Sistemas com duas incógnitas

Até o último post falando de equações, vimos somente situações em que aparece apenas uma incógnita. E se nos depararmos com um problema em que haja duas incógnitas, como iremos proceder?

Com as ferramentas, ou seja, métodos de resolução vistos até agora, fica complicado. No entanto existem modos de chegarmos a uma resposta satisfatória. Depende das informações que tivermos a respeito dessas incógnitas. Geralmente é necessário saber de duas relações entre essas elas. Isso nos permitirá escrever duas equações envolvendo essas incógnitas e assim formaremos um sistema de duas equações. De posse dessas duas equações, aplicando o raciocínio adequado, poderemos determinar o valor das incógnitas. Nesse raciocínio iremos utilizar as propriedades que estudamos anteriormente para as operações, as expressões algébricas, enfim tudo que vimos até o momento.

Há várias possibilidades de relações entre as incógnitas que nos irão permitir obter a resposta procurada. Vamos supor o seguinte problema.

” Um par de sapatos e um terno, custam juntos a quantia de R$600,00. O preço do terno é o quádruplo do preço do par de sapatos. Determinar o preço de cada item”.

Estamos diante de dois valores desconhecidos. Podemos associar cada item a uma letra. Por exemplo: O par de sapatos seja x  e o terno y. Isso nos permite escrever o seguinte sistema:

$ x + y = 600 $

$ y = 4x $

Está montado o sistema. Note que podemos substituir a incógnita y na primeira equação, pelo seu equivalente 4x.

$x + 4x = 600 $

Temos agora uma equação do primeiro grau que pode facilmente ser resolvida como já vimos.

$(1 + 4)x = 600 $

$ 5x = 600 $

${5x\over 5} = {600\over 5} $

$ x = 120$

Já sabemos o custo do par de sapatos:

$ x = 120,00 $

Podemos então calcular o preço do terno, substituindo em y  o valor de x.

$ y = {4\cdot 120} $

$ y = 480 $

O que nos dá para o terno o custo de

${ y = 480,00}$

Temos assim que o valor do par de sapatos é $ {R$ 120,00} $; o do terno é $ R$ 480,00 $. A soma dos dois valores resulta no total pago, conforme a informação do enunciado do problema.

Vamos ver agora uma outra situação.

“Um terreno retangular tem perímetro de 170 metros e sua área é de 1650 m^2. Determine a largura x  e o comprimento y desse terreno”.

Se a forma é retangular, o terreno tem dois lados iguais à largura  x  e dois lados iguais ao comprimento y. A área de um retângulo se calcula multiplicando a largura pelo comprimento. Isso nos dá as duas equações:

$ 2x + 2y = 170 $

$ x\cdot y = 1650 $

Da segunda equação, podemos exprimir o valor de um dos lados em função do outro. A seguir substituiremos na outra equação:

$ x\cdot y = 1650 $

${{x\cdot y}\over y}= {1650\over y} $

$ x = {1650\over y} $

Vamos colocar no lugar de x esse valor e obteremos uma equação do primeiro grau.

$ {2\cdot({1650\over y})} + 2y = 170 $

Temos agora uma equação onde há um termo com o denominador y  e dois termos sem denominador. Reduziremos tudo ao mesmo denominador, o que nos permitirá eliminar o mesmo, pois será fator comum entre todos os termos, do primeiro e segundo membro.

$ {{{2\cdot1650} + {2y\cdot y}}\over y} = {{170\cdot y}\over y} $

Todos os coeficientes são divisíveis por dois e assim poderemos fazer

$ {{3300 +2y^2}\over 2} = {{170 y}\over 2 }$

$1650 + y^2 = 85y $

Vamos somar ${-85y}$ a ambos os membros da equação. Depois colocamos em ordem decrescente os coeficientes de y.

$ 1650 + y^2 – 85y  =  85y – 85y $

$ 1650 + y^2 – 85y = 0 $

$ y^2 – 85 y + 1650 = 0 $

E recaimos em uma equação do segundo grau. Esta poderá ser resolvida aplicando a fórmula de Bhaskara. Os coeficientes numéricos são:

$ a = 1$

$ b= -85 $

$ c = 1650 $

Vamos substituir na fórmula:

$ y = {{- b \pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}\over 2\cdot a} $

$ y = {{-(-85)\pm\sqrt{(-85)^2-4\cdot 1\cdot 1650}}\over 2\cdot 1 } $

$ y = {{85 \pm\sqrt{7225 – 6600}}\over 2} $

$y = {{85 \pm \sqrt{625}}\over 2} $

$ y = {{85 \pm 25}\over 2} $

$ y = {{85 + 25}\over 2}$

$ y = {110\over 2} $

$ y = 55$

$y = {{85 – 25}\over 2} $

$ y ={60\over 2} $

$ y = 30 $

Encontramos dois valores para y o que nos permite determinar também dois valores para x.  Vejamos

$ x = {1650\over y} $

Para $ y = 55$, resulta:

$ x = {1650\over 55} $

$ x = 30 $

Para $ y = 30 $, teremos:

$ x = {1650\over 30} $

$ x = 55$

Assim, vemos que os dois pares são equivalentes o que resulta dizer que a largura do terreno é de 30 metros e o comprimento é de 55 metros. Se quisermos dizer que a largura é 55 m e o comprimento 30, também estaremos certos, embora habitualmente se costume considerar a largura o lado menor e o maior como o comprimento, mas isso não faz na realidade nenhuma diferença.

Vejamos um outro exemplo, diferente dos dois anteriores.

“A soma do dobro de um número com o triplo de outro é igual a 31. Se a diferença entre eles é igual a -2, determine o valor deses números”.

Temos dois números desconhecidos, que podemos representar por duas letras como por exemplo  x e  y.  Vamos começar pela diferença entre eles.

$ x – y = -2 $

O que nos mostra que o primeiro é menor que o segundo. Assim, a outra relação fica sendo:

$2x + 3 y = 31 $

Na primeira equação, podemos exprimir o valor de x em função de y , substituindo depois na segunda equação.

$ x – y + y = -2 + y $

$ x = y – 2 $

A propriedade comutativa permite que troquemos as posições das parcelas entre si, sem prejuízo do resultado. Substituindo na outra equação fica:

$ 2\cdot{(y – 2)} + 3 y = 31 $

$ 2y – 4 + 3y = 31 $

Adicionando o simétrico do termo independente do primeiro membro a ambos os membros teremos:

$ 2y – 4 + 4 + 3y = 31 + 4 $

$ 2y + 3y = 35 $

$ 5y = 35 $

$ {{5y}\over 5} = {{35}\over 5} $

$ y = 7 $

Tendo determinado o valor de y, basta substituir esse valor na expressão que nos dá o valor de x.

$ x = y – 2$

$ x = 7 -2 $

$ x = 5 $

Estão determinados os valores dos números procurados. Podemos escrever o conjunto verdade:

$ V = \{(5, 7)\} $

 Obs.: Colocamos os dois números entre parênteses, pois a resposta é um par de números, que costumamos chamar de par ordenado, como iremos usar no estudo das funções que virá futuramente.

Mais um exemplo, um pouco diferente. Existem muitas formas de exprimir as relações entre as variáveis.

” A soma de dois números é 17 e sua diferença é 5. Determine esses números”.

Como são dois números, vamos representá-los por x  e  y respectivamente. E podemos então escrever o sistema:

$ x + y = 17 $

$ x – y = 5 $

Podemos exprimir um em função do outro, conforme queiramos. Vamos exprimir o valor de  y em função de x  para variar um pouco.

$ x – x + y = 17 – x $

$ y = 17 – x $

Substituindo na outra equação fica:

$ x – {(17 – x)} = 5 $

$x – 17 + x = 5 $

$ x + x – 17 + 17 = 5 + 17 $

$ 2x = 22 $

$ {{2x}\over 2} = {{22}\over 2} $

$ x = 11 $

Temos o valor de x e podemos determinar o valor de y.

$ x – y = 5 $

$ 11 – y = 5 $

$ 11 – y – 11 = 5 – 11$

$-y = – 6 $

Vamos multiplicar ambos os membros por ${ -1}$

$ {(-y)}\cdot{(-1)} = {(-6)}\cdot {(-1)}$

$ y = 6$

O conjunto verdade do sistema é

$V = \{(11, 6)\} $

Podemos notar que é possível resolver uma porção de problemas dessa maneira. Em alguns casos recaímos numa equação do primeiro grau e outros em uma equação do segundo grau. Basta aplicar o método de resolução correspondente e encontraremos as soluções que buscamos. Vamos agora resolver alguns problemas e sistemas de equações com duas incógnitas.

1. Determine o conjunto verdade dos sistemas de equações a seguir.

a) $ 3x – 2y = 10 $

$ x + y = 13 $

b) $ x + y = 19 $

$ x – y = 11$

c) $ 2x + 5y = 11 $

$ x\cdot y = 6 $

d) $7x – 2y = 49 $

$ x\cdot y = -35 $

e) $ 5u – 4v = 38 $

$ u – v = 8 $

2. A soma dos quadrados de dois números é 25 e a sua soma é igual a 7. Quais são esses números?

3. O quádruplo de um número menos o dobro de outro é igual a 22. A soma dos números é 10. Determine esses números.

4. A metade de um número, somada a um terço de outro é igual a 7. O produto desses números é 72. Determine esses números.

5. O triplo de um número menos o dobro de outro é dá 7. Os dois números somados, resultam em 9. Quais são esses números?

6. Um terreno mede 80 m de comprimento. Se seu perímetro é igual a 220 m. Se a sua área é de 2400m^2, qual é sua largura?

Curitiba, 16 de maio de 2016.

Revisado e republicado em 30 de dezembro de 2017.

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