01.065 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (Cont. II)

Mais um pouco desse assunto.

No último post analisamos as inequações que têm apenas um valor que torna nula a expressão. Creio que nem é necessário falar daquelas em que as raízes não pertencem ao conjunto dos Reais. Vamos ver como ficam as incompletas, do tipo

  • \[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ ax^2 + bx \not = 0}}\]
  • \[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ ax^2 + c \not= 0}}\]

Para começar vamos estudar a inequação

  • \[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ 2x^2 – 32 \lt 0}}\]. Não temos o termo com a variável $\color{Navy}{x}$ apresentando o expoente $\color{Navy}{1}$. Portanto podemos resolver a questão, pelo método abreviado.

\[2x^2 – 32 = 0\] \[2x^2 – 32 + 32 = 0 + 32\] \[2x^2 = 32 \]

Podemos dividir ambos os membros por $\color{Navy}{2}$, pois os números são pares.

\[\frac{2x^2}{2} = \frac{32}{2} \] \[x^2 = 16 \] \[\sqrt{x^2} = \sqrt{16} \] \[ x = \pm 4\]

Temos pois

  • \[x’ = – 4 \]
  • \[x” = + 4\]

De posse das raízes, também denominados “zeros” da inequação, vamos representar o resultado na Reta Real.

*** QuickLaTeX cannot compile formula:



\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
title=Reta num\'{e}rica,
axis x line=center,
axis y line=none,
xmin = -10,
xmax = +10,
ymin = -1,
ymax = 1,
xtick={-10,-9,...,9,10},
height=3cm,
width=\textwidth,
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
axis line style=<->
]

\fill[teal] (axis cs:-4,0) circle (0.15cm);
\fill[teal] (axis cs:4,0) circle (0.15cm);
\draw[maroon,very thick] (axis cs:-4,0) circle (0.15cm);
\draw[maroon,very thick] (axis cs:4,0) circle (0.15cm);

\end{axis}
\end{tikzpicture}



*** Error message:
Error: Cannot create svg file
  • Já sabemos que substituindo a variável $\color{Navy}{x}$ por $\color{Navy}{\pm 4}$, o resultado será zero $\color{Navy}{0}$.
  • Então vamos escolher três números situados, um à esquerda de $\color{Navy}{-4}$, um no intervalo entre $\color{Navy}{(-4,+4)}$ e o terceiro à direita de $\color{Navy}{+4}$. Podem ser $\color{Navy}{ -6} $, $\color{Navy}{ 1}$ e $\color{Navy}{7}$.
  • Agora vamos substituir esses números no lugar de $\color{Navy}{x}$ e determinar o resultado, para sabermos os sinais da expressão e portanto identificar o conjunto verdade.
  • Se $ x = – 6$, \[2x^2 – 32 \lt 0\] \[2\cdot{(-6)}^2 – 32 \lt 0\] \[ 2\cdot{(36)} – 32 \lt 0\] \[72 – 32 \lt 0\] \[40 \lt  0\] Esta sentença é falsa. 
  • Se $x =  1$, \[2\cdot{(1)}^2 – 32 \lt 0\] \[2\cdot 1 – 32 \lt 0\] \[ 2 – 32 \lt 0\] \[ -32 \lt 0\] Esta sentença é verdadeira.
  • Se $x = 7 $, \[2\cdot{7}^2 – 32 \lt 0 \] \[2\cdot {49} – 32 \lt 0\] \[98 – 32 \lt 0\] \[66 \lt 0\] Esta sentença é também falsa.

Os valores que irão formar o conjunto verdade, são compreendidos entre $\color{Navy}{ -4} $ e $\color{Navy}{ +4} $, excluídos estes, por causa da desigualdade $\color{Navy}{\lt 0}$.

Representando na Reta Real,  temos:

Rendered by QuickLaTeX.com

  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{V= \{ x \in R | – 4 \lt x \lt + 4\}}}\]
  • Se a inequação fosse $\color{Navy}{ 2x^2 – 32 \le 0 }$, os números $\color{Brown}{\pm 4}$ estariam incluídos no conjunto verdade e a representação ficaria assim.
*** QuickLaTeX cannot compile formula:


\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
title=Reta num\'{e}rica,
axis x line=center,
axis y line=none,
xmin = -10,
xmax = +10,
ymin = -1,
ymax = 1,
xtick={-10,-8,...,8,10},
height=3cm,
width=\textwidth,
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
axis line style=<->;
]
\addplot[brown!70,very thick, domain=-10:+10] coordinates{
(-4,0) (4,0)
};

\fill[brown]  (axis cs:-4,0) circle (0.08cm);

\fill[brown]  (axis cs:4,0) circle (0.08cm);
\draw[brown,very thick] (axis cs:-4,0) circle (0.08cm);
\draw[brown,very thick] (axis cs:4,0) circle (0.08cm);

\end{axis}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Error: Cannot create svg file
  • \[\bbox[4px, border: 2px solid olive]{\color{Blue}{V = \{ x \in R | -4 \le x \le +4 \}}}\]
  • Consequentemente $2x^2 – 32 \gt 0$, terá por conjunto verdade todos os números reais menores que $-4$ ou maiores que $+ 4$.
  • Representando na Reta Real
*** QuickLaTeX cannot compile formula:


\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
title=Reta num\'{e}rica,
axis x line=center,
axis y line=none,
xmin = -10,
xmax = +10,
ymin = -1,
ymax = 1,
xtick={-10,-8,...,8,10},
height=3cm,
width=\textwidth,
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
axis line style=<->;
]
\addplot[brown!70,very thick, domain=-10:+10] coordinates{
(-10,0) (-4.15,0)
};
\addplot[brown!70,very thick, domain=-10:+10] coordinates{
(4.15,0) (10,0)
};

\draw[maroon, very thick] (axis cs:-4,0) circle (0.08cm);
\draw[maroon, very thick] (axis cs:4,0) circle (0.08cm);

\end{axis}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Error: Cannot create svg file
  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{ V = \{ x \in R | -4 \gt x \vee x \gt +4 \}}}\]
  • E se $2x^2 – 32 \ge 0$, teremos os números $\pm 4$, incluídos no conjunto verdade, ficando excluídos apenas os do intervalo entre esses números.

Rendered by QuickLaTeX.com

  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{ V = \{ x \in  R | – 4 \ge x \vee x \ge +4 \}}} \]
  • É possível notar que aqui também vale a regra dos sinais que vimos para as inequações com duas raízes. O sinal é contrário do coeficiente $\color{Navy}{a}$, para os números compreendidos entre essas raízes e é igual para os números externos do intervalo entre as raízes.
  • Vejamos o caso $ -2x^2 + 32 \lt 0 $. Trocamos os sinais dos coeficientes e mantivemos o sentido da desigualdade. Vamos substituir $\color{Navy}{x}$ pelos mesmos números de antes e ver o que acontece.
  • Se $ x = -6 $, \[-2\cdot {(-6)}^2 + 32 \lt 0\] \[ -2\cdot {36} + 32 \lt 0 \] \[ -72 + 32 \lt 0\] \[ – 40 \lt 0\] Vemos que o sinal é $-$, e portanto igual ao do coeficiente $a$. A sentença é verdadeira.
  • Se $ x = 1 $, \[ -2\cdot{1}^2 +32 \lt 0\] \[ – 2\cdot 1 + 32 \lt 0\] \[ -2 + 32 \lt 0\] \[30 \lt 0\] O sinal é $+$ e a sentença é falsa. Sinal contrário de $a$.
  • Se $ x= 7 $, \[-2\cdot {7}^2 + 32 \lt 0 \] \[-2\cdot 49 + 32 \lt 0\] \[ -98 + 32 \lt 0\] \[ -66 \lt 0\] Novamente o sinal é $-$ que é o mesmo de $a$, a sentença é verdadeira. 

Isso demonstra o acerto do que afirmamos acima.

  • Seja a inequação $ 3x^2 + 12x \gt 0$. Trata-se de um caso em que falta o termo independente da variável $\color{Navy}{x}$. Podemos usar a fórmula ou recorrer à fatoração, abreviando o processo. Vamos pelo mais rápido.
  • Ambos os termos do primeiro membro são divisíveis por $\color{Navy}{3x}$. Colocando multiplicando e dividindo por esse fator, fica:
  • \[{3x}\cdot \left(\frac{3x^2 + 12x}{3x}\right) \gt 0\] \[3x\cdot(x + 4) \gt 0 \]
  • O produto só é nulo se um dos fatores for nulo.

Então $ 3x = 0 $ $\Rightarrow$  $ x = 0$

Ou $ x + 4 = 0 $ $\Rightarrow$ $ x + 4 – 4 = 0 – 4 $ $\Rightarrow$ $ x = -4 $.

Na Reta Real,  ficamos assim:

Rendered by QuickLaTeX.com

Vamos determinar os sinais da inequação. Escolhendo números externos e internos ao intervalo entre as raízes $\color{Navy}{( -4; 0)}$, podemos usar $\color{Navy}{-8; -2; 3}$. Substituindo na inequação.

  • Se $x = -8 $, \[3x^2 + 12x \gt 0 \] \[3\cdot{(-8)}^2 + 12\cdot{(-8)} \gt o\] \[ 3\cdot 64 – 96 \gt o\] \[ 192 – 96 \gt 0\] \[ 96 \gt 0\] A sentença é verdadeira e o sinal é $\color{Navy}{+}$, o mesmo do coeficiente $\color{Navy}{a}$.
  • Se $x = -2 $, \[3\cdot {(-2)}^2 + 12\cdot {(-2)} \gt o \] \[3\cdot 4 – 24 \gt 0\] \[14 – 24 \gt 0\] \[ -10 \gt 0\] A sentença é falsa e o sinal é contrário do coeficiente $\color{Navy}{a}$.
  • Se $x = 3$, \[3\cdot{3}^2 + 12\cdot {3} \gt 0 \] \[3\cdot 9 + 36 \gt 0\] \[27 + 36 \gt 0\] \[63 \gt 0\] A sentença é verdadeira e o sinal é o mesmo do coeficiente $\color{Navy}{a}$.

Também aqui verifica-se a validade da mesma conclusão anterior. Para números $\color{Olive}{ n \in R}$ situados fora do intervalo entre as duas raízes, o sinal é igual ao do coeficiente $\color{Navy}{a}$ e para os situados dentro do intervalo o sinal é o contrário do coeficiente $\color{Navy}{a}$. Isso nos permite determinar o conjunto verdade de uma inequação, apenas com a identificação das raízes e o sinal do coeficiente do termo em $\color{Navy}{x^2}$.

No próximo post, vamos exercitar bastante esse assunto todo.

Curitiba, 04 de junho de 2016

Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017.

Décio Adams

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