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30 de junho de 20181 de julho de 2018

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067.2 – Matemática, logaritmos. Operações com logarítmos

Operações com logaritmos

Multiplicação

Logaritmos de mesma base

Vejamos a expressão: ${log_a{b} = x}$

a => base

b => logaritmando

x => logaritmo

${ a > 0} $, $ {a ≠ 1} $ e $ {b > 0}$.

Como vimos no post anterior, isso nos permite escrever que:

${log_a{b} = x} <=> {a^x = b}$

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28 de junho de 201819 de outubro de 2018

067.1 – logaritmos decimais ou comuns

Logaritmos decimais ou comuns

No estudo das operações com potências, vemos que o produto de potências com mesma base, é resolvido pela adição dos seus expoentes, conservando-se a base. Assim:

${{(3^2)\cdot(3^5)} = {3^{2 + 5}} = 3^7}$

${{(x^3)\cdot(x^2)\cdot(x^1)} = {x^{3 + 2 + 1}} = x^6}$

Os logarítmos são um assunto ligado à potenciação e surgiram no início do século XVII, com os estudos de John Neper e a ajuda de Henry Briggs, depois da publicação do trabalho elaborado por Neper.

Vejamos: ${{a^x = b} <=> log_a{b} = x}$

Na primeira expressão, $a$ é a base, $x$ é o expoente e $b$ é a potência. Na forma logarítmica $a$ também é a base, $b$ é o logaritmando e $x$ é o logaritmo. Assim podemos definir:

“O logaritmo de um número b(logaritmando) em uma base a é o expoente (x) ao qual devemos elevar a base para obter o número.”

É condição essencial que: $a > 0$, $a ≠ 1 $ e $ b > 0 $

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28 de junho de 201815 de setembro de 2018

067 – Um pouco da história dos logaritmos

Logaritmos

Comecemos pela etimologia da palavra. Tal como uma grande quantidade de termos hoje empregados, também esse tem sua origem na língua grega.

“Logos” ⇒ razão

“Arithmos” ⇒ número

Juntando as duas partes, formamos facilmente a palavra “logaritmo”, significando “número de razão”.

Primeiros indícios

Existem vestígios em escritos da era babilônica, permitindo identificar sinais da utilização de tabelas logarítmicas entre eles. Mais tarde Arquimedes, ao se deparar com números muito grandes, também faz tentativas de estabelecer alguma coisa nesse sentido. Nos séculos XV, XVI e XVII, ocorreu uma intensificação das navegações marítimas; comércio entre pontos distantes do planeta cresceu muito. Como consequência surgiu a necessidade de executar cálculos cada vez mais complexos e por vezes tediosos. Isso foi devido a necessidade de traçar rotas, desenhar mapas, assim como computar os lucros e as despesas das operações comerciais. As operações de multiplicação e divisão, com números cada vez maiores, sem auxílio de recursos mecânicos, muito menos eletrônicos, tornava a tarefa hercúlea.

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26 de junho de 201826 de junho de 2018

046.7 – Matemática, álgebra. Produtos notáveis. Exercícios quadrado da diferença vezes a soma

Quadrado da diferença multiplicado pela soma de dois números

Agora vamos multiplicar o quadrado das diferenças, pelas somas dos dois números, conforme a regra vista.

a)$\underbrace{(3x – 2y)^2}\cdot{\overbrace{(3x + 2y)}} $

b)$\underbrace{(5a – bx)^2}\cdot{\overbrace{(5a + bx)}}$

c)$\underbrace{(1 – 5x)^2}\cdot{\overbrace{(1 + 5x)}}$

d)$\underbrace {(6t – 4s)^2}\cdot{\overbrace{(6t+ 4s)}}$

e)$\underbrace{(8i – z)^2}\cdot{\overbrace{(8i +z)}}$

f)$\underbrace{(4n – 5m)^2}\cdot{\overbrace{(4n +5m)}}$

g)$\underbrace{(r – pq)^2}\cdot{\overbrace{(r + pq)}} $

Vamos resolver aplicando a regra.

a)$\underbrace{(3x – 2y)^2}\cdot{\overbrace{(3x + 2y)}} $

$\underbrace{{(3x)}^3} -\overbrace {{(3x)}^2\cdot{(2y)}} – \underbrace{3x\cdot {(2y)^2}} + \overbrace{{(2y)}^3}$

$ 27x^3 – 18x^2y – 12xy^2 + 8y^3 $

b)$\underbrace{(5a – bx)^2}\cdot{\overbrace{(5a + bx)}}$

$\underbrace{{(5a)}^3} -\overbrace{{(5a)^2}\cdot{(bx)}} – \underbrace{5a\cdot{(bx)}^2} +\overbrace{{(bx)}^3}$

$ 125 a^3 – 25abx – 5ab^2x^2 + b^3x^3 $

c)$\underbrace{(1 – 5x)^2}\cdot{\overbrace{(1 + 5x)}}$

$\underbrace{1^3} -\overbrace{ 1^2\cdot 5x} -\underbrace{1\cdot {(5x)^2}} +{{(5x)}^3}$

$ 1 – 5x – 25x^2 + 125x^3 $

d)$\underbrace {(6t – 4s)^2}\cdot{\overbrace{(6t+ 4s)}}$

$\underbrace{{(6t)}^3} -\overbrace {{(6t)}^2\cdot {(4s)}} – \underbrace{6t\cdot {(4s)}^2} +\overbrace {{(4s)}^3}$

$ 216t^3 – 144t^2s – 96ts^2 + 64s^3 $

e)$\underbrace{(8i – z)^2}\cdot{\overbrace{(8i +z)}}$

$\underbrace{{(8i)}^3} -\overbrace {{(8i)^2}\cdot {(z)}} – \underbrace{8i\cdot z^2} +\overbrace{ z^3}$

$ 512i^3 – 64i^2z – 8iz^2 + z^3$

f)$\underbrace{(4n – 5m)^2}\cdot{\overbrace{(4n +5m)}}$ $\underbrace{{(4n)}^3} -\overbrace {{(4n)^2}\cdot{(5m}} -\underbrace{4n\cdot {((5m)}^2} +\overbrace {{(5m)}^3}$

$ 64n^3 – 80mn^2 – 100m^2n + 125m^3 $

g)$\underbrace{(r – pq)^2}\cdot{\overbrace{(r + pq)}}$

$\underbrace{ r^3} -\overbrace{ r^2\cdot {(pq)}} -\underbrace{r\cdot {(pq)}^2} +\overbrace{ {(pq)}^3}$

$ r^3 – pqr^2 – p^2q^2r + p^3q^3 $

Vamos deixar uns exemplos para seu treinamento. Não esqueça que em caso de dúvidas pode fazer contato e pedir esclarecimento.

h)$\underbrace{(9 – 3x)^2}\cdot{\overbrace{(9 + 3x)}}$

i) $\underbrace{(4m -n)^2}\cdot{\underbrace{(4m + n)}}$

j)$\underbrace{(5a – 2b)^2}\cdot{\overbrace{(5a – 2b)}}$

l)$\underbrace{(7u – 3v)^2}\cdot{\overbrace{(7u + 3v)}}$

m)$\underbrace{(2mn – 7)^2}\cdot{\overbrace{(2mn + 7)}}$

n)$\underbrace{(5pr – 4tu)^2}\cdot{\overbrace{(5pr + 4tu)}}$

o)$\underbrace{(7f – 3g)^2}\cdot{\overbrace{(7f + 3g)}}$

p)$\underbrace{(9 – 6n)^2}\cdot{\overbrace{(9 + 6n)}}$

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Décio Adams

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046.6 – Matemática, álgebra. Produtos notáveis. Exercícios quadrado da soma pela diferença.

Quadrado da soma multiplicado pela diferença de dois números

Chegou o momento de usar as regras mais avançadas. Multiplique os quadrados das somas pelas diferenças dos mesmos números, usando a regra vista no post anterior.

a)$\underbrace{(ax + by)^{2}}\cdot{\overbrace {(ax – by)}} $

b)$\underbrace {(5 + 3x)^{2}}\cdot{\overbrace{(5 – 3x)}} $

c)$\underbrace {(4n + m^{2})^{2}}\cdot{\overbrace{(4n – m)}} $

d)$\underbrace{(5a + 3b)^{2}}\cdot{\overbrace{(5a – 3b)}}$

e)$\underbrace{(7x + 2y)^{2}}\cdot{\overbrace{(7x -2y)}} $

f)$\underbrace{(10 + 3v)^{2}}\cdot{\overbrace{(10 – 3v)}}$

g)$\underbrace{(px + qy)^{2}}\cdot{\overbrace{(px – qy)}}$

a)$\underbrace{(ax + by)^{2}}\cdot{\overbrace{(ax – by)}}$ $\underbrace{(ax)^3} +\overbrace {(ax)^{2}\cdot(by)} – \underbrace{(ax)\cdot {(by)}^2} -\overbrace {(by)^3}$

$\underbrace{ a^{3}x^{3} }+\overbrace{ a^{2}bx^{2}y} – \underbrace{ab^{2}xy^{2}} -\overbrace {(by)^3}$

$ a^{3}x^{3} + a^2bx^2y – ab^2xy^2 – b^3y^3 $

b)$\underbrace{(5 + 3x)^2}\cdot{\overbrace{(5 – 3x)}}$

$\underbrace{ 5^3} +\overbrace {5^2\cdot{3x}} – \underbrace{5\cdot {(3x)}^2} – \overbrace{(3x)^3}$

$ 125 + 75x – 45x^2 – 27x^3 $

c)$\underbrace{(4n + m^2)^2}\cdot{\overbrace{(4n – m^2)}}$

$\underbrace{(4n)^3} +\overbrace {(4n)^2\cdot(m^2)} -\underbrace{4n\cdot{(m^2)}^2} – \overbrace{(m^2)^3}$

$ 64n^3 + 16n^2m^2 – 4nm^4 – m^6 $

d)$\underbrace{(5a + 3b)^2}\cdot{\overbrace{(5a – 3b)}}$

$\underbrace{(5a)^{3}} +\overbrace{(5a)^{2}\cdot {(3b)}} -\underbrace{ 5a\cdot{(3b)^2}} – \overbrace{(3b)^3}$

$ 125a^3 + 75a^2b – 45ab^2 – 27b^3 $

e)$\underbrace{(7x + 2y)^2}\cdot{\overbrace{(7x -2y)}}$

$\underbrace{(7x)^3} +\overbrace {(7x)^{2}\cdot {(2y)}} -\underbrace{7x\cdot{(2y)^2}} -\overbrace {(2y)^3}$

$ 343x^3 + 98x^2y – 28xy^2 – 8y^3 $

f)$\underbrace{(10 + 3v)^2}\cdot{\overbrace{(10 – 3v)}}$

$\underbrace{(10)^3} +\overbrace{(10)^2\cdot {(3v)}} -\underbrace{10\cdot{(3v)}^2} – \overbrace {(3v)^3}$

$ 1000 + 300v – 90v^2 – 27v^3 $

g)$\underbrace{(px + qy)^2}\cdot{\overbrace{(px – qy)}}$

$\underbrace{(px)^3} +\overbrace {{(px)}^2\cdot {(qy)}} -\underbrace{ px\cdot{(qy)}^2} -\overbrace {(qy)^3}$

$ p^3x^3 + p^2qx^2y – pq^2xy^2 – q^3y^3 $

Uma coleção de exercícios para a prática do conteúdo, pelos leitores/estudantes. Na dúvida, consulte e exponha sua dificuldade para que eu possa ajudá-lo.

h)$\underbrace{(2u + 3v)^2}{\cdot{\overbrace{(2u – 3v)}}}$

i)$\underbrace{(5x + 4y)^2}{\cdot{\overbrace{5x – 4y)}}}$

j)$\underbrace{(3a + 7bc)^2}{\cdot{\overbrace{(3a – 7bc)}}}$

l)$\underbrace{(1 + 9m)^2}{\cdot{\overbrace{(1 – 9m)}}}$

m)$\underbrace{(4p + 6q)^2}{\cdot{\overbrace{(4p – 6q)}}}$

n)$\underbrace{(7x + 3y)^2}{\cdot{\overbrace{7x – 3y)}}}$

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Décio Adams

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046.5 – Matemática, álgebra. Produtos notáveis. Exercícios sobre cubo da diferença de dois números.

Cubo da diferença

Vamos fazer o mesmo com a regra do cubo da diferença. a)$\underbrace{{(4m – 2)}^3}$

b)$\underbrace{{(3x – 5y)}^3}$

c)$\underbrace{{(9 – 5a)}^3}$

d)$\underbrace{{(5 – 4x)}^3}$

e)$\underbrace{{(10 – 5c)}^3}$

f)$\underbrace{{(3ab – x)}^3}$

g)$\underbrace{(pq^{2} – rq)^3}$

a)$\underbrace{{(4m – 2)}^3}$

$\underbrace { {(4m)}^{3}} -\overbrace{ 3\cdot {(4m)^{2}}\cdot 2} +\underbrace{ 3\cdot{(4m)}\cdot 2^{2}} -\overbrace{ 2^{3}}$

$ 64m^{3} – 96m^{2} + 48m – 8 $

b)$\underbrace{{(3x – 5y)}^3}$

$\underbrace{ (3x)^{3}} -\overbrace{ 3\cdot (3x)^{2}\cdot {(5y)}} +\underbrace{ 3\cdot{(3x)}\cdot (5y)^{2}} -\overbrace{{(5y)}^{3}}$

$ 27x^3 – 135x^{2}y + 225xy^{2} – 125y^{3} $

c)$\underbrace{{(9 – 5a)}^3}$

$\underbrace{(9)^{3}} -\overbrace{ 3\cdot (9)^2\cdot (5a)} +\underbrace{ 3\cdot 9 \cdot(5a)^{2}} -\overbrace{(5a)^{3}}$

$ 729 – 1215 a + 675 a^2 – 125 a^3 $

d)$\underbrace{{(5 – 4x)}^3}$

$\underbrace{ 5^{3}} -\overbrace{ 3\cdot 5^{2}\cdot (4x)} +\underbrace{ 3\cdot 5\cdot (4x)^{2}} – \overbrace{{(4x)}^{3}}$

$ 125 – 300x + 120 x^{2} – 64x^{3} $

e)$\underbrace{{(10 – 5c)}^3}$

$\underbrace{ 10^{3}} -\overbrace{ 3\cdot(5)^{2}\cdot (5c)} +\underbrace{ 3\cdot{10}\cdot {(5c)}^{2}} -\overbrace{ {(5c)}^{3}}$

$ 1000 – 375 c + 750 c^{2} – 125c^{3} $

f)$\underbrace{{(3ab – x)}^3}$

$\underbrace{{(3ab)}^{3}} -\overbrace{ 3\cdot {(3ab)}^{2}\cdot x} +\underbrace{ 3\cdot{(3ab)}\cdot x^{2}} -\overbrace{ x^{3}}$

$ 27a^{3}b^{3} – 27a^{2}b^{2}x + 9 abx^{2} – x^{3} $

g)$\underbrace{{(pq^{2} – rq)}^3}$

$\underbrace{ {(pq^{2})}^{3}} -\overbrace{ 3\cdot {(pq^{2})}^{2}\cdot rq} +\underbrace{ 3\cdot {(pq^{2})}\cdot {(rq)}^{2}} -\overbrace{ {(rq)}^{3}}$

$ p^{3}q^{6} – 3p^{2}q^{5}r + 3pq^{4}r^{2} – q^{3}r^{3} $

Exercícios para você leitor treinar sua habilidade. Em caso de dúvida, não perca tempo. Faça contato e exponha sua dificuldade. Estou à disposição para ajudar.

h)$\underbrace{(7x – 5yz)^3}=?$

i)$\underbrace{(mn – r)^3}=?$

j)$\underbrace{(3a – 2bc)^4}=?$

l)$\underbrace{(u – vx)^3}=?$

m)$\underbrace{(6f – 2h)^3}=?$

n)$\underbrace{(5z – 3y)^3}=?$

o)$\underbrace{(4x – 7y)^3}=?$

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046.4 – Matemática, álgebra. Produtos notáveis. Exercícios cubo da soma.

Cubo da soma de dois números

Use agora a regra do cubo da soma de dois números para obter os polinômios de quatro termos resultantes das expressões abaixo.

a)$\underbrace{{(7 +2j)}^3}$

b)$ \underbrace{{(x + 3yz)}^3}$

c)$ \underbrace{{(4f + 5m)}^3}$

d)$\underbrace{{(ma + nb)}^3} $

e)$\underbrace{{(11 + 4r)}^3} $

a)$\underbrace{{(7 +2j)}^3}$

$\underbrace{ 7^3 }+\overbrace{ 3\cdot {7^2}\cdot{2j}} +\underbrace{ 3\cdot {7}\cdot {(2j)}^2} + \overbrace{(2j)^3}$

$ 343 + 294j + 84j^2 + 8j^3 $

b)$\underbrace{ {(x + 3yz)}^3}$

$\underbrace{ x^3} +\overbrace{ 3\cdot x^{2}\cdot {(3yz)}} +\underbrace{ 3\cdot x\cdot {(3yz)}^2} +\overbrace{ {(3yz)}^3 }$

$ x^3 + 9x^{2}yz + 27xy^{2}z^{2} + 27y^{3}z^{3} $

c)$\underbrace{ {(4f + 5m)}^3}$

$\underbrace{ {(4f)}^3} +\overbrace{3\cdot{4f}^{2}\cdot{(5m)} } +\underbrace{3\cdot{(4f)}\cdot{(5m)}^2} +\overbrace{ {(5m)}^3}$

$ 64f^3 + 240f^{2}m + 125m^{3} $

d)$\underbrace{{(ma + nb)}^3}$

$\underbrace{ {(ma)^3}} +\overbrace{ 3\cdot {(ma)}^{2}\cdot {(nb)}} +\underbrace{3\cdot {(ma)}\cdot {(nb)}^{2}} +\overbrace{ {(nb)}^{3} }$

$m^{3}a^{3} + 3m^{2}na^{2}b + 3mn^{2}ab^{2} + n^{3}b^{3} $

e)$\underbrace{{(11 + 4r)}^3}$

$\underbrace{ 11^3} +\overbrace{ 3\cdot 11^{2}\cdot{(4r)}} +\underbrace{ 3\cdot 11\cdot{(4r)}^{2}} +\overbrace{ {(4r)}^{3}}$

$ 1331 + 1452 r + 528 r^2 + 64 r^3 $

Exercícios para você treinar. Não perca tempo. Dúvidas, entre em contato e peça esclarecimentos.

f)$\underbrace{(3a + 2b)^3}=?$

g)$\underbrace{(5 + xy)^3}=?$

h)$\underbrace{(10m + 7n)^3}=?$

i)$\underbrace{(1 + 3n^2)^3}=?$

j)$\underbrace{6v + 2z)^3}= ?$

l)$\underbrace{8r + 4q)^3}=?$

m)$\underbrace{7i + 3j)^3}=?$

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046.3 – Matemática, álgebra. Produtos Notáveis. Exercícios

Produto da soma de dois números, pela sua diferença.

Usando a regra do produto da soma de dois números pela sua diferença, obtenha os binômios resultantes das multiplicações abaixo.

a)$\underbrace{{(7 + 2x)}{(7 – 2x)}}$

b)$\underbrace{{(5 – 3y)}{(5 + 3y)}}$

c)$\underbrace{{(ab^{2} + b)}{(ab^{2} – b)}}$

d)$\underbrace{{(xy + xz)}{(xy – xz)}}$

e)$ \underbrace{{(4m – 3n)}{(4m + 3n)}}$

f)$ \underbrace{{(7x^{3} + 2y^{2})}{(7x^{3} – 2y^{2})}}$

a)$\underbrace{(7 + 2x)}\overbrace{(7 – 2x)}$

$\underbrace {7^2 – {(2x)}^2}$

$ 49 – 4x^2 $

b)$\underbrace{(5 – 3y)}\overbrace{(5 + 3y)} $

$\underbrace{5^2 – {(3y)}^2 }$

$ 25 – 9y^2 $

c)$\underbrace {(ab^{2} + b)}\overbrace{(ab^{2} – b)} $

$\underbrace {{(ab^{2}}^{2} – b^2}$

$ a^{2}b^{4} – b{2} $

d)$\underbrace{(xy + xz)}\overbrace{(xy – xz)}$

$ \underbrace{{(xy)}^{2} – {(xz)}^{2}}$

${x^{2}y^{2} – x^{2}z^{2}}$

e)$\underbrace {(4m – 3n)}\overbrace{(4m + 3n)}$

$\underbrace {{(4m)}^{2} – {(3n)}^{2}}$

$ 16m^2 – 9n^2 $

f)$\underbrace {(7x^{3} + 2y^{2})}\overbrace{(7x^{3} – 2y^{2})}$

$\underbrace{(7x^{3})^{2} – (2y^{2})^2}$

$ 49x^{6} – 4y^{4} $

Agora é a vez do leitor/estudante. Pratique na resolução dos produtos seguintes.

g)$\underbrace{{(6 + 2xy)}{(6 – 2xy)}}=?$

h) $\underbrace{{(4x – 3y)}{94x + 3y)}}=?$

i) $\underbrace{{(a -bc)}{(a + bc)}}=? $

j) $\underbrace{{(m^2 + 3n)}{(m^2 – 3n)}}=?$

l) $\underbrace{{(uv – 5z)}{(uv + 5z)}}=? $

m) $\underbrace{{(2p – 5q)}{(2p + 5q)}}=?$

Em caso de dúvida, entre em contato para esclarecer.

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23 de junho de 201827 de maio de 2020

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046.2 – Matemática, álgebra. Exercícios de produtos notáveis. Quadrado da diferença de dois números.

Quadrado da diferença entre dois números.

Usando a regra do quadrado da diferença entre dois números, resolva as expressões abaixo.

a)${(5a – 2b)}^2$

b)$ {(a^{2}i – b^{3}j)}^2$

c)$ {(2vx – 3uy)}^2$

d)$ {(4 q^{3} – 6p^{2})}^{2}$

e)${(12 – 3 a^{3})}^2$

f)$ {(15 – 3x)}^2$

g)$ {(7x – 8y)}^2 $

Vamos à resolução.

a)$\underbrace{(5a – 2b)^2}$

$\underbrace {(5a)^2} +\overbrace{- 2\cdot {5a}\cdot{2b}} +\underbrace{(ab)^2 }$

$ 25a^2 – 20ab + 4b^2 $

b)$\underbrace {(a^{2}i – b^{3}j)^2}$

$ \underbrace{ [(a^2)i]^2} -\overbrace{ 2\cdot{a^2}i\cdot{b^3}} + {(b^3)}^2$

$ a^{4}i^{2} – 2a^{2}b^{3}i + b^6 $

c)$\underbrace {(2vx – 3uy)^2}$

$ {(2vx)^2 – 2\cdot {(2vx)}\cdot{(3uy)} + {(3uy)}^2}$

$ 4v^{2}x^{2} – 12uvxy + 9u^{2}y^{2} $

d)$\underbrace {(4 q^{3} – 6p^{2})^2}$

$\underbrace{(4q^{3})^2} -\overbrace{ 2\cdot (4q^{3})\cdot(6p^{2})} +\underbrace{(6p^{2})^2}$

$ 16q^6 – 48q^{3}p^{2} + 36p^{4} $

e)$\underbrace{(12 – 3 a^{3})^2}$

$ \underbrace{(12)^2} -\overbrace{ 2\cdot{12}\cdot{3a^3}} +\underbrace {(3a^{3})^2}$

$ 144 – 72a^{3} + 9a^6 $

f)$\underbrace {(15 – 3x)^2}$

$ \underbrace {(15)^2} -\overbrace{ 2\cdot {15}\cdot{(3x)}} +\underbrace {(3x)^2}$

$ 225 – 90x + 9x^2 $

g)$\underbrace {(7x – 8y)^2}$

$\underbrace {(7x)^2} -\overbrace{ 2\cdot{7x}\cdot {8y}}+ \underbrace{(8y)^2}$

$ 49x^2 – 112xy + 64y^2$

Resolva você estes que vem a seguir.

h)${(3x – 5y)^2}$

i)${(5 – 8xy)^2}$

j)${(mn – 5n)^2}$

l)${(4j – 6n)^2}$

m)${(fg – 5h)^2}$

n) ${(10 – 7p)^2$

o) ${(12 – 9r)^2}$

Curitiba, 23 de junho de 2018

Décio Adams

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