01.048 – Matemática – Números inteiros relativos, radiciação.

Raízes possíveis.

Lembrando da potenciação, vamos ter em mente que, qualquer potência de expoente par, resulta em um número positivo. Já os expoentes ímpares, resultam em números com o mesmo sinal da base. Pelo fato de a radiciação ser a operação inversa da potenciação, vamos ter situações em que a raiz não é possível, isso é não existe. Vamos analisar alguns exemplos.

1. $\color{Brown}{\begin{align}{\sqrt [2] {9}} & = {\sqrt[2]{3^2}} & = 3\end{align}} $

2. $\color{Blue}{\begin{align}{\sqrt[3] {8}} & ={\sqrt[3] {2^3}} & = 2\end{align}}$

3. $\color{Brown}{\begin{align}{\sqrt[3]{- 8}} & ={\sqrt[3]{ (-2)^3}} & = – 2\end{align}}$

4.$\color{Blue}{\begin{align}{\sqrt[5]{- 32}} & = {\sqrt[5] {(- 2)^5}} & = -2\end{align}}$

5. $\color{Brown}{\begin{align}{\sqrt[4]{ – 16 }}& = {\not\exists} & = Ø\end{align}}$

Por que o exemplo (5) não tem resposta? É que nenhum número elevado a uma potência de expoente par, dará como resultado um número negativo. Então representamos o resultado por um conjunto vazio ou o símbolo de “não existe”.

Nos exemplos usamos só números de pequeno valor, pois o objetivo é explicar como funciona. Essa conclusão é válida em qualquer caso. Para o radicando negativo, só existe resposta se o índice do radical for ímpar.

As demais regras são idênticas à radiciação de números naturais.

Nota: Apenas para chamar atenção, vamos informar aqui que, o caso das raízes de índice par que não existem, essa limitação ocorre no âmbito do conjunto dos números reais. Na continuação dos estudos, chegará o momento de conhecer os números imaginários e complexos. É um conjunto numérico ampliado, onde será possível extrair a raiz de índice par de um número negativo. Mas isso é conteúdo a ser visto mais adiante, no momento oportuno. 

Para exercitar o assunto visto acima. Determine as raízes dos números contidos nos radicais abaixo.

a)$\color{Sepia}{\sqrt[2]{+121} = ? }$

b)$\color{Sepia}{\sqrt[3]{-729} = ?}$

c)$\color{Sepia}{\sqrt[5]{+32}=?}$

d)$\color{Sepia}{\sqrt[5]{-243}=?}$

e)$\color{Sepia}{\sqrt[4]{- 81} = ?}$

f)$\color{Sepia}{\sqrt[2]{+1296} =?}$

g)$\color{Sepia}{\sqrt[3]{-216} = ?}$

h)$\color{Sepia}{\sqrt[5]{-3125} =?}$

Simplificar radicais

Quando não for possível extrair a raiz exata, isto é o radicando não é uma potência de um número inteiro, podemos fazer a simplificação, desde que possamos decompô-lo em um produto, onde haja um ou mais fatores que tenham raízes exatas, ficando os demais dentro do radical. Vejamos por exemplo.

$$\color{Orchid}{\sqrt[3]{+432} = ?}$$

Decompondo o radicando + 432 em seus fatores primos, resulta ${2⁴}\cdot{3³}$ e podemos fazer a substituição.

$$\color{Indigo}{\sqrt[3]{2⁴\cdot 3³}}$$

Notemos que os expoentes dos fatores dentro do símbolo de “raiz” apresentam valores $4$ e $3$. O primeiro é par e não é múltiplo do índice da raiz que é 3. Mas podemos decompor a potência, em multiplicação de potências de mesma base, onde uma delas seja múltiplo do índice da raiz.

${2³\cdot 2\cdot 3³}$

Colocando essa forma dentro do radical, vamos poder simplificar os fatores com expoente divisível pelo índice, ficando no interior apenas o fator com expoente diferente. Os fatores simplificados, são multiplicados pelo radical remanescente.

$\begin{align}\sqrt[3]{2³\cdot 2\cdot 3³} \\=\sqrt[3]{2^3}\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3^3} &= 2\cdot 3\cdot\sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}\end{align}$

$$\color{BrickRed}{\sqrt[3]{432} = 6\sqrt[3]{2}}$$

Outro exemplo

${\sqrt[4]{+900} = ?} $

Ao decompormos o radicando 900 em seus fatores primos, iremos encontrar

${2²\cdot 3²\cdot 5²} $

Colocamos sob o sinal de raiz e vamos verificar. Todos os expoentes são menores do que o índice da raiz, mas todos são pares e o índice é divisível por eles. Isso nos permite dividir o índice pelo fator comum 2 e teremos uma raiz simplificada. Assim:

$\begin{align}{\sqrt[4]{2²\cdot 3²\cdot 5²}} & = {\sqrt[2]{2\cdot 3\cdot 5}} ={\sqrt[2] {30}}\end{align}$

$$\color{BrickRed}{\sqrt[4]{900} = \sqrt[2]{30}}$$

Esse radical atingiu sua forma mais simples e certamente será mais fácil de manusear em cálculos posteriores se eles existirem no problema que esteja sendo resolvido. Sempre que possível, é conveniente proceder às simplificações em qualquer problema ou expressão, pois isso facilita a continuidade de outros cálculos que sejam necessários. Quanto menores os números e menos operações tivermos que realizar, menos oportunidades de cometer erros irão aparecer.

Vamos exercitar um pouco? Simplifique as raízes apresentadas a seguir.

a)$\color{Orchid}{\sqrt[3]{+16200} = ? }$

b)$\color{Orchid}{\sqrt[5]{ – 3456} = ?}$

c)$\color{Orchid}{\sqrt{+ 3456} = ? }$

d)$\color{Orchid}\sqrt[4]{3⁶\cdot 5⁸\cdot 7⁴} =?$

e)$\color{Orchid}{\sqrt[3]{432} = ?}$

f)$\color{Orchid}{\sqrt[5]{7776} = ?}$

g)$\color{Orchid}{\sqrt[3]{54\cdot {16}} = ?}$

Obs.: Em caso de dúvida, me procure por um dos meios informados abaixo.

Curitiba, 07 de maio de 2016. Melhorado e republicado em 21 de dezembro de 2017.

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