01.043 – Matemática, Álgebra. Produtos notáveis.

O que é algo notável? 

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e com aplicações relevantes em algum assunto mais adiante. Vejamos quais são esses casos.

Quadrado da soma de dois números. 

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Mas, se os números estiverem representados por letras, ou letras e números, como fica? Vamos ver?

$$\color{BrickRed}{ a + b} $$

É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$$\color{OrangeRed}{{( a + b)}^2}$$

Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo, sendo a o primeiro termo e b o segundo.

${(a + b)}\cdot{(a + b)} $

$ {a}\cdot {a} + {a}\cdot{b} + {b}\cdot {a} + {b}\cdot{b}$

${ a^2 + ab + ba + b^2} $

Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem. Aqui estamos vendo uma aplicação da propriedade vista no estudo das quatro operações. Lá ela não parecia ter importância, mas aqui já fica claro que para alguma coisa serve.

${ a^2 + ab + ab + b^2}$

$$\color{NavyBlue}{ a^2 + 2ab + b^2}$$

O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado.

O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Se observar bem, verá que o primeiro termo da soma, aparece primeiro com o expoente 2, depois com o expoente 1 e por último com o expoente 0, o que o torna igual a 1 (unidade). Já o segundo termo tem os expoentes em ordem inversa: 0, 1 e por último 2.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $\color{Indigo}{{(2x + y)}^2}$

Primeiro termo é 2x o segundo termo é y

${{(2x)}^2 + 2\cdot 2\cdot{x}{y} + y^2}$

${{(2^2)\cdot (x^2)}\cdot 2\cdot{x}{y} + (y^2)}$

$$\color{Purple}{4x^2 + 4xy + y^2}$$

b) $\color{Indigo}{{(3m + 5)}^2}$

O primeiro termo é 3m e o segundo termo é 5.

$ {{(3m)}^2 + 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5 + 5^2}$

$$\color{Purple}{9m^2 + 30m + 25}$$

c) $\color{Indigo}{{( 6 + 4xy)}^2}$

O primeiro termo é 6 e o segundo termo é 4xy.

${6^2 + 2\cdot 6\cdot {(4xy)} + {(4xy)}^2 }$

$$\color{Purple}{36 + 48xy + 16x^2y^2}$$

d) $\color{Indigo}{{( p + 3q)}^2}$

Primeiro termo é p o segundo termo é 3q.

$ p^2 + 2\cdot p\cdot 3q + {(3q)}^2 $

$$\color{Purple}{p^2 + 6pq + 9q^2}$$

Resolva aplicando a regra vista os quadrados da soma de dois números, na lista a seguir.

a)$\color{Orchid}{{(3ax + 2by)}^2}$

b)$\color{Orchid}{{(7n + 3m)}^2}$

c)$\color{Orchid}{{(2 + 8mx)}^2}$

d)$\color{Orchid}{{(5a + 3b)}^2}$

e)$\color{Orchid}{{(11 + 5mn)}^2}$

f)$\color{Orchid}{{(4mx + 7n)}^2}$

g)$\color{Orchid}{{(6xy^2 + 2x^2y)}^2}$

h)$\color{Orchid}{{(9pq + 13)}^2}$

Quadrado da diferença de dois números

A mesma coisa que acontece no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exemplo:

$$\color{BrickRed}{{( a – b)}^2}$$

A letra a é o primeiro termo e a letra b é o segundo termo da diferença. 

$$\color{NavyBlue}{{( a – b)}{(a – b)}}$$

Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

${a}\cdot {a} + {a}\cdot {(-b) } + {(-b)}\cdot {a} + {-b}\cdot{b} $

$ a^{(1+ 1)} – ab – ba + b^{(1 + 1)} $

$$\color{Orchid}{ a^2 – 2ab + b^2}$$

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Basta aplicar a propriedade comutativa da multiplicação. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Também aqui os expoentes das partes literais seguem a mesma sequência como acontece no quadrado da soma. A única diferença é que os sinais que precedem os termos, são alternadamente +, – e +. Isso facilita a recordação do resultado de um produto notável desse tipo.

Vamos exercitar:

a) $\color{Indigo}{{(x – y)}^2}$

O primeiro termo é a letra x e o segundo termo é a letra y.

${(x – y )}{(x – y)}$

$$\color{Orchid}{x^2 – 2xy + y^2}$$

b) $\color{Indigo}{{(3x – 2y)}^2}$

O primeiro termo é 3x e o segundo termo é 2y.

${(3x)}^2 – 2\cdot {(3x)}{(2y)} +{(2y)}^2$

$$\color{Orchid}{9x^2 – 12xy + 4y^2}$$

c) $\color{Indigo}{{(ab – bc)}^2}$

O primeiro termo é ab e o segundo termo é bc.

${(ab – bc)} {(ab – bc)} $

${(ab)}^2 – 2\cdot{(ab)}{(bc)} + {(bc)}^2 $

$$\color{Indigo}{{a^2b^2 – 2ab^2c + b^2c^2}}$$

d) $\color{Indigo}{{(5 – 2a)}^2}$

$ {(5 – 2a)}{(5 – 2a)}$

$ {5^2 – 2\cdot 5\cdot{2a} + {(2a)}^2}$

$$\color{Orchid}{ 25 – 20a + 4a^2 }$$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costumeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento, ou seja por ocasião da  fatoração. 

Resolva aplicando a regra acima, os quadrados das diferenças entre dois números da seguinte sequência.

a)$\color{Brown}{{(5ax – 3bx)}^2}$

b)$\color{Brown}{{(Axy – Byz)}^2}$

c)$\color{Brown}{{(4rp^2 – 3pq)}^2}$

d)$\color{Brown}{{(5xy^3 – 3xy^2)}^2}$

e)$\color{Brown}{{(mz – my)}^2}$

f)$\color{Brown}{{(2aj – 3bj)}^2}$

g)$\color{Brown}{{(6gx – 7gy)}^2}$

h)$\color{Brown}{{(3my – 4n)}^2}$

Produto da soma de dois números pela sua diferença.

Sejam os números representados pelas letras b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

$\color{Indigo}{(a + b)}\cdot\color{Orchid} {(a – b)}$

${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $

${ a^2 – ab + ab – b^2}$

$$\color{Blue}{a^2 – b^2}$$

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, ou seja, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre os quadrados dos dois números. 

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”.

Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo”. 

Vamos exercitar um pouco.

a) $\color{Sepia}{{(mn + n)}{(mn – n)}}$

$ {{(mn)}^2 – n^2 }$

$$\color{NavyBlue}{ m^2n^2 – n^2 }$$

b) $\color{Sepia}{{(7 – 3x)} {(7 + 3x)}}$

$ {{7}^2 – {(3x)}^2 }$

$$\color{NavyBlue}{ 49 – 9x^2 }$$

c) $\color{Sepia}{{(4x + 3z)}{(4x – 3z)}}$

${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $

$$\color{NavyBlue}{16x^2 – 9z^2 }$$

d) $\color{Sepia}{{( 1 + ab)}{( 1 – ab)}}$

$ {1^2 -{(ab)}^2 }$

$\color{NavyBlue}{1 – a^2b^2 }$

Resolva os produtos das somas pelas respectivas diferenças entre dois números, aplicando a regra.

a)$\color{Sepia}{{(2a + 3b)}{(2a – 3b)}}$

b)$\color{Sepia}{{(mn – 5)} {(mn + 5)}}$

c)$\color{Sepia}{{(3ax + 2by)}{(3ax – 2by)}}$

d)$\color{Sepia}{{(mx + ny)}{(mx – ny)}}$

e)$\color{Sepia}{{(7 – 5b)}{(7 + 5b)}}$

f)$\color{Sepia}{{(6az + 3by)}{(6az – 3by)}}$

g)$\color{Sepia}{{(3bp + 5br)}{(3bp – 5br)}}$

h)$\color{Sepia}{{(5qp – 7rp)}{(5qp + 7rp)}}$

Curitiba, 09 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017, junto com uma bateria de exercícios de aplicação. Revisto em 07 de junho de 2018.

Décio Adams

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