vamos nós!

Efetue as divisões a seguir, usando para isso a forma de escrever os termos dentro da chave e realizando as operações, passo a passo. 

  • $\color{OliveGreen}{3792\div 65 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{7921\div 89  = ?}$
  • $\color{OliveGree}{4036\div 53  = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{5123\div 47 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{3584\div 37 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{10548\div 96 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{3230\div 65 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{3792\div 72 = ?}$
  • $\color{OliveGreen}{9486\div 75 =?}$
  • $\color{OliveGreen}{5392\div 82 =?}$

Obs.: Em caso de qualquer dúvida, faça contato com um dos meios abaixo para tirar suas dúvidas. Mande outro tipo de dúvida que tentarei ajudar se for possível. 

Confira as respostas que obteve para os exercícios acima. 

  • $\color{OliveGreen}{3792\div 65 = 58 \Rightarrow (58\cdot 65) + 22}$
  • $\color{OliveGreen}{7921\div 89 = 89\Rightarrow(89\cdot 89) = {(89)}^2}$
  • $\color{OliveGreen}{4036\div 53  = 76\Rightarrow (76\cdot 53) + 8}$
  • $\color{OliveGreen}{5123\div 47 =109\Rightarrow (109\cdot 47)}$
  • $\color{OliveGreen}{3584\div 37 = 96 \Rightarrow(96\cdot 37) + 32}$
  • $\color{OliveGreen}{10548\div 96 = 109 \Rightarrow (109\cdot 96) + 84}$
  • $\color{OliveGreen}{3230\div 65 = 49 \Rightarrow (49\cdot 65) +45}$
  • $\color{OliveGreen}{3792\div 72 = 52 \Rightarrow(52\cdot 72) + 48}$
  • $\color{OliveGreen}{9486\div 75 =126 \Rightarrow(126\cdot 75) + 36}$
  • $\color{OliveGreen}{5392\div 82 =65 \Rightarrow (65\cdot 82) + 62}$

Curitiba, 14 de julho de 2016. Revisado e atualizado em 12 de outubro de 2019.

Décio Adams

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Matemática – Aritmética – Divisão

Divisão

  • Divisão. Do mesmo modo que a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a inversa da multiplicação.

Vamos tomar um exemplo.

  • A mãe volta do trabalho e passa pelo mercado. Compra os mantimentos necessários para fazer a janta e café da manhã. Para agradar seus três filhos, passa na seção de balas e doces, pegando um pacote de bombons, com 15 unidades.
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Matemática – Aritmética – Multiplicação

Multiplicação.

– Vamos supor que nos seja proposta a soma:

3 laranjas + 3 laranjas + 3 laranjas = 9 laranjas sem dúvida.

  • $\color{navy}{3 + 3 + 3 = 9}$
  • Quantas parcelas de 3 laranjas foram somadas?
  • A resposta será:${3}$ parcelas.

A matemática sempre procura uma forma de escrever as coisas de maneira mais simplificada, mais compacta. Nesse caso, uma soma de 3 parcelas de 3 laranjas, pode ser representada pela multiplicação

  • $\color{navy}{3\times 3}$ laranjas = 9 laranjas.
  • Podemos representar isso na forma de reunião de conjuntos do quantidades iguais de elementos.
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Matemática – Aritmética. Curiosidade sobre divisibilidade por 11.

Curiosidade!

Não sei se é realmente uma curiosidade, ou se estou “redescobrindo” a roda. Mas estava eu às voltas com os critérios de divisibilidade, objeto de um artigo que publiquei em dias passados, quando me ocorreu verificar o caso dos números divisíveis por $\color{Navy}{11}$. Eu estava buscando um número de vários algarismos e que fosse divisível por $\color{Navy}{11}$. Lembrei que basta repetir um número, numa linha abaixo, deslocando o algarismo das unidades para as dezenas e assim até o final. Feito isso efetua-se a soma, resultando um número divisível. Vejamos como isso funciona para não deixar dúvidas.

Na figura está efetuada a multiplicação de $\color{Navy}{475\cdot 11} = \color{Red}{5225}$. No momento de fazer a multiplicação, vemos que multiplicamos o número duas vezes por ${1}$, apenas escrevendo os resultados com as colunas deslocados, uma vez que o segundo representa a multiplicação por $\color{Navy}{10}$ e poderíamos completar a coluna das unidades colocando ali um $\color{navy}{ 0}$. Um detalhe importante a ser notado, é que o último algarismo do produto é sempre igual ao último algarismo do número multiplicado por ${11}$.

Prova Real da adição é feita subtraindo do total, uma das parcelas. Isso me levou a fazer o que segue. Peguei o número, nesse caso $\color{navy}{5225}$, escrevendo sob o algarismo das unidades o algarismo ${0}$ e subtraindo. Depois escrevi sob o algarismo das dezenas o resto da primeira subtração, ou seja o último algarismo. Efetuei a subtração e repeti o processo, até subtrair o último algarismo que deu ${0}$.  

Note que, ao escrever o último resto, como próximo algarismo do subtraendo dessa operação, estava repetindo o resto, tendo o ${0}$ no final. Vejamos como isso terminou, colocando agora o ${7}$, até terminar.

Podemos notar que os mesmos algarismos do resto, estão na posição do subtraendo e o último algarismo da esquerda no resto deu ${0}$.

Pela regra vista nos critérios de divisibilidade em geral, faríamos a adição dos algarismos de ordem ímpar e os de ordem par, subtraindo um do outro. Se o resultado for divisível por ${11}$, o número analisado também é divisível. Vamos ver:

  • $\color{Navy}{S_{i} = 5 + 2 = 7}$
  • $\color{Navy}{S_{p} = 2 + 5 = 7}$
  • $\color{Navy}{S_{i} – S_{p} = 7 – 7 = 0}$
  • O número ${0}$ é divisível por qualquer número e portanto também por $11$. Logo o número ${5225}$ é divisível por ${11}$.
  • Vejamos outro exemplo para tirar as dúvidas.
Note que também aqui acontece a mesma coisa. Subtraindo o ${0}$ do último algarismo o resto é o próprio. Subtraindo esse algarismo do algarismo das dezenas, temos o segundo resto. Este subtraído do algarismo das centenas, nos dá o terceiro resto, que subtraído do algarismo dos milhares nos dá o último resto. Subtraímos este do algarismo das dezenas de milhares e teremos resto zero. Isso evidencia que o número ${80212}$ é divisível por${11}$. Para sanar a dúvida, apliquemos também aqui o critério da soma dos algarismos de ordem ímpar e ordem par:
${S_{i} = 8 + 2 + 2 = 12}$
${S_{p}= 0 + 1 = 1}$
${\Delta S=S_{i}- S_{p} = 12 – 1 = 11}$
Comprovamos que é divisível por ${11}$ e também validamos o critério apresentado no primeiro exemplo.
  • Vamos ver se isso funciona com outro número, que não seja divisível. Por exemplo $\color{Navy}{7439}$. Pelo critério geralmente usado teremos:
  • $\color{Navy}{S_{i} = 9 + 4 = 13}$
  • $\color{Navy}{S_{p}=3 + 7 = 10}$
  • $\color{Olive}{S_{i} – S_{p} = 13 – 10 = 3}$, que não é divisível por ${11}$, indicando que o número $\color{Navy}{7439}$ também não é.
  • Como fica aplicando o procedimento que eu observei.

Vemos que tudo foi igual ao outro exemplo, menos na última subtração, onde não foi possível fazer $\color{Navy}{6 – 9}$ e não tínhamos vizinho à esquerda para emprestar. Poderia ter ocorrido que a subtração fosse possível, mas desse diferente de ${0}$. Nesse caso, o número $\color{Navy}{7439}$ não é divisível por $\color{Navy}{11}$. Estou apresentando como uma “curiosidade”, para que mais pessoas testem o procedimento e opinem.Talvez até já seja do conhecimento de outras pessoas, mas não seja considerado algo digno de nota. Quem ler e testar, pode me dar sua opinião a respeito. Talvez seja possível desenvolver alguma discussão a respeito.  Para colocar em teste, vamos observar mais alguns exemplos.

  • $\color{Brown}{{34793}\div {11} = ?}$
    • Pelo critério geralmente usado
      • $\color{Olive}{S_{i} = 3 + 7 + 3 = 13}$
      • $\color{Olive}{S_{p} = 9 + 4 = 13}$
      • $\color{Navy}{S_{i} – S_{p} = 13 – 13 = 0}$ $\rightarrow$ é divisível por $11$.
    • Pelo procedimento por mim apresentado.
A última subtração deu zero e por isso o número $ 34793$ é divisível por$ 11$, o que é confirmado pelo critério da soma dos algarismos de ordem ímpar e ordem par.

Podemos observar nitidamente que o resto e o subtraendo tem os mesmos algarismos, com a exceção do ${0}$, o que indica a multiplicação por ${10}$. Mas o último algarismo da esquerda agora foi igual a ${0}$, indicando divisibilidade por ${11}$. $\color{Olive}{{76549}\div {11} = ?}$

Os dois métodos confirmam o mesmo resultado. Número divisível por 11.

Abaixo do procedimento que identifiquei. O ${0}$ na última posição do resto, indica divisibilidade. Pelo critério geral. $\color{navy}{S_{i} =9 + 5 + 7 = 21}$ $\color{Navy}{S_{p} = 4 + 6 = 10}$ $\color{Navy}{S_{i} – S_{p} = 21-10 =11}$, isto também indica divisibilidade por $11$.

  • $\color{Olive}{{457963}\div{11} =?}$

Abaixo está feita a demonstração pela subtração e o resultado indica que o número $\color{Olive}{457963}$ é divisível por $\color{olive}{11}$. Usando o critério comum.

  • $\color{Navy}{S_{i}=3+9+5 =17}$
  • $\color{Navy}{S_{p}=6+7+4=17}$
  • $\color{Olive}{S_{i}-S_{p}=17-17=0}$, indicando divisibilidade.

Podemos observar que nos casos em que o número é divisível, os dois critérios conferem no resultado. Vamos usar números não divisíveis para ver.

  • $\color{Olive}{{73259}\div{11} =?}$
Os dois critérios indicam que o número não é divisível por 11.

Pela subtração, notamos que não foi possível fazer a última subtração, pois não é possível fazer ${6 – 7}$, nessa forma. Não é divisível por ${11}$. Pela adição das ordens. $\color{Navy}{S_{i}=9+2+7=18}$ $\color{Navy}{S_{p}=5+3=8}$ $\color{Navy}{S_{i}-S_{p}=18-8=10}$, não é divisível por ${11}$.

  • $\color{Olive}{{827568}\div{11} =?}$
Os dois métodos indicam que o número fornecido não é divisível por 11.

O método da subtração mostra que não é divisível, pois o último algarismo da esquerda deu diferente de ${0}$. Pela adição das ordens.

  • $\color{Navy}{S_{i[}=8+5+2=15}$
  • $\color{Navy}{S_{p}=6+7+8=21}$
  • $\color{Olive}{S_{p}-S_{i}=21-15=6}$, não é divisível por ${11}$.

Os exemplos  mostrados{ permitem deduzir que o procedimento é válido e, dependendo da prática, pode ser até mais rápido do que o outro. Vamos ver qual será a opinião dos meus leitores.

  • Treinar um pouco faz bem. Vamos verificar se os números a seguir são divisíveis por 11 ou não.

a) ${5724}$ ?

b) ${41294}$ ?

c)${7425}$ ?

d)${949007}$ ?

e)${4267}$?

f)${9339}$ ?

Obs.: Se você ler essa matéria, testar e julgar válida minha demonstração, me mande sua opinião. Se julgar inútil, ou sem validade, também me informe, para que possa ter uma ideia da aceitação ou não do procedimento. 

Curitiba, 21 de julho de 2016. Revisado, melhorado e republicado em 05 de outubro de 2019.

Décio Adams

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Matemática – Aritmética. Múltiplos e sub-múltiplos

Múltiplos e sub-múltiplos.

  • Já estudamos a multiplicação e sua inversa, a divisão.
  • A tábuada nos mostra o resultado da multiplicação dos números ${le10}$ entre si. O verbo multiplicar nos leva a palavra múltiplo. O resultado da multiplicação nos fornece um múltiplo do número multiplicado. Dessa forma podemos definir uma família de múltiplos para qualquer número. Por exemplo: ${f_{m}(3) =?}$. Essa família será um conjunto de todos os múltiplos do número ${3}$ (tres). Começaremos  multiplicando por ${\{0,1,2,3,4,5…\}}$ e assim sucessivamente. Logo essa família é infinita. 
  • $\color{navy}{f_{m}(3) = \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …\}}$
  • $\color{navy}{f_{m}(5) =\{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, …\}}$
  • Percebemos imediatamente que todas as famílias de múltiplos começam com o número 0 (zero), pois todos serão multiplicados por ele e o resultado só pode ser esse. A multiplicação de cada número por ${1}$ (um), dá o próprio número e assim sucessivamente.
  • Podemos escrever de modo genérico \[\bbox[5px,border: 2px solid olive]{\color{brown}{f_{m}(n) = \{0\cdot n, 1\cdot n, 2\cdot n, 3\cdot n, …\}}}\]
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006.1 – Matemática, aritmética. Multiplicação.

Crescei e multiplicai-vos

É isso que o Criador disse aos primeiros homens a caminhar sobre a Terra. Mas a nossa multiplicação aqui é um pouco diferente. Vamos multiplicar números, começando por entender o que significa essa operação.  Observe o exemplo.

  •  {♦, ♦} + {♦, ♦} + {♦,♦} = {♦,♦,♦,♦,♦,♦} ⇒ ${{ 2 + 2 + 2} = 6}$

Note que o conjunto de dois elementos foi adicionado três vezes, ou seja, temos uma adição de parcelas iguais, onde cada parcela tem dois elementos. Sempre que surge a ocasião de simplificar a forma de escrever ou seja traduzir em palavras ou símbolos uma sentença matemática, nós o fazemos. Nesse caso, podemos fazer a multiplicação e fica assim:

  • ${3\cdot {♦,♦,} = {3\cdot 2} = 6}$

Lemos aqui: “Tres vezes dois é igual a seis”. Os dois números multiplicados recebem o nome de fatores.

A multiplicação na verdade é nada mais nada menos que uma adição de parcelas iguais.  É importante lembrar desse detalhe, pois  será muito útil em situações que virão pela frente.

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043.2 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis. Produto da soma de dois números pela sua diferença.

– Produto da soma de dois números pela sua diferença

Sejam os números representados pelas letras b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

${\underbrace{(a + b)} }\cdot {\underbrace{(a – b)}} $

${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $

${ a^2 – ab + ab – b^2}$

$ {a^2 – b^2}$

Admitamos que sejam dados para $a$ e $b$ os valores:

${ a = 7}$

${ b = 3}$

Substituindo na multiplicação, temos:

${\underbrace{(7 + 3)}}\cdot{\underbrace{(7 – 3)}}$

${\underbrace{10 \cdot 4} = 40}$

Substituindo na diferença entre os quadrados:

${a^2 – b^2}$

${7^2 – 3^2}$

${\underbrace{49 – 9} =  40}$

NOTA: Percebemos que o resultado é exatamente igual, não importando se usamos a substituição dos valores das variáveis (letras) na multiplicação e efetuamos ou se usamos a diferença entre os quadrados.

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, isto é, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre os quadrados dos dois números. 

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”.

Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo”. 

Vamos exercitar um pouco.

a) $ {\underbrace{(mn + n)}}\cdot{\underbrace{(mn – n)}} $

$ {{(mn)}^2 – n^2 }$

${ m^{2}n^{2} – n^2 }$

b) $\underbrace {(7 – 3x)}\cdot{\underbrace {(7 + 3x)}} $

$ {{7}^2 – {(3x)}^2 }$

${ 49 – 9x^2 }$

c) $\underbrace {(4x + 3z)}\cdot{\underbrace{(4x – 3z)}} $

${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $

${ 16x^2 – 9z^2 }$

d) $ \underbrace{( 1 + ab)}\cdot{\underbrace{( 1 – ab)}} $

$ {1^2 -{(ab)}^2 }$

${ 1 – a^{2}b^{2} }$

Resolva os produtos das somas pelas respectivas diferenças entre dois números, aplicando a regra.

a)${(2a + 3b)}{(2a – 3b)}= ?$

b)${(mn – 5)} {(mn + 5)}= ?$

c)${(3ax + 2by)}{(3ax – 2by)}= ?$

d)${(mx + ny)}{(mx – ny)}= ?$

e)${(7 – 5b)}{(7 + 5b)}= ?$

f)${(6az + 3by)}{(6az – 3by)}= ?$

g)${(3bp + 5br)}{(3bp – 5br)}= ?$

h)${(5qp – 7rp)}{(5qp + 7rp)}= ?$

Curitiba,  09 de junho de 2018.

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043.1 – Matemática, Álgebra – Produtos notáveis, quadrado da diferença de dois números

– Quadrado da diferença de dois números

A mesma coisa que acontece no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exemplo:

$\underbrace{( a – b)^2} $

A letra $a$ é o primeiro termo e a letra $b$ é o segundo termo da diferença. 

$\underbrace{( a – b)}\cdot{\underbrace{(a – b)}} $

Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

$\underbrace{{a}\cdot {a}} + \underbrace{ {a}\cdot {(-b) }} + \underbrace{{(-b)}\cdot {a}} + \underbrace{{-b}\cdot{b}} $

$ a^\underbrace{(1+ 1)} \underbrace{- ab – ba} + b^\underbrace{(1 + 1)} $

${ a^2 – 2ab + b^2} $

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Basta aplicar a propriedade comutativa da multiplicação. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom como lembrete!

Também aqui os expoentes das partes literais seguem a mesma sequência como acontece no quadrado da soma. A única diferença é que os sinais que precedem os termos, são alternadamente +, – e +. Isso facilita a recordação do resultado de um produto notável desse tipo.

Expoentes de $a$:  $2 > 1 > 0$$\Rightarrow$ ordem decrescente

Expoentes de $b$: $ 0 < 1 < 2$$\Rightarrow$ ordem crescente

Se tivermos para $a$ o valor $7$ e para $b$ o valor $2$ e substituirmos na forma da diferença e na forma de trinômio quadrado, teremos:

${(a – b)}^2$

${(7 – 2)^2} = 5^2 = 25$

$ a^2 – 2ab + b^2 $

$ 7^2 –  2\cdot{7}\cdot{2} + {2}^2$

$ 49 – 28 + 4 = 21 + 4 =  25$

NOTA: Percebemos que o resultado é o mesmo.

Vamos exercitar:

a) $\underbrace{(x – y)^2}$

O primeiro termo é a letra $x$ e o segundo termo é a letra $y$.

$\underbrace{(x – y )}\cdot\underbrace{(x – y)}$

$ {x^2 – 2xy + y^2}$

b) $\underbrace{(3x – 2y)^2}$

O primeiro termo é $3x$ e o segundo termo é $2y$.

$\underbrace{3x – 2y}\cdot{\underbrace{3x – 2y}}$

${(3x)}^2 – \underbrace{ 2\cdot {(3x)}{(2y)}} +{(2y)}^2$

$ {9x^2 – 12xy + 4y^2} $

c) $\underbrace{(ab – bc)^2}$

O primeiro termo é $ab$ e o segundo termo é $bc$.

$\underbrace{(ab – bc)}\cdot\underbrace {(ab – bc)} $

${(ab)}^2 – \underbrace{ 2\cdot{(ab)}{(bc)}} + {(bc)}^2 $

$ {a^{2}b^{2} – 2ab^{2}c + b^{2}c^{2} }$

d) $\underbrace{(5 – 2a)^2}$

$\underbrace {(5 – 2a)}\cdot{\underbrace{(5 – 2a)}}$

$ {5^2 -\underbrace{ 2\cdot 5\cdot{2a}} + {(2a)}^2}$

${ 25 – 20a + 4a^2 }$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costumeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento, ou seja por ocasião da  fatoração. 

Resolva aplicando a regra acima, os quadrados das diferenças entre dois números da seguinte sequência.

a)${(5ax – 3bx)}^2= ?$

b)${(Axy – Byz)}^2= ?$

c)${(4rp^2 – 3pq)}^2= ?$

d)${(5xy^3 – 3xy^2)}^2= ?$

e)${(mz – my)}^2= ?$

f)${(2aj – 3bj)}^2= ?$

g)${(6gx – 7gy)}^2= ?$

h)${(3my – 4n)}^2= ?$

Curitiba, 09 de junho de 2018

Décio Adams

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01.061 – Matemática, Álgebra. Inequação do primeiro grau.

Inequação! Que é isso?

Lembremos que uma equação é uma igualdadeentre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:

  • “Menor do que”                                               $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\lt}} $
  • “maior do que”                                                $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\gt}} $
  • “menor ou igual a”                                          $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\le}} $
  • “maior ou igual a”                                            $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{ \ge}} $
  • “Diferente”                                                        $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\neq}} $
  • “Não menor do que”                                       $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\lt}} $
  • “Não maior do que”                                         $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\gt}} $
  • “Não menor ou igual a”                                    $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\le}}$
  • “Não maior ou igual a”                                    $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\not\ge}}$

Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:

  • $\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x -3 \lt 0}} $
  • $\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $
  • $\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}}$
  • $\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
  • A determinação do conjunto verdade de uma inequação, é feita de modo semelhante ao procedimento adotado nas equações, com algumas peculiaridades próprias.
  • Vamos pegar como exemplo a primeira das quatro citadas acima:
  •  $\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x – 3\lt 0}}$.
  • O objetivo é obter uma desigualdade que indique onde estão localizados os valores que servem para substituir  nessa inequação. Temos então que deixar o isolado no primeiro membro.
  • \[ 2x – 3 + 3 \lt 0 + 3 \] \[2x \lt 3 \] \[ {{2x}\over 2} \lt {3\over 2} \] \[ x \lt {3\over 2} \]
  • Isso nos mostra que todos os números reais, menores do que o número 3/2 servem para x, isto é, transformam a expressão em uma sentença verdadeira. Logo: \[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V =\left\{ x\in R | {x\lt {3\over 2}}\right\}}} \]
  • Representando o conjunto dos números reais na Reta Real, o conjunto verdade dessa inequação será formado por todos os números associados aos pontos dessa reta, à esquerda do ponto que corresponde ao número 3/2.
*** QuickLaTeX cannot compile formula:


\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
title=Reta num\'{e}rica,
axis x line=center,
axis y line=none,
xmin = -10,
xmax = +10,
ymin = -1,
ymax = 1,
xtick={-10,-9,...,9,10},
height=3cm,
width=\textwidth,
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
axis line style=
]

\addplot[blue,very thick, domain=-10:10] coordinates {
(-10,0) (1.35,0)
};

\draw[orange,thick] (axis cs:1.5,0) circle (0.08cm);

\end{axis}
\end{tikzpicture}
[/latex
<ul>
 	<li>A falta de espaço, impede a visualização de todo conjunto verdade no gráfico, que abrange todos os números até</li>
 	<li>$-\infty$.</li>
</ul>
<ul>
 	<li style="text-align: justify">Vejamos o segundo exemplo.</li>
 	<li style="text-align: justify">$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $</li>
 	<li>Procedendo da mesma maneira, teremos:</li>
 	<li style="text-align: justify">\[ x + 7 - 7 \gt 2 - 7 \] \[ x \gt -5 \]</li>
 	<li style="text-align: justify">O conjunto verdade será</li>
 	<li style="text-align: justify">\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V =\{x\in R|{x \gt -5}\}}} \]</li>
 	<li style="text-align: justify">Igualmente aqui, se representarmos a reta numérica real, o conjunto verdade será formado por todos os números à direita do número (<strong>-5</strong>), que fica excluído, assim como todos os números à sua esquerda.</li>
</ul>
[latex display="true"]

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
title=Reta num\'{e}rica,
axis x line=center,
axis y line=none,
xmin = -10,
xmax = +10,
ymin = -1,
ymax = 1,
xtick={-10,-9,...,9,10},
height=3cm,
width=\textwidth,
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
axis line style=
]

\addplot[blue,very thick, domain=-10:10] coordinates {
(-4.85,0) (10,0)
};

\draw[orange,thick] (axis cs:-5,0) circle (0.08cm);

\end{axis}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Argument of \pgfmathfloatparse@@ has an extra }.
leading text: \end{axis}
Paragraph ended before \pgfmathfloatparse@@ was complete.
leading text: \end{axis}
Extra }, or forgotten \endgroup.
leading text: \end{axis}
Extra \else.
leading text: \end{axis}
Paragraph ended before \pgfplotsplothandlerdeserializepointfrom@default@ was 
Package PGF Math Error: The function `thisrow' already exists.
leading text: ]
Package PGF Math Error: The function `thisrowno' already exists.
leading text: ]
Package pgfplots Error: Sorry, nested axis environments are not supported. Please move the inner axis environment below \end{axis} and use alignment options (for example named nodes, see manual) to place it at the desired position.
leading text: ]
TeX capacity exceeded, sorry [input stack size=5000].

  • A vez da terceira:
  • $\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}} $
  • Aplicando o mesmo procedimento, ficamos com:
  • \[ 8 – 8 – x \ge 5 – 8 \] \[ -x \ge -3 \]
  • Observe que o os dois membros da inequação são precedidos do sinal $-$, o que nos indica que para melhor interpretação, devemos multiplicar a expressão toda $-1$. Lembrando da reta numérica, vamos observar que a posição dos números negativos, fica invertida em relação ao zero$(0)$, isto é, quanto maior for o módulo, mais à esquerda ele se situa. A consequência disso é que, a multiplicação de uma inequação por $-1$, inverte o sentido da desigualdade, ou seja se era $\le$, passa para $\ge$ e vice-versa. Vamos ver como fica nosso exemplo.
  • \[ {(-x \ge – 3)}\cdot{(-1)} \] \[ x\le 3 \]
  • O conjunto verdade dessa inequação será pois:
  • \[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{x\in R|{x\le 3}\}}} \]
  • Neste caso o número $3$, faz parte do conjunto verdade. Ficam excluídos apenas os números à direita do $3$. Na Reta Real fica:

Rendered by QuickLaTeX.com

  • O último exemplo:
  • $\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
  • Aplicando o raciocínio par isolar a variável, temos:
  • \[ 4 – 4 + x \le 2x – 4 \] \[ x – 2x \le 2x – 2x – 4 \] \[ -x \le -4 \]
  • Novamente é preciso multiplicar por $-1$, e inverter o sinal da desigualdade.
  • \[{(-x \le -4)}\cdot{(-1)} \] \[ x \ge 4 \]
  • O conjunto verdade será composto por todos os números reais, desde o $4$ inclusive, até infinito$\infty$.
  • \[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{x\in R|{x\ge 4}\}}} \]
  • Na Reta Real,  teremos:

Rendered by QuickLaTeX.com

  • O final da resolução de qualquer inequação de primeiro grau será sempre a variável, seguida de um sinal de desigualdade e depois um número. Se a variável tiver sinal negativo, devemos multiplicar por $\color{Brown}{-1}$ e inverter o sinal da desigualdade. Isso não pode ser esquecido. 

Vamos “malhar”?

  • Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.
  • $\color{navy}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}$
  • $\color{navy}{ 11 + 3x \gt – 8} $
  • $\color{navy}{ – 6 + 2x \ge 3x + 1}$
  • $\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x} $
  • $\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y} $
  • $\color{navy}{15 – 4x \lt 11 +x}$
  • $\color{navy}{ 6x + 5\gt 4x – 7}$
  • $\color{navy}{ 2 + 7x \ge 6x + 4} $

 Curitiba, 21 de maio de 2016.

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Revisto e republicado)

Décio Adams

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01.050 – Matemática, álgebra. Equações do primeiro grau, exercícios resolvidos e para resolver.

Exercícios de equações do primeiro grau

Vamos determinar o conjunto verdade das equações do primeiro grau a seguir.

a)\[\color{Sepia}{7 y – 2 = 26}\] \[{7 y – 2 + 2} = {26 + 2}\] \[{7y} = {28}\] \[{(7y)\over{7}} = {(28\over 7}\]  \[y = 7 \]

\[\color{Orchid}{V =\{7\}}\]

b) \[\color{Sepia}{ 25 – 3x = 17 – 7}\]  \[25 – 3x -25 = 10 – 25\] \[ -3x = -15\]\[{-3x\over-3}= {-15\over -3}\] \[x = 5\]

\[\color{Orchid}{ x =\{5\}}\]

c)$$\color{Sepia}{ 4x + 12 – x = 25 – 7 }$$

$ 4x – x + 12 – 12 = 18 – 12 $

$3x = 6 $

$ {3x\over 3} = {6\over 3}$

$ x = 2$

\[\color{Orchid}{V=\{2\}}\]

d)$$\color{Sepia}{ 6x – 9 = x + 26}$$

$ 6x – 9 + 9 -x = x – x + 26 + 9 $

$5x = 35 $

${5x\over 5} = {35\over 5} $

$ x = 7 $

\[\color{Orchid}{V =\{7\}}\]

e)$$\color{sepia}{{2\over 3}{x} +{ 5} = {44\over{ 4}}}$$

${2\over3}{x}+ (+ 5 – 5) = 11 – 5 $

${2\over 3}{x}\cdot 3 = 6\cdot 3 $

$ 2x = 18 $

${2x\over 2} = {18\over 2} $

$ x = 9 $

\[\color{Orchid}{V=\{ 9\}}\]

Resolvendo alguns problemas.

  1. José vendeu em sua loja, no decorrer de um dia de semana, várias quantidades de uma mesma mercadoria. Dependendo das quantidades e disposição dos clientes, ele concedeu alguns descontos. Vendeu 3 unidades a um cliente, pelo valor de $R\$ 140,00$. Outro pagou por duas unidades $R\$ 100,00$ e um terceiro pagou por uma unidade $R\$ 60,00$. Qual foi o valor médio de venda de cada unidade?

Vamos representar por$ x $ o valor médio de venda de cada unidade. Podemos assim escrever uma pequena equação.

$\begin{align}{3x + 2x + x} = {140,00 + 100,00 + 60,00}\end{align} $

$\begin{align}{6x} = 300,00\end{align} $

$\begin{align}{6x\over 6} = {300,00\over 6}\end{align}$

$\begin{align} {x} = {50,00}\end{align}$

$$\color{Orchid}{V = R\$ 50,00}$$.

As seis unidades foram vendidas pelo preço médio de $\color{Indigo}{R\$ 50,00}$

2. Uma peça de tecido tem, ao todo, $40\,m$ de comprimento. Uma confecção usa esse tecido para fabricar conjuntos de moleton. Cada conjunto consome 2,5 m de tecido. Quantos conjuntos podem ser fabricados com 5 peças de tecido?

A nossa incógnita nesse problema é a quantidade de conjuntos e vamos representa-la pela letra $y$ O total de tecido obtemos multiplicando o comprimento de cada peça por $5$. Esse total é igual ao número de conjuntos pelo comprimento do tecido gasto na confecção de cada um. Assim:

$\begin{align}{2,5y} = 5\cdot 40\end{align}$

$\begin{align}{2,5y\over 2,5} = {200\over 2,5}\end{align} $

$\begin{align}{y} = {80}\end{align}$

\[\color{Orchid}{V = 80}\].

Podem ser fabricados 80 conjuntos com as 5 peças de tecido.

Alguns exercícios para treinar em seu caderno ou bloco de anotações.

a) Determine o conjunto verdade (solução) das equações do primeiro grau listadas a seguir.

I) $\color{Brown}{24 – 3x = x – 16}$

II)$\color{Brown}{{5\over3}x +{ 8\over6} = {12\over4}}$

III)$\color{Brown}{2x + 7 = 5x + 22}$

IV)$\color{Brown}{{4/3}x – 5/2 = 3x – 42}$

V)$\color{Brown}{81 – 5y = – 3y + 11}$

VI)$\color{Brown}{ – 64 + 2x – 7/2 = 9}$

VII)$\color{Brown}{ 18 + 5y – 9/5 = y -4}$

VIII)$\color{Brown}{ 3x + 25 = – x + 5}$

IX) $\color{Brown}{7x – 26 = 2x + 14}$

X) $\color{Brown}{ 243 – 9x = 27 – 3x}$

b)Resolva, usando equações do primeiro grau, os pequenos problemas propostos a seguir.

I) Dona Elisa resolveu dar uma volta no Shopping Center que havia nas redondezas. Enquanto ia vendo as vitrines, viu um par de sapatos que lhe agradou. Comprou um que lhe servia e na cor preferida por ${ R\$ 145,00}$. Na continuação do seu passeio encontrou também um cinto de que estava necessitada. O preço era de promoção e ela decidiu adquirir o cinto, que custou ${R\$ 45,00}$. Também comprou uma blusa para combinar com uma saia que ganhara de presente do amigo secreto por ocasião do Natal. O preço foi de ${R\$ 55,00}$. A fome bateu e foi até a praça de alimentação, onde comeu uma salada de frutas, junto com um copo de água de coco. Havia verificado que seu limite no cartão de crédito, ao sair de casa, era de ${R\$ 300,00}$. Depois de pagar as compras e o lanche, verificou que ainda lhe restavam ${R\$ 37,00}$ do limite. Qual foi o preço que pagou pela salada de frutas com o copo de água de côco?

II) Pedro foi ao centro da cidade a procura de brinquedos para comprar de presente de Natal para a família. Levava suas contas a sério e não poderia gastar mais do que ${R\$ 500,00}$ nas compras que iria fazer. A vida andava difícil. Começou comprando um par de sandálias para a esposa por ${R\$ 115,00}$, também um tênis para a filha por ${R\$ 83,00}$. Foi até a loja de brinquedos onde adquiriu um boneco dos power rangers para o filho caçula por ${R\$ 145,00}$. Faltava o presente para o filho mais velho, que queria um par de tênis de marca. vamos ajudar Pedro a saber de quanto pode dispor na compra do tênis para o filho, sem ultrapassar o valor inicialmente estabelecido como limite?

III)Joãozinho recebeu de sua mãe uma nota de ${R\$ 50,00}$, junto com um bilhete onde estavam anotadas as compras que deveria trazer da mercearia de seu José, onde fazia o abastecimento da família das pequenas compras do dia-a-dia. Ao chegar no estabelecimento, Joãozinho viu um doce de que gostava muito. Ficou pensando se daria uma sobrinha para comprar um daqueles doces que tanto gostava. No bilhete constavam: 1,0 kg de carne moída de primeira, 1,0 kg de tomate bem maduro, 0,5 kg de cebola, um pacote de 500 g de espaguetti para fazer uma macarronada, dois pés de alface, uma dúzia de ovos, dois litros de leite UHT integral. O menino foi juntando suas compras num pequeno carrinho. O açougueiro colocou um punhado de carne moída e pôs na balança. Na etiqueta do preço constava ${R\$ 22,50}$. Na balança das verduras alguns tomates totalizaram ${R\$ 5,80}$, as cebolas custaram ${R\$ 3,75}$; o pacote de espaguetti saiu por ${R\$ 4,25}$ e os dois litros de custaram ${R\$ 3,20}$ cada um. Os ovos ficaram por ${R\$3,85}$ e cada pé de alface não ficou por menos de ${R\$ 1,35}$. Ajude o Joãozinho a verificar se dá para comprar um daqueles doces, que custam ${R\$ 2,50}$ cada um? Será que vai dar?

Curitiba, 06 de maio de 2016. Melhorado e republicado em 22 de dezembro de 2017.

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