044.1 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis – Cubo da diferença

– É a vez do Cubo da Diferença de dois números

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$\underbrace{( a – b )^3} $

Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$\underbrace{( a – b )^2} {\overbrace{(a – b)}} $

$\underbrace { (a^2 – 2ab + b^2)}\cdot\overbrace{( a – b )} $

$a^2{a} – 2a^2b + ab^2 + a^2{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^2{(-b)}$

$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $

Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$ a^{3} +\underbrace {- 2a^{2} b – a^{2}b} +\overbrace{ ab^{2} + 2ab^{2}} – b^{3} $

$ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3} $

Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da diferença entre dois números é dado pelo cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$ {( ax – by)}^{3} $

O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra

O cubo do primeiro termo é

${(ax)}^{3} $

$ {a^{3}x^{3}} $

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é

$ {3{(ax)}^{2}{(by)}}$

$ {3a^{2}bx^{2}y }$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$ {3ab^{2}xy{2} }$

O cubo do segundo termo é

$ {(by)} ^{3} $

$b^{3}y^{3} $

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

${ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} }$

Hora de exercitar. Não podemos esquecer disso.

Desenvolver os cubos das diferenças.

a)$ {(3x – 4y)^{3}}= ?$

b) ${(pq – 2r)^{3}}= ?$

c) ${(uv – 3z)^{3}}= ?$

d) ${(3i – 2j)^{3}}= ?$

e) ${(5x – 7y)^{3}} = ?$

f) ${(2x – 5xy)^{3}}= ?$

g) ${(7m – 3n)^{3}}= ?$

h) ${(5x – 4y)^{3}}=?$

Curitiba, 20 de junho de 2018

Décio Adams

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