01.055 – Matemática, Álgebra. Exerícios resolvidos de Equações do 2º Grau

Hora de exercitar.

Nosso cérebro, com todas as suas funções, pode ser comparado a um atleta. Quanto mais ele for bem tratado, alimentado, mas não submetido à exercícios, não será campeão de coisa nenhuma. Portanto vamos buscar os exercícios passados no post onde mostramos a Fórmula de Bhaskara e resolvê-los juntos. Vale dizer que essa fórmula e tudo que diz respeito às equações do segundo grau, é de constante aplicação na continuação dos estudos de matemática, física e outras disciplinas. Qualquer caminho que você resolva seguir em seus estudos, haverá um momento ou mesmo muitos em que irá aplicar esse assunto.

Vamos aos exercícios portanto.

a) $\color{Orchid}{x^2 -4x + 3 = 0}$

Vamos começar por identificar os coeficientes dessa equação. Isso sempre começa pela comparação com a forma geral da equação:

$ ax² + bx + c = 0 $

$ a = 1 $

$ b = -4 $

$ c = +3 $

Feito isso podemos começar por substituir esses coeficientes na fórmula

$ x = {{-b \pm\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $

$ x = {{ -(-4)\pm\sqrt{(-4)² – 4\cdot 1\cdot (+3)}}\over 2\cdot 1}$

$ x = {{+4 \pm\sqrt{16 – 12}}\over 2} $

$ x = {{ 4 \pm\sqrt{4}}\over 2}$

$ x = {{ 4 \pm 2}\over 2 } $

Hora de determinar as duas raízes diferentes, que caracterizam as equações do segundo grau.

$ x’ =  {{ 4 + 2}\over 2} = {6\over 2} = +3 $

 $ x” = {{ 4 – 2}\over 2} = {2\over 2} = + 1 $

$$\color{NavyBlue}{V = \{ +1, +3\}}$$

b) $\color{Orchid} {x^2 -2x – 15 = 0} $

$ {a = 1} $

$ {b = -2 }$

${c = -15} $

Substituindo

${ x = {{-(-2)\pm\sqrt{(-2)² -4\cdot a\cdot (-15)}}\over {2\cdot 1}}} $

$ {x = {{ +2 \pm\sqrt{+4 + 60}}\over 2}}$

$  {x = {{ 2 \pm\sqrt{64}}\over 2}} $

$ {x = {{2\pm 8}\over 2} }$

${x’ = {{ 2 + 8}\over 2} }$

$ {x= {10\over 2} = 5} $

${ x” = {{2 – 8}\over 2} = {-6\over 2} = -3} $

$$\color{NavyBlue} {V = {\{ -3, +5 \}}}$$

c) $\color{Orchid}{x^2 + 2x -35 = 0}$

${ a = 1 }$

$ {b = 2 }$

${ c = -35 }$

Substituindo:

$ {x = {{ -2 \pm\sqrt{(+2)^- 4\cdot 1\cdot (-35)}}\over {2\cdot 1}}} $

${ x = {{ -2 \pm\sqrt{4 + 140}}\over 2} }$

$ {x = {{ – 2\pm\sqrt{144}}\over 2}}$

$ {x = {{-2 \pm 12}\over 2}}$

$ {x’ = {{-2 + 12}\over 2} = {10\over 2} = 5}$

$ {x”= {{-2 – 12}\over 2} = {-14\over 2} = -7 }$

$$\color{NavyBlue}{V ={\{ -7 , +5\} }}$$

d) $\color{Orchid}{4x^2 -8x + 3 = 0}$

Identificando os coeficientes:

${ a = 4} $

${b = -8}$

${ c = 3 }$

Substituindo na fórmula:

${ x = {{-(-8) \pm\sqrt{(-8)² – 4\cdot 4\cdot 3}}\over{2\cdot 4}}}$

$ {x= {{ 8\pm\sqrt{64 – 48}}\over 8}}$ $ {x = {{8 \pm\sqrt{16}}\over 8}}$ $ {x = {{ 8 \pm 4}\over 8}}$

As raízes serão:

$ {x’ = {{8 + 4}\over 8} = {12\over 8} = {3\over 2}} $

$ {x” = {{8 – 4}\over 8} = {4\over 8} = {1\over 2}}$

$$\color{NavyBlue}{ V = {\{{1\over 2}, {3\over 2}}\}} $

e) $\color{Orchid}{3x^2 + 5x – 2 = 0} $

Os coeficientes são:

${a = 3 }$

${b = 5 }$

${c = -2}$

Substituindo na fórmula teremos:

${x = {{-(-5)\pm\sqrt{(-5)² – 4\cdot 3\cdot (-2)}}\over {2\cdot 3}}} $

${x = {{ 5 \pm\sqrt{25 + 24}}\over 6}}$

${x = {{5\pm\sqrt{49}}\over 6}}$

${{ 5 \pm 7}\over 6} $

As raízes serão:

$ {x’ = {{5 + 7}\over 6} = {12\over 6} = 2}$

${ x” = {{5 -7}\over 6} = {- 2\over 6} = {-{1\over 3}} }$

$$\color{NavyBlue} {V = {\{-{1\over3}, 2\}}}$$

 f) $\color{Orchid}{4x^2 + 4x – 15 = 0}$

Os coeficientes numéricos são:

$ {a=4 }$

${b = 4}$

${c=-15}$

Substituindo na fórmula fica:

$ {x= {{- 4 \pm\sqrt{4² – 4\cdot 4\cdot(-15)}}\over {2\cdot  4}}} $

$ {x = {{-4\pm\sqrt{16 +240}}\over 8}} $

$ {x= {{-4 \pm\sqrt{256}}\over 8}}$

$ {x = {{-4 \pm {16}}\over 8}}$

As raízes são pois:

${x’ = {{-4+16}\over 8} = {{12}\over 8} = {{3}\over 2}}$

${ x” = {{-4 – 16}\over 8} = {{-20}\over 8} = {{-5}\over 2}}$

$$\color{Orchid}{V = {\{-{{5}\over2}, {{3}\over 2}\}}}$$

g) $\color{Orchid}{x^2 + 3x – 40 = 0}$

Os coeficientes são:

${a = 1}$

${b = 3}$

${c = -40}$

Vamos substituir na fórmula:

${x={{- 3\pm\sqrt{3² – 4\cdot 1\cdot (-40)}}\over{2\cdot 1}}}$

${x = {{-3\pm\sqrt{9 + 160}}\over 2}}$ ${x={{-3\pm\sqrt{169}}\over 2}}$

$ {x= {{- 3\pm 13}\over 2}}$

As raízes serão: ${ x’ ={{-3 + 13}\over 2} = {{10}\over 2} = 5}$

${x”= {{-3 – 13}\over 2} = {{-16}\over 2} = -8 }$

$\color{NavyBlue}{V = {\{ {- 8}, 5\}}}$$

Curitiba, 11 de maio de 2016. Revisado e republicado em 26 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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