043.2 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis. Produto da soma de dois números pela sua diferença.

– Produto da soma de dois números pela sua diferença

Sejam os números representados pelas letras b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

${\underbrace{(a + b)} }\cdot {\underbrace{(a – b)}} $

${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $

${ a^2 – ab + ab – b^2}$

$ {a^2 – b^2}$

Admitamos que sejam dados para $a$ e $b$ os valores:

${ a = 7}$

${ b = 3}$

Substituindo na multiplicação, temos:

${\underbrace{(7 + 3)}}\cdot{\underbrace{(7 – 3)}}$

${\underbrace{10 \cdot 4} = 40}$

Substituindo na diferença entre os quadrados:

${a^2 – b^2}$

${7^2 – 3^2}$

${\underbrace{49 – 9} =  40}$

NOTA: Percebemos que o resultado é exatamente igual, não importando se usamos a substituição dos valores das variáveis (letras) na multiplicação e efetuamos ou se usamos a diferença entre os quadrados.

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, isto é, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre os quadrados dos dois números. 

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”.

Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo”. 

Vamos exercitar um pouco.

a) $ {\underbrace{(mn + n)}}\cdot{\underbrace{(mn – n)}} $

$ {{(mn)}^2 – n^2 }$

${ m^{2}n^{2} – n^2 }$

b) $\underbrace {(7 – 3x)}\cdot{\underbrace {(7 + 3x)}} $

$ {{7}^2 – {(3x)}^2 }$

${ 49 – 9x^2 }$

c) $\underbrace {(4x + 3z)}\cdot{\underbrace{(4x – 3z)}} $

${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $

${ 16x^2 – 9z^2 }$

d) $ \underbrace{( 1 + ab)}\cdot{\underbrace{( 1 – ab)}} $

$ {1^2 -{(ab)}^2 }$

${ 1 – a^{2}b^{2} }$

Resolva os produtos das somas pelas respectivas diferenças entre dois números, aplicando a regra.

a)${(2a + 3b)}{(2a – 3b)}= ?$

b)${(mn – 5)} {(mn + 5)}= ?$

c)${(3ax + 2by)}{(3ax – 2by)}= ?$

d)${(mx + ny)}{(mx – ny)}= ?$

e)${(7 – 5b)}{(7 + 5b)}= ?$

f)${(6az + 3by)}{(6az – 3by)}= ?$

g)${(3bp + 5br)}{(3bp – 5br)}= ?$

h)${(5qp – 7rp)}{(5qp + 7rp)}= ?$

Curitiba,  09 de junho de 2018.

Décio Adams

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