01.054 – Matemática, Álgebra, Equações incompletas do 2º Grau.

Incompletas?

Isso mesmo. Até o presente momento, vimos só as equações do segundo grau, ditas completas, isto é, contendo coeficientes numéricos diferentes de zero em todos os termos, na forma geral.

$$\color{NavyBlue}{ ax² + bx + c = 0 }$$

Mas há as equações do segundo grau que têm um dos coeficientes igual a zero (0), com exceção do a, pois nesse caso deixaria de ser do segundo grau, passando a ser uma equação do primeiro grau. Temos, pois, a possibilidade de uma equação com os coeficientes ou c iguais a zero (0). Elas ficam com a forma:

$$\color{Orchid} {ax² + c = 0}$$

$$\color{Orchid} {ax² + bx = 0} $$

$$\color{Orchid} {ax² = 0} $$

Podemos usar a Fórmula de Bhaskara para solucionar estas equações. Bastará substituir o termo correspondente por zero(0) e fazer os cálculos. Porém, em geral, é mais rápido fazer pelo processo abreviado, que já iremos ver. Começaremos pela última das três citadas acima.

$$\color{Brown}{ax² = 0} $$

Se $a$ é um número diferente de zero, a multiplicação só será nula se o valor de $x$ for zero (0). Logo o conjunto verdade ou solução será:

$\color{BrickRed}{V =\ \{ 0 }\}$

Agora um exemplo do tipo  em que $b$ é igual a zero.

$\color{Orchid}{ax² + c = 0 }$

$ {ax² = -c }$

$ {{ax²\over a} = {-c\over a} }$

$ {\sqrt{x²} = \sqrt{-c\over a} }$

$$\color{Indigo}{ x = \pm\sqrt{-c\over a}}$$

Obs.: O sinal menos diante de $c$, chama atenção para a situação em que a equação não tem raízes no conjunto dos números reais. Se o quociente de

${{-c\over a} < 0}$

for um número negativo, isto é, menor que zero, o conjunto verdade ou solução é um conjunto vazio. Se for positivo, teremos duas raízes reais e simétricas.

Como fica a incompleta, sem o termo independente (c = 0)?

$\color{Orchid}{ ax² + bx = 0 }$

Nesse tipo de equação incompleta, notamos que há um fator comum nos dois termos. Isto permite fazer a fatoração, ou seja, colocar o mesmo em evidência.

$ {x(ax + b) = 0} $

Novamente estamos diante de uma multiplicação cujo resultado é nulo. Isso só é verdadeiro, se um dos fatores for nulo. Temos pois:

$ {x = 0 }$

$ {ax + b = 0} $

$ {ax = -b }$

$$\color{Indigo} {x = {-b\over a}}$$

Neste tipo de equação sempre haverá uma raiz nula e outra igual ao simétrico do quociente entre os coeficientes $b$ e $a$.

Vamos aplicar em exemplos.

01. $\color{Brown}{ 5x² = 0 }$

$ {x = 0}$

$\color{Purple}{V = \{0\}}$

02. $\color{Brown} {2x² – 8 = 0 }$

$ {2x² = 8 }$

$ {x² = \sqrt{8\over 2} }$

$ {x = \sqrt {4 } }$

${ x = \pm{ 2}}$

$\color{Purple}{V = \{-2, +2 \}} $

03. $\color{Brown} {3x² – 9x = 0 }$

$ {x(3x – 9) =0} $

${x’ = 0}$

${3x = 9} $

${ x = {9\over 3}}$

${x” = 3} $

$ \color{Purple}{V = \{0, +3\}} $

4. Determine o conjunto verdade das equações incompletas do segundo grau que seguem.

a) $\color{DarkBlue} {6x² = 0}$

b) $\color{DarkBlue}{ x² – 16 = 0 }$

c) $\color{DarkBlue} {5x² – 125 = 0}$

d)$\color{DarkBlue} {2x² + 10x = 0}$

e) $\color{DarkBlue}{ 7x² – 49x = 0}$

f) $\color{DarkBlue}{ x² + 4x = 0} $

g) $\color{DarkBlue}{ 3x² + 18x = 0}$

h) $\color{DarkBlue}{ 2x² + 12 = 0}$

i) $\color{DarkBlue}{ 10 x² – 90 = 0 }$

j) $\color{DarkBlue} {3x^2 = 0 }$

l) $\color{DarkBlue}{10x^2 – 15x = 0}$

m) $\color{DarkBlue}{7x^2 – 28 = 0}$

n) $\color{DarkBlue}{3x^2 – 27 = 0 }$

o) $\color{DarkBlue} {5x^2 + 25 = 0}$

Curitiba, 09 de maio de 2016. Melhorado e republicado em 25 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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