01.063 – Matemática, Álgebra. Inequações do 2º Grau.

Inequações do 2º Grau.

Agora complicou!

Bem, já sabemos o que é uma inequação, não é? Por que complicou?

  • É que agora as que antes eram equações, agora são inequações e o conjunto verdade é um pouco mais difícil de determinar, mesmo aplicando a $\color{Green}{ f \acute { o } rmula}$ $\color{Green}{de}$ $\color{Green}{ Bhaskara}$, pois os sinais variam dependendo das condições que a inequação apresenta.
  • A forma geral é semelhante àquela que vimos para as equações, apenas em lugar de uma igualdade, temos uma desigualdade, onde novamente iremos usar os símbolos $\color{Blue}{ \lt} $, $\color{Blue}{\gt}$, $\color{Blue}{\le}$, $\color{Blue}{\ge}$, principalmente, pelo menos no primeiro momento. Talvez você me pergunte, por que vamos estudar esse assunto? Isso é importante mesmo? Vou responder que é muito, mas muito importante mesmo. Só para adiantar alguma coisa, digo que chegará o momento de estudar as funções e estas serão representadas graficamente, num plano cartesiano, formando retas, parábolas, hipérboles, senoides, cossenoides e outras mais. Nesse momento o conhecimento do estudo dos sinais será muito importante e é o que iremos aprender aqui.

  • Vamos ao assunto? Como disse acima, a forma geral da inequação será: \[\bbox[5px, border:2px solid brown]{\color{Navy}{\mathbf{ax^2 + bx + c \lt 0}}} \] \[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{Navy}{\mathbf{ax^2 + bx + c \gt 0}}} \] \[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{Navy}{\mathbf{ax^2 + bx + c \le 0}}} \] \[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{Navy}{\mathbf{ax^2 + bx + c \ge 0}}} \]
  • Em qualquer caso, o começo da resolução será sempre pela determinação das raízes. Isto é ,consideramos como sendo uma equação e determinamos os valores que transformam a sentença em uma igualdade com relação ao $\color{Navy}{0} $. Depois faremos a análise dos sinais $\color{Navy}{+}$ e $\color{Navy}{-}$ que a expressão irá assumir nos diferentes intervalos numéricos, entre as raízes e fora dele.
  • Vejamos a inequação $\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{Blue}{\mathbf{ x^2 – 7x + 12 \le 0}}} $. Considerando como uma equação, iremos identificar os coeficientes, determinar o discriminante e obter as raízes. Na comparação entre a inequação e a forma geral veremos que: $\color{Olive}{ a = 1} $, $\color{Olive}{b = -7} $ e $\color{Olive}{c = 12}$, o que nos permite começar por calcular o discriminante:

\[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{Navy}{\mathbf{\Delta = {b^2 – 4\cdot a\cdot c} = {(-7)}^2 – 4\cdot 1\cdot {12}}}}\]

\[\Delta = {49 – 48} = 1\]

\[\Delta \gt 0\]

Sendo o discriminante positivo, teremos dois valores para $ x $, que tornam a expressão igual a $ 0 $. Vamos pois determinar esses números usando a fórmula conhecida.

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{Navy}{\mathbf{ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over{2a}}}}}\] \[ x = {{-(-7)\pm\sqrt{1}}\over {2\cdot 1}}\] \[ x = {{7\pm 1}\over 2} \] \[ x’ = {{7 + 1}\over 2} = {8\over 2} = 4 \]

\[ x” = {{7 – 1}\over 2} = {6\over 2} = 3 \]

  • Estão lembrados que podemos representar os conjuntos numéricos, associando-os a pontos de uma reta, denominada reta numérica, neste caso a Reta Real? Cada um dos infinitos pontos dessa reta está associado a um número real. Essa reta é infinita em ambos os sentidos, desde $ -\infty $ até $ +\infty $, passando por $ 0 $. O $ 0 $, podemos dizer, divide essa reta ao meio.  Isso nos permite representar as raízes da equação nesta reta e podemos visualizar mais facilmente onde a expressão terá sinal $ + $ ou $ – $. Assim ficamos com a reta abaixo.

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  • Marcamos dois pontos quaisquer sobre a reta e a eles associamos os números $\color{navy}{ 3} $ e $\color{navy}{ 4} $ na ordem crescente, da esquerda para direita.  Vamos agora escolher um número qualquer situado à esquerda de $\color{navy}{ 3} $, um situado entre $\color{navy}{ 3} $ e $\color{navy}{ 4} $, outro à direita de $\color{navy}{ 4} $. A inequação indica que o resultado deve ser $\color{navy}{ \le 0 }$, para termos uma sentença verdadeira. Escolhemos ao acaso $\color{brown}{ – 2} $; $\color{brown}{ 3.5} $ e $ \color{brown}{5} $ para os três números mencionados. Substituímos na inequação e vemos se a sentença é verdadeira ou não.

\[\color{navy}{x^2 – 7x + 12 \le 0} \]

  • Para $\color{brown}{ x = -2} $, teremos:

\[ (-2)^2 – 7\cdot (-2) + 12 \le 0 \]

\[ 4 + 14 + 12 \le 0\]

\[ 30 \le 0 \]

  • Note que $\color{navy}{ 30} $ não é menor, nem igual a $\color{navy}{ 0} $, portanto, quando substituirmos $\color{navy}{ x} $ por um número à esquerda de $\color{navy}{ 3} $, a sentença resulta falsa.
  • Para $\color{brown}{ x = 3,5} $, teremos

\[(3,5)^2 – 7\cdot (3,5) + 12 \le 0\]

\[12,25 – 24,5 + 12 \le 0 \]

\[24,25 – 24,5 \le 0 \]

\[- 0,25 \le 0\]

  • Notamos que agora a sentença é verdadeira, pois o resultado obtido é negativo, isto é, menor que zero.
  • Vamos ao terceiro número $\color{brown}{x = 5 }$

\[5^2 – 7\cdot 5 + 12 \le 0\]

\[ 25 – 35 + 12 \le \]

\[37 -35 \le 0 \]

\[2 \le 0 \]

  • Agora podemos notar que novamente o número $\color{navy}{ 2} $ que resultou da expressão, não é menor, nem igual a zero e portanto também a sentença é falsa. Como as raízes  $\color{navy}{ 3 }$ e $\color{navy}{ 4} $, também satisfazem a inequação, o conjunto verdade é formado pelos números compreendidos entre $\color{navy}{3} $ e $\color{navy}{4} $ inclusive, pois eles tornam a expressão igual a zero e os outros compreendidos no intervalo, todos irão resultar em números negativos. Assim:

\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{navy}{ V = \{ x \in R| 3 \le x \le 4 \}}}\]

Representando na reta numérica teremos:

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Dessa forma representamos graficamente o conjunto verdade da inequação dada, na Reta Real.

  • Vejamos a mesma inequação, apenas invertendo a desigualdade $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{blue}{\mathbf{ x^2 – 7x + 12 \ge 0}}} $ . Temos os mesmos coeficientes e respectivos sinais, somente que agora a expressão deve resultar em um valor positivo. Analisando os valores obtidos acima, vemos que:

Para $ x \le 3 $ a expressão $x^2 – 7x + 12 \ge 0 $ é verdadeira.

Para $ 3 \lt x \lt 4 $ a mesma expressão $ x^2 – 7x + 12 \ge 0 $ é falsa.

Para $ x \ge 4 $, a expressão $ x^2 – 7x + 12 \ge 0 $ é verdadeira.

  • O conjunto verdade da inequação é pois formado por duas partes do conjunto dos números reais. Todos os números menores ou iguais a $\color{navy}{3}$ ou maiores ou iguais a $\color{navy}{4}$ tornam a sentença verdadeira. Então, na Reta Real, o conjunto verdade fica representado por duas partes, como mostra a figura.

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A representação simbólica do conjunto verdade será feita assim:

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{ V = \{ x \in R | x \le 3 \vee x \ge 4 \}}}\]

  • Vamos analisar a mesma equação, para o caso de $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{\mathbf{ x^2 – 7x + 12 \lt 0}}} $. O sinal da desigualdade continua a ter o mesmo sentido do primeiro exemplo, porém a ausência da barrinha de “igualdade”, exclui os valores das raízes, pois a sentença não pode agora ser nula. Será somente negativa. Isso nos da o conjunto verdade, representado na Reta Real, por:

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\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | 3 \lt x \lt 4 \}}}\]

Todos os números compreendidos entre $\color{Navy}{3}$ e $\color{Navy}{4}$, excluídos estes dois números, tornam a sentença verdadeira.

  • Igualmente se tivermos $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{\mathbf{ x^2 – 7x + 12 \gt 0}}} $. Temos o mesmo caso da segunda situação, porém ficam excluídos do conjunto solução os números $\color{Olive}{3}$ e $\color{Olive}{4}$, raízes da equação equivalente do segundo grau. Na Reta Real fica:

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\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{V = \{ x \in R | x \lt 3 \vee  x \gt 4 \}}}\]

  •  Vamos dar mais um passinho? Vimos que o sentido da inequação ou desigualdade inverte, quando multiplicamos a sentença por $\color{Navy}{(-1)}$. Vamos ver o que isso significa aqui, nas inequações do segundo grau. Tomando a mesma inequação, vamos multiplicar por $\color{Navy}{(-1)}$ e ver o que acontece com a resposta, se mantivermos o sentido da desigualdade.

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{\mathbf{x^2 – 7x + 12 \le 0}\cdot {(-1)}}} \] \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Navy}{- x^2 + 7x – 12 \le 0}}\]

  • Todos os sinais dos coeficientes foram trocados. Será que isso faz as raízes mudarem de valor? Vamos testar para ver o que acontece.

Se $ x = 3 $ ==> $ -(3)^3 + 7\cdot 3 – 12 = 0 $ ==>  $ -9 + 21 – 12 = 0 $, ==> $ 0 = 0 $

Se $ x = 4 $ ==> $ -(4)^2 +7\cdot 4 – 12 = 0 $==>  $ -16 + 28 -12 = 0 $ ==> $ 0 = 0 $

  • Notamos pois que as raízes que tornam a expressão igual a zero, continuam a ser as mesmas. Porém, o conjunto verdade da inequação como fica?

Vamos repetir o cálculo feito antes, substituindo $\color{Navy}{x}$ pelos valores $\color{Navy}{-2}$; $\color{Navy}{ 3,5} $ e $\color{Navy}{ 5} $, verificando o sinal que iremos ter.

  • Se $ x = -2 $ ==> $ -(-2)^2 + 7\cdot{(-2)} – 12 \le 0 $; ==> $ – 4 – 14 – 12 \le 0 $; ==> $\color{navy}{ -30 \le 0 }$ ==> Sentença verdadeira.
  • Se $x = 3,5$==> $-(3,5)^2 + 7\cdot(3,5) – 12 \le 0$==> $- 12,25 + 24,5 – 12 \le 0$ ==>$24,5 – 24,25 \le 0$ ==> $\color{navy}{+ 0,25 \le 0} $ ==> Sentença falsa.
  • Se $x = 5$ ==>$-(5)^2 +7\cdot 5 – 12 \le 0$ ==> $-25 + 35 – 12 \le 0$ ==> $-37 + 35 \le 0$ ==> $\color{navy}{ -2 \le 0}$ ==> Sentença verdadeira.

Representando na Reta Real, teremos:

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\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Navy}{V = \{x \in R| x\le 3 \vee x \ge 4 \}}}\]

  • Nota-se que neste caso o conjunto verdade só exclui os números reais compreendidos entre $\color{navy}{3}$ e $\color{navy}{4}$, excluídos estes.
  • O objetivo deste último caso é mostrar a existência de uma relação entre o sinal do coeficiente $\color{Navy}{a}$ e os sinais os resultados para a sentença, se substituímos a variável $\color{Navy}{x}$ por valores situados na Reta Real a esquerda da raiz de menor valor, no intervalo entre as raízes e à direita da raiz de maior valor. Vamos observar as duas situações.

Para o primeiro caso $\color{Blue}{\mathbf{ x^2 – 7x + 12 \le 0}} $

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  • Aqui o sinal do coeficiente $\color{Navy}{a}$ é (+) e a sentença é positiva para os valores à esquerda da raiz $\color{Navy}{3}$ e à direita da raiz $\color{Navy}{4}$, portanto para os valores externos ao intervalo entre as raízes, a sentença é positiva. Já para valores do intervalo entre as raízes $\color{Navy}{3}$ e $\color{Navy}{4}$ a sentença é negativa, ou seja, o sinal contrário do coeficiente $\color{Navy}{a}$.

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Navy}{V = \{x \in R| 3 \le x \le 4 \}}}\]

Para o segundo caso $\color{Blue}{\mathbf{ – x^2 + 7x – 12 \le 0}} $

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  • Aqui o sinal do coeficiente $\color{Navy}{a}$ é $\color{Navy}{-} $ e a sentença é negativa para os valores compreendidos à esquerda da raiz $\color{Navy}{3} $ e à direita da raiz $\color{Navy}{4}$. Já para os valores do intervalo entre as raízes $\color{Navy}{3}$ e $\color{Navy}{4}$, o sinal da sentença é positivo, também o contrário de $\color{Navy}{a}$.

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Navy}{V = \{x \in R| x\le 3 \vee x \ge 4 \}}}\]

  • Isto nos permite concluir que o sinal da sentença que forma a inequação será igual ao do coeficiente $\color{Navy}{a}$ para valores compreendidos fora do intervalo entre as raízes e contrário de $\color{Navy}{a}$ para valores compreendidos no intervalo entre as raízes.

Curitiba, 03 de junho de 2016

Revisado e republicado em 07 de janeiro de 2018.

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