01.064 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (continuação)

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  • Ainda tem mais, bem mais. No post anterior nós vimos o caso das inequações em que existem dois valores que anulam a sentença da inequação. Mas existem aquelas em que temos duas raízes iguais, os que têm duas raízes simétricas, não têm raiz uma vez que recai num radical de índice par com radicando negativo.
  • Um passo de cada vez. Seja a inequação $\bbox[5px,border:2px solid maroon]{\mathbf{\color{Blue}{ x^2 -6x + 9 \lt 0}}} $.

Os coeficientes numéricos são $\color{Navy}{ a= 1} $; $\color{Navy}{ b = – 6} $ e $\color{Navy}{ c = 9}$. Vejamos o discriminante.

\[\bbox[5px,border:2px solid maroon]{\mathbf{\color{Navy}{\Delta = b^2 – 4ac }}}\] \[\Delta = (-6)^2 – 4\cdot 1\dot 9\] \[\Delta = 36 – 36 = 0 \]

O discriminante resultou igual a zero, o que nos apresenta o caso de duas raízes reais e iguais. Isso na prática equivale a dizer que existe apenas uma raiz. Vamos calcular esse número.

\[\bbox[5px,border:2px solid maroon]{\mathbf{\color{Blue}{x = {{-b\pm\sqrt\Delta}\over {2a}}}}}\] \[ x = {{-(-6)\pm\sqrt {0}}\over{2\cdot 1}} \] \[ x = {{6\pm 0}\over 2} \] \[ x’ = x” = {6\over 2} = 3 \]

Na Reta Real, teremos:

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  • O número que torna a sentença igual a zero $\color{Navy}{0}$, é o $\color{Navy}{3}$.
  • Escolhendo dois valores, um a esquerda e outro à direita desse número, vamos determinar o sinal da sentença e verificar se é verdadeira ou falsa.
  • Se $\color{olive}{ x = 0} $ $\rightarrow$ $ 0^2 – 6\cdot 0 + 9 \lt 0 $ $\rightarrow$  $ 0 + 0 + 9 \lt 0$ Sentença falsa.
  • Se $\color{olive}{ x = 6} $ $\rightarrow$ $ 6^6 – 6\cdot 6 + 9 \lt 0 $ $\rightarrow$  $36 – 36 + 9 \lt 0$ $\rightarrow$ $0 + 9 \lt 0$ Sentença falsa. 

Portanto, nenhum valor satisfaz a desigualdade e o seu conjunto verdade é vazio.

\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{blue}{ V = \emptyset}} \]

Vejamos a mesma sentença, apenas invertendo o sentido da desigualdade

$\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\mathbf{\color{blue}{ x^2 -6x + 9 \gt 0}}} $.

Não há necessidade de refazermos os cálculos, pois os coeficientes são os mesmos, portanto as raízes reais e iguais são as mesmas. Basta analisar o sinal.

Se

$\color{olive}{x = -1}$ $\rightarrow$ $(-1)^2 – 6\cdot (-1) + 9 \gt 0$ $\rightarrow$  $1 + 6 + 9 \gt 0$ $\rightarrow$ $16 \gt 0$ Sentença verdadeira. 

Se $\color{olive}{x = 5}$ $\rightarrow$ $5^2 – 6\cdot 5 + 9 \gt 0$ $\rightarrow$ $25 – 30 + 9 \gt 0$ $\rightarrow$  $ 4 \gt 0$ Sentença verdadeira. 

Consequentemente, o conjunto verdade é o conjunto dos números reais, excluindo o número $\color{navy}{3}$.

Na Reta Real teremos

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\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{blue}{ V = \{ x \in R | x \not= 3\}}} \]

  • Se tomarmos a mesma inequação, trocando o sinal da desigualdade para$ \le $. Teremos  $\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\mathbf{\color{Blue}{ x^2 -6x + 9 \le 0}}} $.
  • Novamente as raízes são reais e iguais a $\color{Navy}{3}$ e vejamos a questão dos sinais. Vimos no primeiro exemplo que nenhum valor torna a sentença verdadeira. O fato de termos mudado para $\color{Navy}{\le}$, torna verdadeira a sentença unicamente para o valor da raiz.
  • Na Reta Real, temos

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\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ V = \{ 3 \}}} \] conjunto unitário.

Tomando novamente a mesma desigualdade, porém  $\mathbf{ x^2 -6x + 9 \ge 0} $, trocando a desigualdade para $\ge$, teremos o conjunto verdade igual a todo conjunto dos números reais, pois tanto os valores diferentes da raiz quanto ela mesma, transformam a sentença em verdadeira.
Na reta real teremos:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:


\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
title=Reta num\'{e}rica,
axis x line=center,
axis y line=none,
xmin = -10,
xmax = +10,
ymin = -1,
ymax = 1,
height=3cm,
width=\textwidth,
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
axis line style=
]
\addplot[navy, marks only, domain=-10:10] coordinates{
(-10,0) (10,0)
};

\addplot[red,very thick, domain=-10:10] coordinates {
(-10,0) (2.8,0)
};
\addplot[red,very thick, domain=-10:10] coordinates {
(3.2,0) (10,0)
};
\fill[red] (axis cs:3,0) circle (0.15cm);
\draw[navy,thick] (axis cs:3,0) circle (0.15cm);
\end{axis}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Error: Cannot create svg file

\[\bbox[silver,5px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ V = R}} \]

Curitiba, 03 de junho de 2016

Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017

Décio Adams

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