01.044 – Matemática, Álgebra, Produtos notáveis (continuação)

Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

– Vamos ver o Cubo da Soma de dois números

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras $\color{Red}a$ e $\color{Red}b$ para isso.

$$\color{Brown}{{( a + b)}^3}$$

Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base, com uma com expoente 2 e outra com expoente 1. Assim:

$$\color{Sepia}{{{( a + b)}^2}{(a + b)}}$$

Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números $\color{Red}a$ e $\color{Red}b$

$\color{Brown}{{(a^2 + 2ab + b^2)}{(a + b)}}$

${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b}$

$a^3 + 2a^2b + b^2a + a^2b + 2ab^2+ b^3$

Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos.

$a^3 + 2a^2b + a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 $

$$\color{NavyBlue}{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$$

O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

Na parte literal a variável do primeiro termo tem o expoente 3 no primeiro termo, expoente 2 no segundo termo, expoente 1 no terceiro termo e expoente 0 no quarto termo. A variável do segundo termo segue o inverso, isto é, seus expoentes estão em ordem crescente.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

$$\color{Sepia}{{( 2x + 3y)}^3}$$

Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x  e o seu cubo é

$$\color{Red}{{(2x)}^3}$$

$$\color{Red}{8 x^3}$$

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será:

$ {3\cdot{(2^2x^2) (3y)}}$

$\color{Brown}{36 x^2y}$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será:

$ {3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}}$

$\color{Brown}{54xy^{2}} $

O cubo do segundo termo será

${(3y)}^3$

$\color{Red}{27y^3}$

Falta apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$$\color{NavyBlue}{ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 }$$

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

É a vez do Cubo da Diferença de dois números

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$$\color{Brown}{{( a – b )}^3}$$

Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$\color{Sepia}{{( a – b )}^{2} {(a – b)}}$

$ {(a^2 – 2ab + b^2)}{( a – b )} $

$ a^{2}{a} – 2a{a}b + a{b^{2}} + a^{2}{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^{2}{(-b)} $

$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $

Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$ a^{3} – 2a^{2} b – a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} – b^{3} $

$$\color{NavyBlue}{ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3}} $$

Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da diferença entre dois números é dado pela cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$$\color{Brown}{{( ax – by)}^{3}}$$

O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra.

O cubo do primeiro termo é

${(ax)}^{3} $

$\color{Sepia} {a^{3}x^{3}} $

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é

$ {3{(ax)}^{2}{(by)}}$

$\color{Sepia}{{3a^{2}bx^{2}y }}$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$ {3ab^{2}xy{2} }$

O cubo do segundo termo é

$ {(by)} ^{3} $

$b^{3}y^{3} $

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

$$\color{NavyBlue}{{ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} }}$$

Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.

$$\color{Brown}{{( a + b)}^{2}\times {(a – b)}}$$

Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.

${( a^{2} + 2ab + b^{2})} {(a – b)} $

$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $

$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $

$ a^{3} + 2a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} – 2ab^{2} – b^{3} $

$$\color{NavyBlue}{a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3}} $$

Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.

“O produto do quadrado da soma de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Vamos tentar por em prática? Seja:

$$\color{Sepia}{{(2x + y)}^{2}\cdot{(2x – y)}}$$

${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $

$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $

$$\color{Orchid}{ {8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 }}$$

Produto do quadrado da diferença entre dois números pela sua soma.

$$\color{Brown}{{( a – b )}^{2}\cdot{(a + b)}}$$

O procedimento é semelhante ao anterior.

${( a^{2} – 2ab + b^{2})} {(a + b)} $

$ a^{2}a + {(- 2ab)}{(a)} + ab^{2} + a^{2}b + {(- 2ab)}{(b)} + {(b^{2})}{b} $

$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – 2ab^{2} + b^{3} $

$ a^{3} -2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} -2ab^{2} + b^{3} $

$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$

$$\color{Indigo}{ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3} }$$

“O produto entre o quadrado da diferença entre dois números e a sua soma, é igual ao cubo do primeiro termo, menos o produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, menos o produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados. 

Vamos por em prática.

$ {( ma + n)} {(ma – n)}^{2} $

${( ma + n)}{[(ma)^{2} – 2mna + n^{2}]} $

$\color{Orchid}{ m^{3}a^{3} – m^{2}na^{2} – mn^{2}a + n^{3}}$$

Vamos deixar os exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.

Curitiba, 15 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017. Atualizado em 07 de junho de 2018.

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