044.0 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis – Cubo da soma de dois números

Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

– Vamos ver o Cubo da Soma de dois números

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras a b para isso.

$\underbrace{( a + b)^3} $

Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base. Uma com expoente 2 e outra com expoente 1. Assim:

$\underbrace{( a + b)^2}{\overbrace{(a + b)}} $

Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números a b

$\underbrace{ (a^2 + 2ab + b^2)}\cdot\overbrace{(a + b)} $

${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b} $

${a^3} + {2a^{2}b} + {b^2}a + {a^{2}b} + {2ab^{2}}+ {b^3}$

Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos.

${a^3} +\underbrace{ 2a^{2}b + a^{2}b} +\overbrace{ 2ab^{2} + ab^{2}} + {b^3} $

$ {a^3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b{^3}$

O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

Na parte literal a variável do primeiro termo tem o expoente 3 no primeiro termo, expoente 2 no segundo termo, expoente 1 no terceiro termo e expoente 0 no quarto termo. A variável do segundo termo segue o inverso, isto é, seus expoentes estão em ordem crescente.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

${( 2x + 3y)}^3 $

Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x  e o seu cubo é

$ {(2x)}^3 $

$ {8 x^3} $

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será:

$ {3\cdot{(2^{2}x^{2})}{(3y)}} $

$ {36 x^{2}y}$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será:

$ {3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}}$

$ {54xy^{2}} $

O cubo do segundo termo será

${(3y)}^3$

$ {27y^3}$

Falta apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 $

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

Aos exercícios. Efetue os cubos das somas a seguir.

a)${(5 + 2xy)^3}= ?$

b)${(3m + 5a)^3}= ?$

c)${(4x + 3y)^3}= ?$

d)${(uv +yz)^3}= ? $

e)${(2 + 3h)^3}= ? $

f)${(5x + 2by)^3}= ?$

g}${(7 + 3x)^{3}}= ?$

h} ${(6n + 3mx)^{3}}= ?$

Curitiba, 21 de junho de 2018

Décio Adams

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