Mês: janeiro 2020

Exercícios propostos para treino no post anterior

01. Se um triângulo isósceles tem o ângulo oposto à base, medindo $\alpha ={60}^0$, determine o seno e o cosseno do ângulo resultante da justaposição de dois desses triângulos, como mostra a figura.

Sendo um triângulo isósceles e um de seus ângulos mede $\alpha ={60}^0$, é fácil deduzir que se trata de um triângulo equilátero e os outros dois ângulos têm a mesma medida. Assim, na justaposição como mostra a figura, o que está sendo pedido é $sen(\alpha +\alpha )$ e $cos(\alpha +\alpha )$. Em outras palavras temos um ângulo duplo.

Indo até a tabela das igualdades ou relações trigonométricas, encontraremos:

$sen(2\alpha )=2sen\alpha \cdot cos\alpha$

$cos(2\alpha )=co{s}^2\alpha –se{n}^2\alpha$

Sabemos que $sen{60}^0=\frac{\sqrt{3}}{2}$ e que $cos60=\frac{1}{2}$, podemos substituir e obter o resultado.

$sen(2\cdot {60}^0)=2\cdot sen{60}^0\cdot cos{60}^0$

$sen(1200)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}$

$sen(1200)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$sen({120}^0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(2\cdot 60º)=co{s}^2{60}^0–se{n}^2{60}^0$=${\left(\frac{1}{2}\right)}^2–{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$cos({120}^0)=\frac{1}{4}–\frac{3}{4}=-\frac{\text{⧸}2}{\text{⧸}4}$

$cos({120}^0)=-\frac{1}{2}$

02. Sabendo que um ângulo $\beta$ mede mede ${30}^0$ e o outro $\alpha$ mede ${45}^0$. Determine a tangente e cotangente da soma desses dois ângulos.

Consultando a tabela das igualdades, encontraremos que:

$tg(\alpha \pm \beta )=\frac{1+tg\beta \cdot ctg\alpha }{ctg\alpha \mp tg\beta }$

$ctg(\alpha \pm \beta )=\frac{ctg\alpha \mp tg\beta }{1\pm tg\beta \cdot ctg\alpha }$

Precisamos então saber os valores da tangente e cotangente dos dois ângulos. Podemos ver na tabela, vista anteriormente e encontraremos:

$tg\alpha =1$; $ctg\alpha =1$

$tg\beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$; $ctg\beta =\sqrt{3}$

Então:

$tg({30}^0+{45}^0)=\frac{1+1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}–1}$

$tg({75}^0)=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{(1+\sqrt{3})\cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)\cdot \sqrt{3}+1}$

$tg({75}^0)=\frac{1+2\sqrt{3}+{\sqrt{3}}^2}{{\sqrt{3}}^2–1^2}$=$\frac{\text{⧸}4+\text{⧸}2\sqrt{3}}{\text{⧸}4}$

$tg(750)=2+\sqrt{3}$

Agora a cotangente

$ctg(45º+30º)=\frac{ctg(30º)–tg(45º)}{1+tg(45º)\cdot ctg(30º)}$=$\frac{\sqrt{3}–1}{1+1\cdot \sqrt{3}}$

$ctg({75}^0)=\frac{(\sqrt{3}-1)\cdot (1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})\cdot (1-\sqrt{3})}$=$\frac{2\sqrt{3}-3-1}{1–3}$ = $\frac{\text{⧸}2\sqrt{3}-\text{⧸}4}{-2}$

$ctg({75}^0)=2-\sqrt{3}$

03. Se a secante de um ângulo é $sec\alpha =3$, determine: a) $cos\alpha$; b) $sen\alpha$; c)$cos2\alpha$; d)$sen2\alpha$.

É fornecido que $sec\alpha =3$ e pede-se:

a)$cos\alpha$

Por definição $sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }$

Daí tiramos que: $cos\alpha =\frac{1}{sec\alpha }$

Substituímos: $cos\alpha =\frac{1}{3}$

$cos\alpha =\frac{1}{3}$

b) $sen\alpha$ ?

A relação fundamental da trigonometria nos diz que:

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$se{n}^2\alpha +{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1$=$se{n}^2\alpha =1-\frac{1}{9}$=$\frac{9–1}{9}$

$\sqrt{se{n}^2\alpha }=\sqrt{\frac{8}{9}}$ = $\frac{\sqrt{2\cdot 2}}{\sqrt{9}}$

$sen\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$

c)Na tabela de igualdades encontramos que:

$cos2\alpha =co{s}^2\alpha –se{n}^2\alpha$

Substituindo os valores acima, temos:

$cos(2\alpha )={\left(\frac{1}{3}\right)}^2–{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2$=$\frac{1}{9}–\frac{2^2\cdot 2}{9}$

$cos(2\alpha )=\frac{1–8}{9}$=$-\frac{7}{9}$

$cos(2\alpha )=-\frac{7}{9}$

d)Voltando à tabela de igualdades:

$sen(2\alpha )=2sen\alpha \cdot cos\alpha$

Substituindo: $sen(2\alpha )=2\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{3}$

$sen(2\alpha )=\frac{4\sqrt{2}}{9}$

04. Dois triângulos são colocados lado a lado, de modo a fazer coincidir um de seus vértices da base. O primeiro é equilátero e o segundo isósceles, onde o ângulo do vértice superior mede ${45}^0$. Determine: a) o seno do ângulo entre os lados dos dois triângulos $\alpha$; b) o cosseno da soma do ângulo interno do equilátero e o lado do isósceles$(\alpha +\gamma )$; c) o seno do ângulo formado entre a base do isósceles e o lado do equilátero$(\alpha +\beta )$.

Os dois triângulos formam o ângulo $\alpha$. Sendo um deles equilátero, seus ângulos são iguais e medem $({60}^0)$. O outro é isósceles e se um de seus ângulos agudos mede $({45}^0)$, não resta dúvida sobre a medida do outro ângulo, que é igual a este. A figura mostra os triângulos colocados de modo que os vértices coincidem. Os ângulos somados totalizam $({180}^0)$, isto é, um ângulo raso.

Temos pois: $\gamma ={60}^0$ e $\beta ={45}^0$.

a) $\gamma +\alpha +\beta ={180}^0$

$({60}^0)+\alpha +({45}^0)=({180}^0)$$\iff$$\alpha =({180}^0)–({105}^0)=({75}^0)$

b)$cos(\gamma +\alpha )=cos\gamma \cdot cos\alpha –sen\alpha \cdot sen\gamma$

$cos({60}^0+{75}^0)=cos({60}^0)\cdot cos({75}^0)–sen({75}^0)\cdot sen(600)$ (I)

É necessário determinar os valores do seno e do cosseno de ${75}^0$. Sabemos que ${45}^0+{30}^0={75}^0$. Logo:

$sen({45}^0+{30}^0)=se{n}^{(}450)\cdot cos({30}^0)+sen({30}^0)\cdot cos({45}^0)$

$sen({75}^0)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$

$sen({75}^0)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ (II)

$cos({45}^0+{30}^0)=cos({45}^0)\cdot cos({30}^0)–sen({45}^0)\cdot sen({30}^0)$

$cos({75}^0)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}–\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}–\frac{\sqrt{2}}{4}$

$cos({75}^0)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ (III)

Substituindo (II) e (III) em (I), teremos:

$cos({60}^0+{75}^0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}–\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$cos({60}^0+{75}^0)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{18}+\sqrt{6}}{8}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$

$cos({135}^0)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{6}–\text{⧸}4\sqrt{2}}{\text{⧸}8}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos({135}^0)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

c)$sen({45}^0+{75}^0)=sen({45}^0)\cdot cos({75}^0)+sen({75}^0)\cdot cos({45}^0)$

$sen{120}^0)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{8}+\frac{\sqrt{12}+\sqrt{4}}{8}$

$sen({120}^0)=\frac{2\sqrt{3}-2}{8}+\frac{2\sqrt{3}+2}{8}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$sen({120}^0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

05. Sendo os ângulos $\alpha ={60}^0$ e $\beta ={45}^0$, determine: a) $cos(\alpha –\beta )$; b)$sen(\alpha –\beta )$; c)$tg(\alpha –\beta )$.

Dados: $\alpha ={60}^0$ e $\beta ={45}^0$

$sen({60}^0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $cos({60}^0)=\frac{1}{2}$

$sen({45}^0)=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $cos({45}^0)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

a)$cos(\alpha -\beta )=cos\alpha \cdot cos\beta +sen\alpha \cdot sen\beta$

$cos({60}^0-{45}^0)=cos({60}^0)\cdot cos({45}^0)+sen({60}^0)\cdot sen({45}^0)$=$\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos({15}^0)=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$cos({15}^0)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

b)$sen(\alpha -\beta )=sen(\alpha )\cdot cos(\beta )-sen(\beta )\cdot cos(\alpha )$

$sen({60}^0-{45}^0)=sen({60}^0)\cdot cos({45}^0)-sen({45}^0)\cdot cos({60}^0)$

$sen({15}^0)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$sen({15}^0)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

c)$tg(\alpha -\beta )=\frac{1-tg\beta \cdot ctg\alpha }{ctg\alpha +tg\beta }$

$tg({60}^0-{45}^0)=\frac{1-tg({45}^0)\cdot ctg({60}^0)}{ctg({60}^0)+tg({45}^0)}$

$tg(15)=\frac{1-\frac{1\cdot \sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}$

$tg({15}^0)=\frac{\frac{3–\sqrt{3}}{\text{⧸}3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{\text{⧸}3}}$=$\frac{(3–\sqrt{3})\cdot (3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\cdot (3-\sqrt{3})}$

$tg({15}^0)=\frac{3^2-2\cdot \sqrt{3}+{\sqrt{3}}^2}{3^2-{\sqrt{3}}^2}$=$\frac{9+3–2\sqrt{3}}{9–3}$

$tg({15}^0)=\frac{12–2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{6-\sqrt{3}}{3}$

$tg({15}^0)=\frac{6–\sqrt{3}}{3}$

06. Calcular as demais razões trigonométricas sabendo que $tg\alpha =\frac{4}{3}$ α pertence ao primeiro quadrante($0^0<\alpha <{90}^0$.

Vimos em postagens anteriores que $tg\alpha =\frac{sen\alpha }{cos\alpha }$. Então podemos escrever:

$tg\alpha =\frac{sen\alpha }{cos\alpha }=\frac{4}{3}$

$sen\alpha =\frac{4}{3}\cdot cos\alpha$ (I)

Da relação fundamental temos:

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$ (II)

Substituimos (I) em (II):

${\left(\frac{4}{3}\cdot cos\alpha \right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\frac{16}{9}\cdot co{s}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$$\iff$$\frac{16+9}{9}\cdot co{s}^2\alpha =1$

$\frac{25}{9}\cdot co{s}^2\alpha =1$$\iff$$co{s}^2\alpha =\frac{9}{25}$

$\sqrt{co{s}^2\alpha }=\sqrt{\frac{9}{25}}$$\iff$$cos\alpha =\frac{3}{5}$

$cos\alpha =\frac{3}{5}$

Substituindo em $sen\alpha =\frac{4}{3}\cdot cos\alpha$

$sen\alpha =\frac{4}{\text{⧸}3}\frac{\text{⧸}3}{5}=\frac{4}{5}$

$sen\alpha =\frac{4}{5}$

$ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }$$\iff$$ctg\alpha =\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

$ctg\alpha =\frac{3}{4}$

$sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }$

$sec\alpha =\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}$

$sec\alpha =\frac{5}{3}$

$csc\alpha =\frac{1}{sen\alpha }$

$csc\alpha =\frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}$

$csc\alpha =\frac{5}{4}$

07. Demostrar as seguintes igualdades trigonométricas.

Na demonstração das igualdades devemos encontrar uma forma de mostrar que a igualdade é verdadeira. Vamos ver como é que se faz isso.

a)$\left[\frac{(1–sen\alpha )}{cos\alpha }\right]=\left[\frac{cos\alpha }{(1+sen\alpha )}\right]$;

Aqui temos uma proporção, onde o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Vamos ver no que isso resulta.

$(1-sen\alpha )\cdot (1+sen\alpha )=cos\alpha \cdot cos\alpha$

$1–sen\alpha +sen\alpha –se{n}^2\alpha =co{s}^2\alpha$

$1–se{n}^2\alpha =co{s}^2\alpha$

$1=se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$

Recaímos na relação fundamental da trigonometria e podemos dizer que $1=1$. Fica demonstrada a validade da igualdade.

b) $\left[\frac{(sen\alpha +ctg\alpha )}{(tg\alpha +cosec\alpha )}\right]=cos\alpha$;

$\left[\frac{(\frac{sen\alpha }{1}+\frac{cos\alpha }{sen\alpha })}{(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }+\frac{1}{sen\alpha })}\right]=cos\alpha$

$\left[\frac{\left(\frac{se{n}^2\alpha +cos\alpha }{sen\alpha }\right)}{\left(\frac{se{n}^2\alpha +cos\alpha }{sen\alpha \cdot cos\alpha }\right)}\right]=cos\alpha$

Efetuando a divisão

$\left(\frac{se{n}^2\alpha +cos\alpha }{sen\alpha }\right)\cdot \left(\frac{sen\alpha \cdot cos\alpha }{se{n}^2\alpha +cos\alpha }\right)=cos\alpha$

Simplificando fica:

$cos\alpha =cos\alpha$

c)$tg\alpha +ctg\alpha =sec\alpha \cdot csec\alpha$;

Substituindo por expressões equivalentes, fica:

$\left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }+\frac{cos\alpha }{sen\alpha }\right)=\left(\frac{1}{cos\alpha }\cdot \frac{1}{sen\alpha }\right)$

Reduzindo o primeiro membro ao mesmo denominador:

$\left(\frac{se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha }{sen\alpha \cdot cos\alpha }\right)=\left(\frac{1}{sen\alpha \cdot cos\alpha }\right)$

Multiplicando os meios da proporção:

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =\left(\frac{sen\alpha \cdot cos\alpha }{sen\alpha \cdot cos\alpha }\right)$

$se{n}^2\alpha +cos\alpha =1$

d)$co{s}^2\alpha =se{n}^2\alpha \cdot co{s}^2\alpha +co{s}^4\alpha$

Fatorando o segundo membro, temos:

$co{s}^2\alpha =co{s}^2\alpha \cdot se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$

Cancelando os fatores comuns entre os dois membros:

$1=se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$

08. Faça a demonstração das igualdades trigonométricas:

a)$2tgx\left(\frac{1+cosx}{2}\right)=senx+tgx$

Simplificando os fatores comuns entre numerador e denominador, depois substituindo $tg x = {sen x\over cos x}$

$\text{⧸}2\cdot tgx\left(\frac{1+cosx}{\text{⧸}2}\right)=senx+tgx$

$\left(\frac{senx}{cosx}\right)\cdot (1+cosx)=senx+\frac{(senx}{cosx)}$

$(\frac{senx}{cosx}+\frac{senx\cdot cosx}{cosx})=\left(\frac{senx\cdot cosx+senx}{cosx}\right)$

$tgx+senx=senx+tgx$

b)$\left[\frac{\left(tg\alpha +tg\beta \right)}{\underbrace{\left(ctg\alpha +ctg\beta \right)}}\right]=\overbrace{tg\alpha \cdot tg\beta }$

Trocando de posição as expressões assinaladas fica:

$\left[\frac{\left(tg\alpha +tg\beta \right)}{(tg\alpha \cdot tg\beta )}\right]=\left(ctg\alpha +ctg\beta \right)$

Separando em duas frações com mesmo denominador:

$\left[\left(\frac{tg\alpha }{tg\alpha \cdot tg\beta }\right)+\left(\frac{tg\beta }{tg\alpha \cdot tg\beta }\right)\right]=\left(ctg\alpha +ctg\beta \right)$

$ctg\beta +ctg\alpha =ctg\alpha +ctg\beta$

09. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas

a)$se{c}^2\alpha +cs{c}^2\alpha =se{c}^2\alpha \cdot cs{c}^2\alpha$

$\left(\frac{\frac{1}{co{s}^2\alpha }+1}{sen²\alpha }\right)=\left(\frac{1}{co{s}^2\alpha }\cdot \frac{1}{se{n}^2\alpha }\right)$

Reduzindo ao mesmo denominador:

$\left(\frac{se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha }{co{s}^2\alpha \cdot se{n}^2\alpha }\right)=\left(\frac{1}{co{s}^2\alpha \cdot se{n}^2\alpha }\right)$

Cancelando os denominadores iguais;

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

b)$\left[\frac{sen\alpha \cdot cos\alpha }{se{n}^2\alpha –co{s}^2\alpha }\right]=\left[\frac{tg\alpha }{t{g}^2\alpha -1}\right]$

$\left[\frac{sen\alpha \cdot cos\alpha }{se{n}^2\alpha –co{s}^2\alpha }\right]=\left[\frac{\left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)}{\left(\frac{se{n}^2\alpha }{co{s}^2\alpha }-1\right)}\right]$

$\left[\frac{sen\alpha \cdot cos\alpha }{se{n}^2\alpha –co{s}^2\alpha }\right]=\left[\frac{\left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)}{\left(\frac{se{n}^2\alpha –co{s}^2\alpha }{co{s}^2\alpha }\right)}\right]$

$\left[\frac{sen\alpha \cdot cos\alpha }{se{n}^2\alpha –cos2\alpha }\right]=\left[\frac{sen\alpha \cdot co{s}^2\alpha }{cos\alpha \cdot \left(se{n}^2\alpha –co{s}^2\alpha \right)}\right]$

Simplificando os fatores comuns e cancelando os denominadores iguais, ficamos com:

$sen\alpha \cdot cos\alpha =sen\alpha \cdot cos\alpha$

c)${\left(sec\alpha –tg\alpha \right)}^2=\left(\frac{1–sen\alpha }{1+sen\alpha }\right)$

${\left(\frac{1}{cos\alpha }–\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)}^2=\left(\frac{1–sen\alpha }{1+sen\alpha }\right)$

$\left[\frac{{\left(1–sen\alpha \right)}^2}{co{s}^2\alpha }\right]=\left(\frac{1–sen\alpha }{1+sen\alpha }\right)$

Cancelando o fator comum entre os dois membros:

$\left(\frac{1–sen\alpha }{co{s}^2\alpha }\right)=\left(\frac{1}{1+sen\alpha }\right)$

Multiplicando os meios e os extremos entre si:

$(1–sen\alpha )(1+sen\alpha )=co{s}^2\alpha$

$1–se{n}^2\alpha =co{s}^2\alpha$$\iff$$1=se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

10. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas.

a)$sen\alpha +cos\alpha =\left(\frac{1+tg\alpha }{sec\alpha }\right)$

$sen\alpha +cos\alpha =\left(\frac{1+\frac{sen\alpha }{cos\alpha }}{\frac{1}{cos\alpha }}\right)$=$(\frac{cos\alpha +sen\alpha }{cos\alpha }\cdot \frac{cos\alpha }{1})$

Simplificando os fatores comuns entre numerador e denominador.

$sen\alpha \cdot cos\alpha =cos\alpha \cdot sen\alpha$

b)$\left(\frac{cos\alpha +tg\alpha }{cos\alpha \cdot tg\alpha }\right)=\left(ctg\alpha +sec\alpha \right)$

$\left[\frac{cos\alpha +\left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)}{cos\alpha \cdot \left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)}\right]=\left(ctg\alpha +sec\alpha \right)$

$\left[\frac{\frac{co{s}^2\alpha +sen\alpha \cdot cos\alpha }{cos\alpha }}{\frac{cos\alpha \cdot sen\alpha }{cos\alpha }}\right]=\left(ctg\alpha +sec\alpha \right)$

$\left[\left(\frac{co{s}^2\alpha +sen\alpha \cdot cos\alpha }{cos\alpha }\right)\cdot \left(\frac{cos\alpha }{cos\alpha \cdot sen\alpha }\right)\right]=\left(ctg\alpha +sec\alpha \right)$

Cancelando fatores comuns entre numerador e denominador.

$\left[\frac{co{s}^2\alpha }{cos\alpha \cdot sen\alpha }+\frac{sen\alpha }{cos\alpha \cdot sen\alpha }\right]=\left(ctg\alpha +sec\alpha \right)$

$\left[\frac{cos\alpha }{sen\alpha }+\frac{1}{cos\alpha }\right]=\left(ctg\alpha +sec\alpha \right)$

$ctg\alpha +sec\alpha =ctg\alpha +sec\alpha$

c)$\left(\frac{2sen\alpha }{tg(2\alpha )}\right)=cos\alpha –\left(\frac{se{n}^2\alpha }{cos\alpha }\right)$

Sabemos que $tg(2\alpha )=\frac{2}{ctg\alpha –tg\alpha }$

$\left[\frac{2sen\alpha }{\frac{2}{ctg\alpha –tg\alpha }}\right]=cos\alpha –\left(\frac{se{n}^2\alpha }{cos\alpha }\right)$

$\left[\frac{\text{⧸}2sen\alpha \cdot \left(ctg\alpha –tg\alpha \right)}{\text{⧸}2}\right]=cos\alpha –\left(\frac{sen²\alpha }{cos\alpha }\right)$

$\left[sen\alpha \cdot \left(\frac{cos\alpha }{sen\alpha }–\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)\right]=cos\alpha –\left(\frac{se{n}^2\alpha }{cos\alpha }\right)$

$cos\alpha –\frac{se{n}^2\alpha }{cos\alpha }=cos\alpha –\frac{se{n}^2\alpha }{cos\alpha }$

11. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$1+sen\alpha \cdot tg\alpha =\left(\frac{sen\alpha +ctg\alpha }{ctg\alpha }\right)$

$1+sen\alpha \cdot \left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)=\left[\frac{sen\alpha +\left(\frac{cos\alpha }{sen\alpha }\right)}{\left(\frac{cos\alpha }{sen\alpha }\right)}\right]$

$\left(\frac{cos\alpha +se{n}^2\alpha }{cos\alpha }\right)=\left[\frac{\left(\frac{se{n}^2\alpha +cos\alpha }{sen\alpha }\right)}{\left(\frac{cos\alpha }{sen\alpha }\right)}\right]$

$\left(\frac{cos\alpha +se{n}^2\alpha }{cos\alpha }\right)=\left[\left(\frac{se{n}^2\alpha +cos\alpha }{sen\alpha }\right)\cdot \left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)\right]$

Simplificando os fatores comuns, ficamos com:

$cos\alpha +se{n}^2\alpha =se{n}^2\alpha +cos\alpha$

b)$tg\alpha +ctg\alpha =\left(\frac{1}{sen\alpha \cdot cos\alpha }\right)$

$\left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }+\frac{cos\alpha }{sen\alpha }\right)=\left(\frac{1}{sen\alpha \cdot cos\alpha }\right)$

$\left(\frac{se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha }{sen\alpha \cdot cos\alpha }\right)=\left(\frac{1}{sen\alpha \cdot cos\alpha }\right)$

Cancelando os denominadores iguais, obtemos a relação fundamental da trigonometria.

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

c)${\left(sen\alpha +cos\alpha \right)}^2+{\left(sen\alpha –cos\alpha \right)}^2=2$

$\left(se{n}^2\alpha +2\cdot sen\alpha \cdot cos\alpha +co{s}^2\alpha \right)+\left(se{n}^2\alpha –2\cdot sen\alpha \cdot cos\alpha +co{s}^2\alpha \right)=2$

Reduzindo os termos semelhantes:

$2\cdot se{n}^2\alpha +2\cdot co{s}^2\alpha =2$$\iff$$2se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =2$

Dividindo ambos os membros por $2$;

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

12. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $sen\alpha =\frac{3}{5}$ e $0^0<\alpha <{90}^0$, isto é pertence ao primeiro quadrante.

Começaremos por determinar o cosseno desse ângulo, mediante o uso da relação fundamental.

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$$\iff$$co{s}^2\alpha =1–\frac{9}{25}$

$co{s}^2\alpha =\frac{25–9}{25}$$\iff$$\sqrt{co{s}^2\alpha }=\sqrt{\frac{16}{25}}$

$cos\alpha =\frac{4}{5}$

Agora temos os valores de seno e cosseno, o que nos permite calcular as demais razões do ângulo.

$tg\alpha =\frac{sen\alpha }{cos\alpha }$

$tg\alpha =\left[\frac{\left(\frac{3}{5}\right)}{\left(\frac{4}{5}\right)}\right]$

$tg\alpha =\left(\frac{3}{\text{⧸}5}\right)\cdot \left(\frac{\text{⧸}5}{4}\right)$

$tg\alpha =\frac{3}{4}$

$sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }$

$sec\alpha =\frac{1}{\frac{4}{5}}$=$\frac{5}{4}$

$sec\alpha =\frac{5}{4}$

$csc\alpha =\frac{1}{sen\alpha }$

$csc\alpha =\frac{1}{\frac{3}{5}}$=$\frac{5}{3}$

$csc\alpha =\frac{5}{3}$

13. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que o $\text{Extra close brace or missing open brace}$ e $\alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

Aqui seguiremos os mesmos passos do exercício anterior.

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$se{n}^2\alpha +{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=1$$\iff$$se{n}^2\alpha +\frac{25}{169}=1$

$se{n}^2\alpha =1-\frac{25}{169}$$\iff$$se{n}^2\alpha =\frac{169–25}{169}$

$\sqrt{se{n}^2\alpha }=\sqrt{\frac{144}{169}}$=$\frac{12}{13}$

$sen\alpha =\frac{12}{13}$

$tg\alpha =\left(\frac{sen\alpha }{cos\alpha }\right)$

$tg\alpha =\left[\frac{\left(\frac{12}{13}\right)}{\left(\frac{5}{13}\right)}\right]$

$tg\alpha =\left(\frac{12}{13}\right)\cdot \left(\frac{13}{5}\right)$=$\frac{12}{5}$

$tg\alpha =\frac{12}{5}$

$ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sen\alpha }$

$ctg\alpha =\left[\frac{\left(\frac{5}{13}\right)}{\left(\frac{12}{13}\right)}\right]$$\iff$$ctg\alpha =\left(\frac{5}{13}\right)\cdot \left(\frac{13}{12}\right)$

$ctg\alpha =\frac{5}{12}$

$sec\alpha =1\cos \alpha$

$sec\alpha =\left[\frac{1}{\left(\frac{5}{13}\right)}\right]$=$\frac{13}{5}$

$sec\alpha =\frac{13}{5}$

$csc\alpha =\frac{1}{sen\alpha }$

$csc\alpha =\left[\frac{1}{\left(\frac{12}{13}\right)}\right]$=$\frac{13}{12}$

$csc\alpha =\frac{13}{12}$

14. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $tg\alpha =\frac{4}{3}$ e $\alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

Temos que: $tg\alpha =\frac{sen\alpha }{cos\alpha }$

Logo: $\frac{sen\alpha }{cos\alpha }=\frac{4}{3}$$\iff$$sen\alpha =\frac{4}{3}\cdot cos\alpha$

Substituindo na relação fundamental:

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$$\iff$${\left(\frac{4}{3}\cdot cos\alpha \right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\left(\frac{16}{9}\right)\cdot co{s}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$$\iff$$\left(\frac{16+9}{9}\right)\cdot co{s}^2\alpha =1$

$co{s}^2\alpha =\frac{9}{25}$$\iff$$\sqrt{co{s}^2\alpha }=\sqrt{\frac{9}{25}}$

$cos\alpha =\frac{3}{5}$

Se $sen\alpha =\frac{4}{3}\cdot cos\alpha$$\iff$$sen\alpha =\left(\frac{4}{\text{⧸}3}\right)\cdot \left(\frac{\text{⧸}3}{5}\right)$

$sen\alpha =\frac{4}{5}$

$ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }$

$ctg\alpha =\left[\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)}\right]$=$\frac{3}{4}$

$ctg\alpha =\frac{3}{4}$

$sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }$

$sec\alpha =\left[\frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)}\right]$=$\frac{5}{4}$

$sec\alpha =\frac{5}{4}$

$csc\alpha =\frac{1}{sen\alpha }$

$csc\alpha =\left[\frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]$=$\frac{5}{3}$

$csc\alpha =\frac{5}{3}$

15. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que o $cos\alpha =\frac{4}{5}$ e $0^0<\alpha <{90}^0$, isto é, pertence ao primeiro quadrante.

$se{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

$se{n}^2\alpha +{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$$\iff$$se{n}^2\alpha +\frac{16}{25}=1$

$se{n}^2\alpha =1–\frac{16}{25}$$\iff$$se{n}^2\alpha =\left(\frac{25–16}{25}\right)$=$\frac{9}{25}$

$\sqrt{se{n}^2\alpha }=\sqrt{\frac{9}{25}}$=$\frac{3}{5}$

$sen\alpha =\frac{3}{5}$

$tg\alpha =\frac{sen\alpha }{cos\alpha }$

$tg\alpha =\left[\frac{\left(\frac{3}{5}\right)}{\left(\frac{4}{5}\right)}\right]$

$tg\alpha =\left(\frac{3}{\text{⧸}5}\right)\cdot \left(\frac{\text{⧸}5}{4}\right)$

$tg\alpha =\frac{3}{4}$

$ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sen\alpha }$

$ctg\alpha =\left[\frac{\left(\frac{4}{5}\right)}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]$

$ctg\alpha =\left(\frac{4}{\text{⧸}5}\right)\cdot \left(\frac{\text{⧸}5}{3}\right)$

$ctg\alpha =\frac{4}{3}$

$sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }$

$sec\alpha =\left[\frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)}\right]$=$\frac{5}{4}$

$sec\alpha =\frac{5}{4}$

$csc\alpha =\frac{1}{sen\alpha }$

$csc\alpha =\left[\frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]$=$\frac{5}{3}$

$csc\alpha =\frac{5}{3}$

Se persistirem algumas dúvidas, não hesite em pedir ajuda. Estou sempre pronto para isso. Se momentaneamente não puder atender, farei isso tão logo seja possível. Obrigado pela consulta.

Curitiba, 08 de janeiro de 2020

Décio Adams

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