01.056 – Matemática, Álgebra, Equações 2º Grau, usando discriminante.

Exercitando do discriminante.

Determine o conjunto verdade das equações do segundo grau, determinando primeiramente o discriminante para verificar o tipo de raízes, para depois obter seus valores.

01).$\color{Indigo}{ x² – 5x + 6 = 0} $

Para começar, iremos identificar os coeficientes da equação.

$ {a = 1} $

${ b = -5 }$

$ {c= 6}$

Calculando o discriminante:

$ \Delta = {b² – 4ac} $

$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 6} $

$ \Delta = 25 – 24 $

$ \Delta = 1$

$ \Delta \gt 0 $

Isto significa que a equação tem duas raízes reais e diferentes entre si.  Podemos agora substituir na fórmula e calcular o restante.

$ x= {{-(-5)\pm\sqrt{\Delta}}\over 2\cdot 1} $

$ ={{5 \pm\sqrt{1}}\over 2} $

$ x= {{5 \pm 1}\over 2} $

As raízes serão:

$ x’= {{5 + 1}\over 2} = {{6}\over 2} =3 $

$ x”= {{ 5 – 1 }\over 2} = {{4}\over 2} = 2 $

O conjunto verdade é:

$$\color{Purple}{V = {\{2, 3\}}}$$

02). $\color{Indigo} {x² +3x -28 = 0} $

Os coeficientes da equação:

$ {a = 1}$

$ {b=3 }$

${ c = -28}$

Vamos calcular o discriminante:

$\Delta = b² – 4ac $

$\Delta = {3² – 4\cdot 1\cdot{(-28)}} $

$\Delta = {9 + 112} = 121$

$\Delta\gt 0 $

Também esta equação tem duas raízes reais e diferentes, pois o discriminante tem valor positivo. 

Vamos aplicar a fórmula:

$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2}$

$ x= {{- 3\pm\sqrt{121}}\over 2\cdot 1} $

$ x = {{-3 \pm 11}\over 2} $

As raízes da equação serão respectivamente:

$x’ = {{-3 + 11}\over 2} = {{8}\over 2} = 4 $

$ x” = {{-3 – 11}\over 2} = {{-14}\over 2} = -7 $

$$\color{Purple}{V= {\{-7, 4\}}}$$

03). $\color{Indigo}{ x² -6x + 9 = 0 }$$

Os coeficientes da equação são:

${a = 1} $ ${ b = -6}$ ${c = 9}$

Hora do discriminante:

$\Delta = b² – 4ac $

$\Delta= {(-6)² – 4\cdot 1\cdot 9} = {36 – 36} = 0$

$\Delta = 0$ 

Temos diante de nós uma equação do segundo grau com duas raízes reais e iguais. 

Aplicando a fórmula:

$ x = {{- b \pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $

$ x = {{-(-6)\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1}$

As raízes serão:

$ x’ = x” = {{6}\over 2} = 3 $

$$\color{Purple}{V = {\{3\}}}$$

04). $\color{Indigo}{x² – 5x + 7 = 0}$

Coeficientes:

${a=1}$ ${b= -5}$

${c=7}$

Calculando o discriminante:

$\Delta = {b² – 4ac} $

$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 7} = 25 – 28 = -3$

$\Delta \lt 0$

Equação sem solução no conjunto dos números reais, pois o discriminante é negativo. 

$$\color{Purple}{V= {\emptyset}}$$

05). $\color{Indigo}{ x² + 7x + 15 = 0 }$

Coeficientes ${a = 1}$

${b = 7}$

${ c=15 }$

O discriminante fica:

$\Delta = {b² – 4ac} $

$\Delta = {7² – 4\cdot 1\cdot 15 } = {49 – 60} = -11$

$\Delta\lt 0$

Mais uma equação sem solução no conjunto dos números reais. O discriminante é negativo. 

$$\color{Purple}{V = {\emptyset}}$$

6. $\color{Indigo}{ x² + 8x + 16 = 0 }$

Os coeficientes são:

${ a= 1 }$ ${b=8}$ ${c = 16}$

Vamos ao discriminante:

$\Delta = {b² – 4ac} $

$\Delta = {8² – 4\cdot 1\cdot 16} = {64-64} = 0 $

$ \Delta = 0 $

Com o discriminante igual a zero, mais uma vez temos duas raizes reais e iguais. 

$x= {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $

$ x= {{-8\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1} $

$ x= {{-8}\over 2} = -4 $

$ x’ = x” = -4 $

$$\color{Purple}{V = {\{ -4\}}}$$

7. $\color{Indigo}{ x² -4x – 77 = 0 }$

Coeficientes:

${a=1 }$

${b=-4}$

${c=-77}$

Calculando o discriminante:

$\Delta = {b² – 4ac} $

$\Delta ={(-4)² – 4\cdot 1\cdot (-77)} = 16 +308 = 324 $ $\Delta \gt 0$ 

Com o discriminante positivo, temos duas raízes reais e diferentes. 

$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $

$ x={{-(-4)\pm\sqrt{324}}\over 2\cdot 1} $

$x= {{ 4 \pm 18}\over 2} $

As raízes são:

$x’ = {{4 + 18}\over 2} = {{22}\over 2} = 11$

$ x” = {{4 – 18}\over  2 } = {{-14}\over 2} = -7 $

$$\color{Purple}{V = {\{-7, 11\}}}$$

Havendo dúvidas, consulte para esclarecimentos por um dos canais abaixo.

Curitiba, 11 de maio de 2016

Décio Adams

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