01.058 – Matemática – Álgebra, Equação bi-quadrada.

Equação bi-quadrada?

Achou engraçado o nome?! Pois é, apesar do nome é um tipo de equação do 4º Grau, porém incompleta. Vejamos. Uma equação do 4º Grau, completa fica assim em sua forma geral.

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{ ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx + e = 0}$

Grande, não é?! Essas equações são resolvidas por um método diferente e apenas para adiantar, elas podem ter até quatro raízes reais. Mas ainda não é o momento de estudarmos coisas desse nível.

Então o que é essa tal de equação bi-quadrada? Eu disse no começo que ela é uma equação incompleta do 4º Grau. Sua forma geral pode ser apresentada assim:

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{ax^4 + bx^2 + c = 0} $

Ela não tem os termos onde a variável x aparece com expoente ímpar

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{(x^3 ; x)}$

Se elas são resolvidas por um método diferente e mais complexo, por que apresentar esta nesse momento? É que alguém observou ser possível usar um artifício e chegar às soluções dessas equações, usando a fórmula de Bhaskara. Você talvez esteja pensando: “Mas essa fórmula é usada na resolução das equações do 2º Grau”! De fato, você tem razão em pensar assim. Mas, lembre que eu disse acima : alguém descobriu um artifício que permite fazer essa resolução. Não esqueça que as letras representam números. Então podemos representar um número por diferentes letras, se isso nos ajudar a encontrar as soluções que buscamos.

Vamos então a esse artifício. Tomemos a forma geral

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ ax^4 + bx^2 + c = 0}}$

Que tal fazermos o seguinte:

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ x^2 = y}} $

Isso permite também dizer que $\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{x^4 = y^2}}$

Logo, podemos re-escrever a equação bi-quadrada, na forma de uma equação de segundo grau em ${y}$,

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ ay^2 + by + c = 0}}$

Iremos determinar duas soluções para esta equação do 2º Grau. Com essas duas soluções vamos determinar as quatro soluções para a nossa equação bi-quadrada, substituindo esses valores na primeira das igualdades que aplicamos. Os coeficientes da equação são

$\color{navy}{ a , b, c}$

A fórmula de Bhaskara assumirá a forma

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ y = {{- b \pm\sqrt{b^2 – 4ac}}\over{2a}}}} $

Até aqui a única novidade foi a troca de por y. Vamos ver um exemplo.

Determine o conjunto verdade da equação bi-quadrada

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{x^4 – 13x^2 + 36 = 0}} $

Vamos substituir

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ x^2 = y}}$

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{y^2 – 13y + 36 = 0}}$

Os coeficientes numéricos são pois:

$ a = 1$

$ b = -13 $

$ c = 36$

Vamos determinar o discriminante:

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{\Delta = {b^2 – 4ac}}}$

$\Delta = {(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 36} $

$\Delta = {169 – 144} $

$\Delta = 25 $

$\Delta \gt 0$

Isso nos leva à fórmula:

$ y = {{-(-13)\pm\sqrt{\Delta}}\over{2\cdot 1}} $

$ y = {{13\pm\sqrt{25}}\over 2} $

$ y= {{13\pm5}\over 2}$

As duas raízes para y serão: $ y’ = {{13 + 5}\over 2} = {{18}\over2} = 9 $

$ y” = {{13 – 5}\over 2} = {8\over 2} = 4 $

Nós substituimos ${x^2}$ por ${ y}$

Vamos determinar os valores de x que são compatíveis com essa equação. Para

$ {y = 9} $

$ {x^2 = 9}$

$ {\sqrt{x^2} = \sqrt {9}}$

$ x = \pm3 $

Para ${ y = 4}$ ${ x^2 = 4}$

$\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$

$ x = \pm2 $

Estas são as quatro raízes dessa equação biquadrada. O conjunto verdade fica assim: $\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ V = \{-3; -2; 2; 3\}}} $

Viu como é fácil?

Vamos a um outro exemplo.

Determine o conjunto verdade da equação bi-quadrada

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ x^4 -2x^2 -63 = 0}}$

Sempre começamos por substituir ${ y }$ em lugar de ${x^2}$.

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ y^2 – 2y – 63 = 0}}$

Os coeficientes numéricos são agora $ {a = 1}$

${ b = -2}$

${c = -63}$

O discriminante fica:

$\Delta = {(-2)^2 – 4\cdot 1\cdot(-63)}$

$\Delta = {4 + 252} $

$ \Delta = 256 $

$\Delta \gt 0 $

Podemos então substituir na fórmula.

$ y = {{-(-2)\pm\sqrt{\Delta}}\over{2\cdot 1}}$

$ y = {{2\pm\sqrt{256}}\over 2} $

$ y = {{2\pm16}\over 2}$

$y ={{2 + 16}\over 2} = {{18}\over 2}= 9$

$y={{2 – 16}\over 2} = {-14\over 2} = -7$

Terminou? Ops! Ainda não. Falta determinar os valores de x.

Para

$ {y = 9}$

$ {x^2 = y = 9 }$

$ \sqrt{x^2} = \sqrt{9} $

$x = \pm3$

Para

$ {y = -7}$

$ {x^2 = -7}$

$ \sqrt{x^2} = \sqrt{-7}$

$ x\notin R $

Vemos que quando usamos o ${ y = -7}$, não existe valor no conjunto dos números reais que satisfaça esse resultado. Nenhum número real, elevado ao quadrado, é igual a -7. Portanto o conjunto verdade fica restrito aos outros dois valores:

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ V =\{ -3; 3\}}} $

Mais um exemplo. Determinar o conjunto verdade da equação bi-quadrada

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{x^4 – 16 = 0}}$

Vamos fazer a substituição:

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ y^2 – 16 = 0}}$

Podemos resolver pela fórmula, mas nesse caso é mais rápido usar o método abreviado:

$ y ^2 – 16 + 16 = 0 + 16 $

$ y ^2 = 16 $

$\sqrt{y^2} = \sqrt{16} $ $y = \pm4 $

Vamos substituir na relação

${ x^2 = y}$

Para

${ y = – 4}$

$ {x^2 = – 4} $

$\sqrt{x^2} = \sqrt{-4} $

${ x \notin R}$

Para

${y = 4}$

${x^2 = 4}$

${\sqrt{x^2} = \sqrt{4} }$

${x = \pm2}$

Temos novamente o caso em que uma das raízes para a equação em ${y} $ não apresenta solução para ${ x }$, pois, nenhum número real elevado ao quadrado, dará como resultado ${-4}$.

O conjunto verdade da equação bi-quadrada se resume aos dois valores.

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{V = \{-2; 2\}}}$

Outro exemplo. Determine o conjunto verdade da equação bi-quadrada

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{2x^4 + 50 = 0}}$

Vamos substituir

${x^2}$ 

por

${y}$ 

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{2y^2 + 50 = 0}} $

Também esta vamos resolver pelo método abreviado. ${2y^2 + 50 – 50 = 0 – 50 }$

${2y^2 =-50}$

${{2y^2}\over 2} = {{-50}\over 2} $

$ {y^2 = -25} $

$\sqrt{y^2} = \sqrt{-50} $

$ y \notin R $

Infelizmente neste caso estamos diante de uma equação que não tem solução no conjunto dos números reais, pois nenhum número real elevado à segunda potência resulta em ${-25}$. Portanto

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{V = \emptyset}} $

Outro exemplo. Determine o conjunto verdade da equação bi-quadrada.

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{3x^4 – 27x^2 = 0}}$

Substituindo

${x^2}$

por

${ y}$,

temos

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{3y^2- 27y = 0}}$

Observamos que os dois coeficientes são divisíveis por $ {3}$ e têm o fator comum ${y}$. Isso nos permite escrever a expressão de forma fatorada

$ {3y}\cdot{(y – 9)} = 0 $

Temos agora um produto igual a $ {0 }$. Para isso, um dos fatores deve ser nulo, o que nos dá:

$ {3y = 0} $

${ y = 0 }$

Ou

$ {y – 9 = 0} $

$ {y – 9 + 9 = 0 + 9}$

${ y = 9} $

Temos duas soluções para y.

Vamos substituir em $ x^2 = y $

Para

$ {y = 0} $

${ x^2 = 0}$

${ x= 0}$

Para

$ {y = 9}$

${ x^2 = 9 }$

$ \sqrt{x^2} = \sqrt{9} $

$ {x = \pm3 }$

O conjunto verdade tem três elementos:

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{V=\{ -3; 0; 3\}}} $

Obs.: Na verdade temos duas raízes reais e iguais a zero(0).

Mais um exemplo. Determinar o conjunto verdade da equação bi-quadrada

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{5x^4 + 20x^2 = 0}}$

Vamos substituir

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{5y^2 + 20y = 0}}$

Fatorando

$ {5y}\cdot{(y + 4)} = 0 $

Novamente um produto nulo. Um dos fatores é portanto nulo.

$ {5y = 0} $

$ {y = 0}$

Ou

$ {y + 4 = 0} $

${ y + 4 – 4 = 0 -4} $

${ y = -4}$

Substituindo em

${x^2 = y}$

temos:

${y = 0}$

${ x^2 = 0}$

${x = 0}$

${y = -4}$

${x^2 = -4}$

$\sqrt{x^2} = \sqrt{-4} $

${x\notin R}$

Agora temos somente um número que satisfaz a equação. É o zero (0), pois o outro valor é negativo e nenhum número real, elevado ao quadrado, nos dará um número negativo. Portanto

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{V = \{0\}}} $

Nota.: Não pode esquecer de fazer a segunda parte da resolução. Primeiro transformamos a bi-quadrada em uma esquação do 2º Grau e no final usamos as raízes dessa equação para obter as raízes da bi-quadrada.

Exercitando

Determine o conjunto verdade das equações bi-quadradas listadas à seguir.

a)$x^4 -36 x^2 + 225 = 0 $

b)$ x^4 + 3x^2 -4 = 0$

c)$ x^4 – 5x^2 – 36 = 0$

d)$ x^4 -3x^2 + 7 = 0$

e)$ 7x^4 – 112 = 0$

f)$ 3x^4 + 36 = 0 $

g)$ 3x^4 – 48x^2 = 0$

h)$2x^4 + 18x^2 = 0 $

Curitiba, 20 de maio de 2016

Republicado em 27 de dezembro de 2017

Décio Adams

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