Divisão em álgebra
O processo de divisão algébrica, torna-se por vezes bem complexo. Mas podemos verificar o que é possível fazer. Começamos por monômios, com fatores semelhantes. Subiremos um degrau de cada vez e quando vemos estamos no topo.
Vejamos o exemplo:
$$\color{Sepia}{{15a^4b^3x^2}\div{5a^2bx^2}} $$
Para facilitar vamos colocar na forma de divisão indicada, isto é, como uma fração algébrica.
$${{15a^{4}b^{3}x^{2}}\over{5a^{2}bx^{2}}} $$
Observemos os coeficientes. No numerador temos 15, que pode ser decomposto na multiplicação de 3(três) por 5(cinco). Os demais fatores são potências de mesma base, cuja divisão se efetua pela subtração dos expoentes.
${{3\cdot 5\cdot a^{4}b^{3}x^{2}}\over{5a^{2}bx^{2}}}$
Os coeficientes
${\frac{3\times 5}{5}$
transformam-se no coeficiente numérico do quociente e vale $3$. Assim teremos:
$ {3\cdot{a^{(4-2)}b^{(3-1)}x^{(2-2)}}}$$\Leftrightarrow$${ 3a^{2}b^{2}x^{0}}$
O fator x, que ficou com o expoente 0(zero), na realidade passa a valer a unidade e pode ser substituído por 1.
${ 3a^2b^2\cdot {1} }$$\Leftrightarrow$${ 3a^2b^2 }$
O resultado da divisão é: $$\color{NavyBlue}{3a^2b^2}$$
Vamos começar por fazer alguns exercícios.
Efetue as divisões dos polinômios abaixo.
a)$\color{Sepia}{{(9bx^3)}\div{(3 x^3)}} $
${9\over3} bx^{3-3}= 3bx^{0} =\color{Red}{3b}$
b)${{(27x^3y^5)}\div{(9x^2y^3)}}$
${27\over 9}x^{3-2}y^{5-3} = \color{Red}{3xy^2}$
c)$\color{Sepia}{{(35a^2by^3)}\div{(7a^2by)}}$
${35\over 7}a^{2-2}b^{1-1}y^{3-1} = 5a^{0}b^{0}y^{2}= \color{Red}{5y^{2}}$
d)$\color{Sepia}{{(33m^5i^3)}\div{(3m^2i)}}$
e)$\color{Sepia}{{(45 a^3x^2)}div{(15 ax)} }$
f)$\color{Sepia}{{(35p^3r^5)}\div{(7pr^2)}}$
g)$\color{Sepia}{{(15ab^3x^2)}\div{(27a^3b^2x)}}$
h)$\color{Sepia}{{(18m^4n^2)}\div{(8m^3n^5)}}$
Se já sabemos dividir um monômio ou termo algébrico por outro, podemos partir para a divisão de um polinômio por um monômio. E isso será feito dividindo cada um dos termos do polinômio pelo monômio. Seja:
$$\color{Sepia}{{( 18 a^{3}x^{4} + 12 a^{5}x^{3} – 24 a^{7}x^{2})}\div {(6a^{2}x^{2}})}$$
${{{18a^{3}x^{4}}\over {6a^{2}x^{2}}} + {{12a^{5}x^{3}}\over {6a^{2}x^{2}}} – {{24a^{7}x^{2}}\over {6a^{2}x^{2}}}} $
${{18\over 6}a^{(3-2)}x^{(4-2)} + {12\over 6}a`{(5-2)}x^{(3-2)} – {6\over6}a^{(7-2)}x^{2-2}}$
${3a^{1}x^{2} + 2a^{3}x^{1} – 4a^{5}x^{0)}}$
${3ax^{2 }+ 2a^{3}x – 4a^{5}x^{0}}$
$$\color{Red}{ 3ax^2 + 2a^3x – 4a^5 }$$
Vamos a outro exemplo:
$$\color{Sepia}{{(36x^5y^2 – 60x^3y^4 + 24xy^6)}\div{(12xy^2)}}$$
${{{36x^5y^2}\over{12xy^2}} – {{60x^3y^4}\over {12xy^2}} + {{24xy^6}\over {12xy^2}}}$
${3x^{(5 – 1)}y^{(2 – 2)} – 5x^{(3 – 1)} y^{(4 – 2)} + 2x^{(1 – 1)}y^{(6 – 2)}}$
${3x^4y^0 – 5x^2 y^2 + 2 x^0y^4 }$
$$\color{Red}{3x^4 – 5x^2y^2 + 2y^4}$$
Vamos exercitar esse assunto.
Efetue as divisões dos polinômios por monômio, na sequência abaixo.
a)$\color{Indigo}{{(a^5b^4x^3 + a^3b^2x^2 – a^2b^3x – abx)}\div{(a^2b^2x)}}$
b$\color{Indigo}{{(8x^3y^4 – 12x^3y^2 + 20x^2y)}\div{(4x^2y^2)}}$
c)$\color{Indigo}{{(10u^6v^4 – 25u^4v^5 + 15u^2v^6 – 5u^3v^3)}\div{(-5u^2v^3)}}$
d)$\color{Indigo}{{(42p^2x^3 + 36p^5x^4 – 24p^4x^5)}\div{(6p^2x^1)}}$
e)$\color{Indigo}{{(- 72a^3y^2 – 108a^5y^4 + 54a^2y^3)}\div{(- 18ay^2)}}$
f)$\color{Indigo}{{(42a^5x^3y^6 – 36x^4y + 54a^3x^3y^7)}/{(12a^2xy3)}}$
g)$\color{Indigo}{{(12p^3q^5 + 18p^2q^4 – 9pq^2)}\div{(6pq^2)}}$
h)$\color{Indigo}{{(- a^3x^2y – 3a^5x^3y^2 + 5a^2xy^3 – 4a^4x^3y)}\div{(5ax^2y)}}$
Curitiba, 30 de abril de 2016. Republicado ampliado em 21 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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