Incompletas?
Isso mesmo. Até o presente momento, vimos só as equações do segundo grau, ditas completas, isto é, contendo coeficientes numéricos diferentes de zero em todos os termos, na forma geral.
$$\color{NavyBlue}{ ax² + bx + c = 0 }$$
Mas há as equações do segundo grau que têm um dos coeficientes igual a zero (0), com exceção do a, pois nesse caso deixaria de ser do segundo grau, passando a ser uma equação do primeiro grau. Temos, pois, a possibilidade de uma equação com os coeficientes b ou c iguais a zero (0). Elas ficam com a forma:
$$\color{Orchid} {ax² + c = 0}$$
$$\color{Orchid} {ax² + bx = 0} $$
$$\color{Orchid} {ax² = 0} $$
Podemos usar a Fórmula de Bhaskara para solucionar estas equações. Bastará substituir o termo correspondente por zero(0) e fazer os cálculos. Porém, em geral, é mais rápido fazer pelo processo abreviado, que já iremos ver. Começaremos pela última das três citadas acima.
$$\color{Brown}{ax² = 0} $$
Se $a$ é um número diferente de zero, a multiplicação só será nula se o valor de $x$ for zero (0). Logo o conjunto verdade ou solução será:
$\color{BrickRed}{V =\ \{ 0 }\}$
Agora um exemplo do tipo em que $b$ é igual a zero.
$\color{Orchid}{ax² + c = 0 }$
$ {ax² = -c }$
$ {{ax²\over a} = {-c\over a} }$
$ {\sqrt{x²} = \sqrt{-c\over a} }$
$$\color{Indigo}{ x = \pm\sqrt{-c\over a}}$$
Obs.: O sinal menos diante de $c$, chama atenção para a situação em que a equação não tem raízes no conjunto dos números reais. Se o quociente de
${{-c\over a} < 0}$
for um número negativo, isto é, menor que zero, o conjunto verdade ou solução é um conjunto vazio. Se for positivo, teremos duas raízes reais e simétricas.
Como fica a incompleta, sem o termo independente (c = 0)?
$\color{Orchid}{ ax² + bx = 0 }$
Nesse tipo de equação incompleta, notamos que há um fator comum nos dois termos. Isto permite fazer a fatoração, ou seja, colocar o mesmo em evidência.
$ {x(ax + b) = 0} $
Novamente estamos diante de uma multiplicação cujo resultado é nulo. Isso só é verdadeiro, se um dos fatores for nulo. Temos pois:
$ {x = 0 }$
$ {ax + b = 0} $
$ {ax = -b }$
$$\color{Indigo} {x = {-b\over a}}$$
Neste tipo de equação sempre haverá uma raiz nula e outra igual ao simétrico do quociente entre os coeficientes $b$ e $a$.
Vamos aplicar em exemplos.
01. $\color{Brown}{ 5x² = 0 }$
$ {x = 0}$
$\color{Purple}{V = \{0\}}$
02. $\color{Brown} {2x² – 8 = 0 }$
$ {2x² = 8 }$
$ {x² = \sqrt{8\over 2} }$
$ {x = \sqrt {4 } }$
${ x = \pm{ 2}}$
$\color{Purple}{V = \{-2, +2 \}} $
03. $\color{Brown} {3x² – 9x = 0 }$
$ {x(3x – 9) =0} $
${x’ = 0}$
${3x = 9} $
${ x = {9\over 3}}$
${x” = 3} $
$ \color{Purple}{V = \{0, +3\}} $
4. Determine o conjunto verdade das equações incompletas do segundo grau que seguem.
a) $\color{DarkBlue} {6x² = 0}$
b) $\color{DarkBlue}{ x² – 16 = 0 }$
c) $\color{DarkBlue} {5x² – 125 = 0}$
d)$\color{DarkBlue} {2x² + 10x = 0}$
e) $\color{DarkBlue}{ 7x² – 49x = 0}$
f) $\color{DarkBlue}{ x² + 4x = 0} $
g) $\color{DarkBlue}{ 3x² + 18x = 0}$
h) $\color{DarkBlue}{ 2x² + 12 = 0}$
i) $\color{DarkBlue}{ 10 x² – 90 = 0 }$
j) $\color{DarkBlue} {3x^2 = 0 }$
l) $\color{DarkBlue}{10x^2 – 15x = 0}$
m) $\color{DarkBlue}{7x^2 – 28 = 0}$
n) $\color{DarkBlue}{3x^2 – 27 = 0 }$
o) $\color{DarkBlue} {5x^2 + 25 = 0}$
Curitiba, 09 de maio de 2016. Melhorado e republicado em 25 de dezembro de 2017.
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