01.060 – Matemática, Álgebra. Sistemas de equações com duas incógnitas. Exercícios.

Resolvendo os exercícios.

  1. Determine o conjunto verdade dos sistemas de equações a seguir.

a) $$ 3x – 2y = 10 $$ $$ x + y = 13 $$ O caminho mais fácil é exprimir o valor de uma das incógnitas em função da outra, partindo da segunda equação. $$ x + y = 13$$ $$ x – x + y = 13 – x $$ $$ y = 13 – x $$ Substituindo da outra equação, teremos: $$ 3x – 2\cdot{(13 – x)} = 10 $$ $$ 3x -26 + 2x = 10 $$ $$ (3x + 2x) – 26 + 26 = 10 + 26 $$ $$ 5x = 36 $$ $$ {{5x}\over 5} = {{36}\over 5} $$ $$ x = 7,2$$ Substituindo na outra expressão: $$ y = 13 – 7,2 $$ $$ x = 5,8 $$  $$ V = \{(5,8; 7,2)\} $$

b) $$ x + y = 19 $$ $$ x – y = 11$$  Seguimos os mesmos passos do anterior. $$ x + y = 19 $$ $$ x – x + y = 19 – x $$ $$ y = 19 -x $$ Substituindo na outra equação: $$x – (19 – x ) = 11 $$ $$ x – 19 + x = 11 $$ $$ 2x – 19 + 19 = 11 + 19 $$ $$ 2x = 30 $$ $$ {{2x}\over 2} = {{30}\over 2} $$ $$ x = 15 $$ Vamos substituir na expressão de y. $$ y = 19 -x $$ $$ y = 19 – 15 $$ $$ y = 4$$  $$ V =\{(15; 4)\} $$

c) $$ 2x + 5y = 11 $$ $$ x\cdot y = 6 $$ Agora estamos com uma situação diferente. Uma das equações é o produto das incógnitas e vamos aplicar a propriedade da multiplicação dos membros pelo mesmo fator. $$x\cdot y = 6 $$ $${{x\cdot y}\over x} = {6\over x} $$ $$ y = {6\over x}$$ Substituindo: $$ 2x + 5\cdot{(6\over x)} = 11$$ $$ 2x + {30\over x} = 11 $$ Reduzindo ao mesmo denominador: $$ {{{2x}\cdot x + {30}}\over x} = {{11\cdot x}\over x} $$ Os denominadores iguais, podem ser cancelados. Ficamos então com: $$ 2x² + 30 = 11x $$ $$ 2x² – 11x + 30 = 0$$ Agora recaimos numa equação do segundo grau. Os seus coeficientes são $$ a = 2$$ $$ b = – 11$$ $$ c = 30 $$ Vamos determinar o discriminante: $$ \Delta = b² – 4\cdot a\cdot c $$ $$\Delta = {(-11)² – 4\cdot 2\cdot 30} $$ $$\Delta = 121 – 240 $$ $$ \Delta = -119 $$ $$ \Delta \lt 0 $$ O que nos leva a um sistema sem solução. As raízes não pertencem ao conjunto dos números reais. $$ V = \emptyset $$

d) $$7x – 2y = 49 $$ $$ x\cdot y = -35 $$ O procedimento é semelhante ao anterior. $${{x\cdot y}\over x } = {{-35}\over x} $$ $$ y = {{-35}\over x}$$ Substituindo na equação $$ 7x – 2\cdot({{-35}\over x}) = 49 $$ $$7x +{{70}\over x} = 49 $$ $$ {{{7x}\cdot x}\over x + {{70}\over x}} = {{{49}\cdot x}\over x}$$ $$ 7x² + 70 = 49x $$ $$7x² – 49x + 70 = $$ Note que os coeficientes são todos múltiplos de 7. Isso nos permite dividir a equação inteira por esse número, simplificando-a, sem alterar a solução. $${{7x² – 49x + 70}\over 7} = 0 $$ $$ x^2 -7x + 10 = 0 $$ Agora os coeficientes são: $$ a = 1$$ $$ b = -7$$ $$ c = 10$$ O discriminante nos dá: $$\Delta = (-7)² – 4\cdot 1\cdot 10 $$ $$ \Delta = 49 – 40 = 9 $$ $$ \Delta \gt 0$$ Isso nos mostra que há soluções reais para a equação. $$ x = {{-(-7) \pm\sqrt\Delta}\over {2\cdot 1}} $$ $$ x = {{7 \pm\sqrt 9 }\over 2} $$ $$ x = {{ 7 \pm 3}\over 2} $$ As raízes são: $$ x = {{7 + 3}\over 2} $$ $$ x = {10\over2} $$ $$ x = 5$$ $$ x = {{7 – 3}\over 2} $$ $$ x = {4\over 2} = 2 $$  Agora podemos determinar os valores de y.  $$ x = 5 $$ $$ y = {{-35}\over 5} $$ $$ y = – 7 $$ $$ x = 2 $$ $$ y = {{-35}\over 2} $$ Temos então dois pares de números que satisfazem o sistema: $$ V = \{(5, -7); (2, -35/7)\}$$

e) $$ 5u – 4v = 38 $$ $$ u – v = 8 $$ Podemos exprimir uma variável em função da outra a partir de uma das equações. Não importa qual. Vamos começar pela primeira, apenas para ir pelo caminho mais complicado. $$ {5u – 4v + 4v} ={ 38 + 4v} $$ $$ {5u} ={ 38 + 4v }$$ $$ {{5u}\over 5} = {{38 + 4v}\over 5}$$ $$ u = {{38 + 4v}\over 5} $$ Substituimos na outra: $$ {u – v} = {8} $$ $$ {{38 + 4v}\over 5} – v = 8$$ Reduzimos ao mesmo denominador: $$ {{38 + 4v}\over 5} – {{v\cdot 5}\over5} = {{8\cdot 5}\over 5} $$ Cancelamos os denominadores comuns e temos: $$ {38 + 4v – 5v} = {40} $$ $$ {38 – 38  – v} = {40 – 38} $$ $${ – v = 2} $$ $$ {-v\cdot {(-1)}} = {2\cdot {(-1)}} $$ $${ v = -2}$$ Substituímos na outra equação: $$ {u = {{38 + 4v}\over 5}} $$ $$ u = {{38 +4\cdot{(-2)}\over 5}}$$ $${ u = {{38 – 8}\over 5}}$$ $$ u = {30\over 5} = 6 $$ Temos então o par de números que satisfazem o sistema: $${V = \{(u;v)\} = \{(6; -2)\} }$$

 

2. A soma dos quadrados de dois números é 25 e a sua soma é igual a 7. Quais são esses números?

Designaremos os números por xy.  Assim teremos: $$ x² + y² = 25 $$ $$ x + y = 7 $$ Exprimimos o valor de em função de x. $$ x – x + y = 7 – x $$ $$ y = 7 – x$$  Agora é hora de substituir: $$ x² + {(x – 7)²} = 25 $$ $$ x² + x² – 14x + 49 = 25 $$ $$ 2x² -14x + 49 – 25 = 25 – 25 $$ $$ 2x² – 14x + 24 = 0 $$ Vemos que os coeficientes são todos múltiplos de 2 e por isso podemos simplificar a expressão, dividindo tudo por esse número.  $$ {{2x²}+ {-14x}+ {{24}}\over 2}=0 $$  $$ x² – 7x + 12 = 0 $$ Agora temos a equação do segundo grau com os seguintes coeficientes: $$a = 1$$  $$ b =-7 $$  $$ c = 12 $$ O discriminante fica assim: $$\Delta = b² – 4ac $$  $$ \Delta = (-7)² – 4\cdot 1\cdot 12 $$  $$\Delta = 49 – 48 $$  $$\Delta = 1 $$  $$ \Delta \gt 0 $$ Então há mais de uma solução para a equação. $$ x = {{-(-7)\pm\sqrt\Delta}\over {2\cdot 1}} $$ $$ x = {{7 \pm\sqrt 1}\over 2} $$ $$ x = {{7\pm 1}\over 2} $$ As raízes são $$ x = {{(7 + 1)}\over 2} $$ $$ x = {{8}\over 2} $$ $$ x = 4 $$ $$x ={{7 – 1}\over 2}$$ $$ x= {{6}\over 2} = 3 $$ Substituindo na expressão anterior, vamos determinar os valores de y. $$ y = 7 – x $$ Se $$ x = 3 $$ $$ y = 7 – 3  = 4 $$ Se $$x = 4 $$ $$ y = 7 – 4 = 3$$ $$ V = \{(3;4), (4;3)\} $$

3. O quádruplo de um número menos o dobro de outro é igual a 22. A soma dos números é 10. Determine esses números.

Designaremos os números por x, y respectivamente e podemos escrever: $$ 4x – 2y = 22 $$ $$ x + y = 10 $$ Exprimimos o valor de x em função de y e teremos: $$ x – x + y = 10 – x $$ $$ y = 10 -x $$ Substituindo na outra equação: $$ 4x – 2(10 – x) = 22 $$ $$ 4x – 20 + 2x = 22 $$ $$ 4x + 2x – 20 + 20 = 22 + 20 $$ $$ 6x = 42 $$ $$ {{6x}\over 6} = {{42}\over 6} $$ $$ x = 7 $$ Retomando a expressão de y $$ y = 10 – x $$ $$ y = 10 – 7 $$ $$ y = 3 $$   $$ V =\{(7; 3)\} $$

4. A metade de um número, somada a um terço de outro é igual a 7. O produto desses números é 72. Determine esses números.

$${(1/2)}\cdot x +{(1/3)}\cdot y = 7 $$ $$ x\cdot y = 72 $$ Da segunda equação tiramos $$ {{xy}\over x} ={{72}\over x} $$ $$y = {{72}\over x} $$ Substituimos na outra expressão: $${(1/2)}\cdot x + {(1/3)}\cdot {{72}\over x} = 7 $$ $${{x}\over 2} + {{72}\over {3x}} = 7 $$ O mínimo múltiplo comum dos denominadores $$ mmc (2, 3x, 0) = 6x $$ Então $$ {{x\cdot 3x}\over 6x} + {{72\cdot 2}\over 6x} = {{{7}\cdot 6x }\over 6x}$$ $$ 3x² + 144 = 42x $$ $$ 3x² -42x + 144 = 0 $$ Todos os coeficientes são múltiplos de 3 e portanto podemos dividir a equação por 3, resultando: $$ {{3x²}\over 3} + {{-42x}\over 3} + {{144}\over 3} = $$ $$ x² – 14x + 48 = 0 $$ $$ a = 1 $$ $$ b = -14 $$ $$ c = 48 $$ O discriminante é: $$\Delta = b² – 4\cdot a\cdot c $$ $$ \Delta = (-14)² – 4\cdot 1\cdot 48 $$ $$ \Delta = 196 – 192 = 4 $$ $$ \Delta \gt 0$$ Assim temos uma equação com duas raízes. $$ x = {{-b \pm\sqrt\Delta}\over {2\cdot a}} $$ $$ x = {{-(-14)\pm\sqrt\Delta}\over{2\cdot 1}} $$ $$ x = {{14 \pm\sqrt 4}\over 2} $$ $$ x = {{14\pm 2}\over 2} $$ Daí temos: $$ x = {{14 + 2}\over 2} $$ $$ x = {16\over 2} = 8 $$ $$ x = {{14 – 2}\over 2} $$ $$ x = {12\over 2} = 6 $$ Substituindo na expressão que nos dá y teremos: $$ x = 6 $$ $$ y = {{72}\over x} = {{72}\over 6} = 12 $$ $$x = 8$$ $$ y = {{72}\over 8} = 9 $$ O que nos fornece os dois pares de números que satisfazem o sistema: $$V =\{(6, 12); (8, 9) \} $$

5. O triplo de um número menos o dobro de outro dá 7. Os dois números somados, resultam em 9. Quais são esses números?

Designemos os dois números por uv respectivamente. O triplo do primeiro será ${3 u}$. O dobro do outro será ${2 v}$. Assim teremos:

${3 u – 2 v = 7}$

A soma dos dois será:

${u + v = 9} $

Da segunda equação podemos exprimir o valor de u em função de v. Fica pois:

${ u + v – v = 9 – v}$

${u = 9 -v}$

Substituimos essa expressão na primeira equação, ficando:

${3\cdot{9 – v} – 2v = 7}$

${27 – 3v – 2v = 7}$

${27 -(3v + 2v) = 7}$

${27 – 5v = 7}$

${27 – 27 – 5v = 7 – 27}$

${-5v = – 20}$

${-5v}/{-5}  = {-20}/{-5} $

${ v = 4}$

Substituindo o valor de  na expressão apropriada, fica:

${ u = 9 – v}$

${ u = 9 – 4}$

${ u = 5}$

O conjunto verdade do sistema formado, solução do problema proposto é então:

${ V = \{(5, 4)\} }$

6. Um terreno mede 80 m de comprimento. Se seu perímetro é igual a 220 m e a sua área é de 2400m^2, qual é sua largura?

A geometria nos indica que a área de um retângulo é obtida pela multiplicação de sua largura pelo respectivo comprimento. Podemos usar quaisquer letras para simbolizar essas grandezas, mas habitualmente os livros usam a letra l  para largura e a letra para o comprimento. O perímetro é a soma dos quatro lados, sendo eles iguais dois a dois, ou seja dois comprimentos e duas larguras. Assim temos as equações:

$ 2l + 2c = 220$

${l}{c} = 2400$

Como o comprimento já foi fornecido, podemos calcular a largura com o uso de qualquer uma das duas equações, tornando desnecessário o uso das duas ao mesmo tempo. Mas vejamos como fica e que o resultado é exatamente o mesmo.

${l}{c} = 2400 $

$ l\cdot 80 = 2400 $

${80}{l} = 2400$

${80 l}/{80} = {2400}/{80} $

$ l = 30 $

Ou pela equação do perímetro:

$ 2l + 2c = 220$

$ 2l+ {2} {80} = 220 $

$ 2l+ 160 = 220 $

$ 2l + 160 – 160 = 220 – 160 $

$ 2l = 60 $

$ 2l/2 = 60/ 2 $

$ l = 30 $

Isso nos mostrou que tanto uma quanto a outra equação servem nesse caso. Se o comprimento não tivesse sido fornecido, apenas o perímetro, o sistema nos teria dado a solução da mesma forma, permitindo calcular tanto a largura quanto o comprimento.

 

Curitiba, 19 de maio de 2016.

Melhorado e republicado em 31 de dezembro de 2017.

 

Décio Adams

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