Voltemos aos conceitos básicos de geometria ou conceitos primitivos. Aqueles que não têm uma definição, mas servem de base para definir os outros elementos que vem em sua esteira.
Plano
Representação de um plano
Vimos na geometria plana que um plano é um conjunto infinito de pontos que podemos imaginar ao olhar para uma folha de papel ou o tampo de uma mesa, uma parede e estendendo essa porção de plano até o infinito. Em geral o plano é representado por um quadrilátero, como se fosse uma folha de papel em perspectiva.
Dividindo um plano por uma reta $r$, obtemos dois semiplanos, como mostra a figura que segue abaixo.
Depois dobramos a folha segundo a reta $r$, obtendo uma figura formada pelos dois semiplanos e uma aresta que é a reta. Esta figura é um diedro.
Os dois semiplanos passaremos a denominar faces do diedro. A reta que é formada pelos pontos de contato das faces denominamos aresta.
Neste diedro temos pois as faces $\alpha \land \beta$, a reta $r$ é a aresta. Entre as faces temos o ângulo $\theta$ que mede a abertura do diedro. É também denominado ângulo diedro.
Classificação dos diedros
a) Diedro nulo: – é o diedro formado por dois semiplanos ou faces sobrepostas.
$\theta = 0^0$$\to $ diedro nulo.
b) Diedro raso ou plano:– diedro formado por dois semiplanos opostos, isto é, formados por um plano cortado por uma reta. Podemos visualizar na figura do plano dividido pela reta acima.
$\theta = 180^0$
Diedro reto
c) Diedro reto: – é o diedro em que as faces formam entre si um ângulo reto.
$\theta = 90^0$
d) Diedro agudo: – o ângulo formado pelas faces do diedro é um ângulo agudo, isto é, menor que $90^0$
$\theta \lt 90^{0}$
e) Diedro obtuso: – o ângulo entre as faces do diedro é maior que $90^0$.
Diedro obtuso
$\theta \gt 90^0$
f) Diedros adjacentes: – são dois diedros que têm uma face comum e a mesma aresta.
g) Diedros complementares: – são diedros cuja soma dos ângulos é igual a $90^{0}$
h) Diedros suplementares: – são diedros cuja soma dos ângulos é igual a $180^{0}$
Diedro cortado por plano secante
Vejamos a figura a seguir, onde aparece um plano $\gamma$ cortando o diedro num ângulo qualquer.
Intersecção por plano secante.
As linhas de intersecção do plano $\gamma$ com as faces do diedro formam o ângulo plano $\widehat{ACB}$.
Intersecção por plano ortogonal.
Intersecção por plano ortogonal
Se o plano secante ao diedro for ortogonal à aresta o ângulo plano $\widehat{ACB}$ formado será igual ao ângulo do diedro, como mostramos na figura a seguir.
Diedros opostos pela aresta.
Imagine dois planos que se interceptam segundo uma linha reta. Mostraremos na figura a seguir como fica, mas certamente, com um pouco de abstração poderá visualizar mentalmente a forma da figura. Cada plano ficará dividido em dois semiplanos, que formarão diedros OPA. Cada semiplano será uma face de dois diedros. Também teremos diedros adjacentes como se pode notar na figura.
Diedros opostos pela aresta e também diedros adjacentes.
Denominei com as letras $a, a_{1}, b, b_{1}$ os quatro semiplanos. Estes semiplanos são as faces de quatro diedros. Podemos afirmar que os diedros:
$\widehat{arb} \land \widehat{a_{1}rb_{1}}$$\to$ são OPA
$\widehat{arb_{1}} \land \widehat{bra_{1}}$$\to$ são OPA
Os diedros adjacentes tem uma face comum. Assim podemos afirmar que:
$\widehat{arb}\land \widehat{bra_{1}}$$\to$ são adjacentes.
$\widehat{arb}\land\widehat{arb_{1}}$$\to$ são adjacentes.
$\widehat{arb_{1}}\land\widehat{b_{1}ra_{1}}$$\to$ são adjacentes.
$\widehat{bra_{1}}\land\widehat{a_{1}rb_{1}}$$\to$ são adjacentes.
Obs.: Cada um dos diedros da figura é adjacente ao diedro cuja medida é a soma dos outros três diedros determinados e que completa a volta.
Se a interseção dos planos for ortogonal, teremos quatro diedros retos.
Bissetor de um diedro.
Inserindo em um diedro de medida $\theta = x^0$, de modo a dividí-lo em dois diedros iguais, teremos traçado um bissetor.
Diedro dividido ao meio por um bissetor.
A partir desse ponto denominaremos as faces de um diedro pela letra maiúscula $F$. Para distingui-las entre si usaremos um índice numérico $1,2,3,…$.
Isso posto temos na figura o diedro formado pelas faces $F_{1}\land F_{2}$. A face bissetora é $F_{bs}$. É fácil observar que $F_{bs}$ é comum aos dois diedros resultantes e adjacentes pela aresta.
$\widehat{F_{1}rF_{bs}}\land\widehat{F_{bs}rF_{2}}$$to$ são adjacentes e sua medida é igual à metade de $\widehat{F_{1}rF_{2}}$
Triedro de faces $F_{1}, F_{2} \land F_{3}$
Triedro
A secção de um diedro por um plano secante determina determina um ângulo e as linhas de intersecção serão as arestas de dois novos diedros, o que resulta em uma figura denominada triedro. Vejamos a figura ao lado.
Triedro reto vista interna
Secção por plano oblíquo
Seccionando um triedro por um plano oblíquo aos lados, as linhas de intersecção formarão um triângulo, que nos é útil para entender os próximos teoremas.
Triedro agudo vista superior
Teorema da relação entre as faces do triedro.
“Em todo triedro a medida de uma face é menor que a soma das medidas das outras duas”.
$F_{1} \lt F_{2} + F_{3}$
$F_{2} \lt F_{1} + F_{3}$
$F_{3} \lt F_{1} + F_{2}$
Obs.: Este teorema pode ser comprovado pela soma dos lados do triângulo de secção.
Triedro reto vista lateral
Teorema do módulo das faces
“Toda face de um triedro é maior que o módulo da diferença entre as outras faces.“
$F_{1}\gt |F_{2} – F_{3}|$
$F_{2}\gt|F_{1} – F_{3}|$
$F_{3}\gt |F_{2} – F_{1}|$
Teorema da soma das medidas das faces
“A soma das medidas das faces expressas em graus é menor que $360^{0}$.
$F_{1} + F_{2} + F_{3} \lt 360^{0}$
Classificação dos triedros
a) Triedro agudo: – as faces do triedro medem menos que $90^0$.
Triedro agudo
A soma das medidas das faces é menor do que $270^{0}$
b) Triedro reto: – as faces medem todas $90^{0}$.
Triedro reto
A soma das medidas das faces é igual a $270^{0}$
c) Triedro obtuso: – as faces medem acima de $90^{0}$ e sua soma é menor do que $360^{0}$
d) Triedros adjacentes: – são dois triedros que possuem uma face comum aos dois.
Teorema da soma dos diedros que formam o triedro
Se observarmos um triedro perceberemos que cada duas faces formam um diedro. Denominando-os $D_{1}, D_{2} e D_{3}$, temos que: “ A soma dos diedros formadores do triedro é maior que $180^{0}$ e menor que $540^{0}$”
$180^{0}\lt D_{1} + D_{2} + D_{3} \lt 540^{0}$
Para compreender esse teorema, temos que lembrar que cada diedro tem sua medida compreendida no intervalo entre $0^{0}$ e $180^{0}$. Isso nos leva a entender o limite superior da soma dos três diedros. Se são três, teremos $3\times D \lt 540^{0}$. Um plano secionando o triedro, forma um triângulo, cuja soma dos ângulos internos será sempre igual a $180^{0}$. Dessa forma a soma dos ângulos diedros será sempre maior do que esse valor.
Triedros opostos pelo vértice
São dois triedros cujas arestas são concorrentes no mesmo ponto e estão contidas em semi retas colineares, com origem no ponto de intersecção, que é o vértice.
Triedros opostos pelo vértice
Triedros retos, opostos pelo vértice.
Traçando um par de planos ortogonais, seccionados por um terceiro plano, ortogonal à intercessão dos dois primeiros, formaremos um conjunto de oito triedros retos, opostos pelo vértice dois a dois e adjacentes dois a dois. Veja a figura.
Exercitemos um pouco.
01. Se em um triedro houver dois diedros medindo respectivamente $60^{0}$ e $110^{0}$. Qual é o intervalo em que estará compreendida a medida do terceiro diedro?
Vimos que em qualquer triedro há três faces, cujas medidas seguem a regra:
03. Se em um triedro dois diedros são retos, o terceiro diedro necessariamente estará compreendido em qual intervalo?
$180^{0}\lt 90^{0} + 90^{0} + X \lt 540^{0}$
$180^{0} – 180^{0} \lt X \lt 540^{0} – 180^{0}$
$0^{0}\lt X \lt 360^{0}$
$D_{3} = \{X| 0^{0}\lt X \lt360^{0}\}$
04. Responder se está certa ou errada a afirmação e justifique sua resposta.
4.1. O ângulo de um diedro é ângulo de secção reta.
4.2. Se duas secções de um diedro são congruentes, então elas são paralelas.
4.3. Não existe o triedro cujas faces medem $120^{0}, 75^{0} e 45^{0}$
4.4. A terceira face do triedro, cujas duas outras medem $50^{0} e 130^{0}$ devem ser maior que $60^{0}$ e menor que $160^{0}$
4.5. O terceiro diedro do triedro, cujos outros dois medem $70^{0} e 130^{0}$ só pode ser $20^{0}\lt X \lt 120^{0}$
05. Dois diedros retos adjacentes são também:
( )a) coincidentes;
( )b) suplementares;
( )c) complementares;
( )d) implementares;
( )e) replementares.
06. Dois triedros adjacentes:
( )a) têm uma face comum;
( )b) têm as mesmas medidas das faces;
( )c) são opostos pelo vértice;
( )d) são complementares;
( )e) são suplementares.
07. Um plano secante a um diedro determina sobre suas faces um:
( )a) triângulo retângulo;
( )b) quadrado;
( )c) um losango;
( )d) triângulo;
( )e) N.d.a.
08. Dois diedros opostos pela aresta determinam também um par de ângulos:
( )a) complementares;
( )b) replementares;
( )c) OPA e suplementares dos dois outros;
( )d) implementares;
( )e) suplementares entre si.
09. Se as medidas das faces de um triedro são $60^{0}$, o triângulo formado por um plano secante ortogonal a linha de intercessão dos bissetores dos diedros será:
( )a) escaleno;
( )b) equilátero e equiângulo;
( )c) retângulo;
( )d) obtusângulo;
( )e) N.d.a.
10. O triângulo que pode funcionar como quarta face para a figura do triedro, transforma o mesmo em um:
( )a) tetraedro;
( )b) cubo;
( )c) pirâmide quadrangular;
( )d) prisma triangular;
( )e) tronco de pirâmide.
Se houver dúvida, use um dos canais abaixo listados para se comunicar e expor suas dificuldades. Estou sempre à disposição para ajudar.
Dados dois conjuntos $A =\{2; 5; 8\}$ e $B = \{1; 3; 6; 10\}$, denominamos Relação de ${r: A \to B}$ ao conjunto de pares ordenados $\{(x,y)| x\in A \land y\in B\}$. A relação é um sub-conjunto do produto cartesiano dos dois conjuntos.
Note que nem todos os elementos do conjunto $A$ fazem parte da relação com o conjunto $B$ e ao mesmo elemento de $A$ podem corresponder mais de um elemento do conjunto $B$.
${R_{1} = \{(2;1), (2;3), (8;6), (8;10)\}}$
Uma outra relação entre os mesmos conjuntos poderia ser:
$R_{2} = \{(2;1),(5;3), (5;6)\}$
O segundo elemento de cada par ordenado é denominado Imagem do primeiro. O conjunto $A$, dito conjunto de partida, habitualmente recebe a denominação Domínio da relação e o conjunto $B$, conjunto de chegada, é o Contra Domínio da relação. Podemos inverter a ordem dos conjuntos, passando o $A$ a ser contra domínio e o $B$ o Domínio. Os diagramas de Venn dos conjuntos Domínio e Contra Domínio, com as setas unindo os elementos do primeiro aos elementos do segundo recebe o nome Diagrama de Flechas.
Função
Uma relação de um conjunto $A$ em outro $B$, onde cada elemento do Domínio, tem uma e somente uma imagem no Contra Domínio, recebe o nome de função.
Nos diagramas de Venn da figura, a relação f não é função, pois há um elemento do conjunto $A$ sem a correspondente imagem no conjunto $B$.
A relação g não é função pois há um elemento do conjunto $A’$ ao qual correspondem duas imagens no conjunto $B’$.
A relação h é uma função pois a cada elemento do conjunto $A”$ corresponde uma e somente uma imagem no conjunto $B”$. Observe que o conjunto que contém os elementos imagens pode conter elementos que não são imagem de nenhum elemento de $A”$. Também vemos que um mesmo elemento pode ser imagem de mais de um elemento do conjunto domínio.
O primeiro conjunto, no caso $A”$, é o domínio da função. O conjunto $B”$ contém o conjunto imagem e recebe a denominação de contra domínio.
$D_{h} = A”= \{9,11, 13\}$
$CD_{h} = B”= \{12, 16, 17, 18\}$
$I_{h} = \{16, 18\}$
$I_{h} \subset B”$
$B” \supset I_{h}$
Classificação das funções
Função sobrejetora
Sobrejetora
É a função em que todos os elementos do Contra Domínio são imagem de pelo menos um elemento do Domínio, isto é, não sobram elementos no contra domínio.
Função injetora
Injetora
A função é injetora se cada elemento do Domínio tem uma imagem distinta no Contra domínio.
Função bijetora
Bijetora
É bijetora a função que preenche os requisitos de ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Em outras palavras não sobram elementos do Contra Domínio e nenhum elemento é imagem de dois ou mais elementos do Domínio.
No estudo das funções algébricas via de regra o Domínio e o Contra Domínio são o mesmo conjunto numérico.
Por exemplo:
$f: R\to R$
$f:N\to N$
$f:Z\to Z$
$f:Q\to Q$
Exercitemos um pouco.
01. Sendo $A = \{1,2\}$ e $B = \{1,3,4\}$, determine:
a) ${A X B} = \{(1,1); ( 1,3); (1,4); (2,1); (2,3); (2,4)\}$
b) A relação formada pelos pares ordenados em que o $1^{0}$ elemento é menor que o $2^{0}$ elemento:
$r_{1} = \{(1,3); (1,4); (2,3); (2,4)\}$
c)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ é maior que o ${2^{0}}$ elemento;
$r_{2} = \{(2,1)\}$
d)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ elemento é igual ao ${2^{0}}$ elemento;
$r_{3} = \{(1,1)\}$
e)A relação formada pelos pares ordenados em que o ${1^{0}}$ elemento é o dobro do ${2^{0}}$ elemento.
$r_{4} = \{(2,1)\}$
f) A relação formada pelos pares ordenados em que o ${2^{0}}$ é o dobro do ${1^{0}}$ elemento;
${r_{5} = \{(2,4)\}}$
02. Qual é a relação formada pelos pares ordenados do produto cartesiano de $A =\{1,2,3\}$ por $B =\{2,4,5\}$, tal que o segundo elemento de cada par seja o dobro do primeiro elemento?
$r = \{(1,2); (2,4)\}$
03. Dados os conjuntos $A =\{1,3,5\}$ e $B = \{2,3\}$, determinemos:
a)${A X B} = \{(1,2); (1,3); (3,2); (3,3); (5,3); (5,3)\}$
b)${B X A} = \{(2,1); (2,3); (2,5); (3,1); (3,2); (3,5)\}$
d)${B^{2}} = {B X B} =\{(2,2); (2,3); (3,2); (3,3)\}$
04. Dados os conjuntos $A = \{1,3,5,7\}$ e $B =\{3,9,15,20\}$, a relação $R: A\to B$ de modo que $(x,y)\in(AXB) | b = 3a$, será formada pelos pares ordenados $\{(1,3); (3,9), (5,15)\}$.
Relação de $A\to B$ representada em diagrama de Venn
Representando num diagrama de flechas, ficamos com:
05. Dados os conjuntos $A =\{1,2,3,4\}$ e $B = \{4,5,6,7\}$. A relação mostrada no Diagrama de flechas a seguir, define uma função $f: A\to B$ para a qual $(x,y)\in(AXB)| x\in A \land y\in B$.
Função ${f:A\to B}$
Nesta função temos:
Domínio: $D_{f} =\{1,2,3,4\}$
Contra domínio: $CD_{f} = \{4,5,6,7\}$
Imagem: $I_{f} = \{4,5,7\}$
$f:(1) = {(4)}$
$f:(2) = {(7)}$
$f:(3) = {(5)}$
$f:(4) = {(7)}$
Na expressão $f:(1) = {(4)}$, lê-se “função de 1 é igual a 4”. O 4 é imagem de 1.
Exercícios para resolver
01. Dados os conjuntos $A = \{3,5,7\}$ e $B = \{3,9,15,35\}$, determine os produtos cartesianos:
a) ${A X B}$; b) ${B X A}$; c) ${A^{2}}$; d) ${B^{2}}$
02. Dados os conjuntos $A = \{-2, -1, 0, 1\}$ e $B =\{0,1,2,3\}$,
determine:
a) a relação $R_{1} = \{(x,y) \in {A X B}| y = x^{2} -1\}$
b) a relação $R_{2} =\{(x,y)\in A^{2}| b = a^{2}\}$
c) a relação $R_{3} =\{(x,y)\in {B X A}| y = x^{2}\}$
d) determine o domínio e a imagem de cada relação.
03. Dados os conjuntos $A = \{3,5,7\}$ e $B = \{3,9,15,35\}$, determine:
a) a relação $R: A\to B$, de modo que $R = \{(x,y)\in (AXB)| \frac{y}{x}\in N\}$. Construa o diagrama de flechas da relação.
b) o domínio e a imagem de $R$
04. Dados os conjuntos $A = \{1,2,7,10\}$ e $B = \{2,5,33,50,101\}$
a) determine a relação $R_{1}: A\to B$, tal que $R_{1} = \{(x,y)\in(AXB)| x \land y \}$ são números primos. Faça o diagrama de flechas.
b) determine a relação $R_{2}: A\to B$, tal que $R_{2} =\{x,y)| y = x^{2} + 1\}$. Faça o diagrama de flechas.
c) a relação $R_{1}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.
d) a relação $R_{2}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.
05. Dados os conjuntos $A = \{3,8,15,24\}$ e $B = \{2,3,4,5\}$
a) determine a relação $R_{1}: A\to B$, tal que $R_{1} =\{(x,y)\in(| b = \sqrt{a + 1}\}$. Diagrama de flechas
b) determine a relação $R_{2}: B\to A$, tal que $R_{2}=\{(x,y)| y = x – 1\}$. Faça o diagrama de flechas.
c) A relação ${R_{1}}$ é uma função? Explique. Sendo função, determine a imagem da mesma.
d) A relação $R_{2}$ é uma função? Explique. Se for determine a imagem dessa função.
06. – Considere três funções f, g e h, tais que: A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A função g atribui a cada país, a sua capital A função h atribui a cada número natural, o seu dobro
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h e) nenhuma delas.
07. Observe o diagrama de flechas abaixo, onde temos o conjunto P formado pelos nomes dos planetas de nosso sistema solar e no conjunto E estrelas e constelações do Universo. O gráfico representa uma função ou é apenas uma relação? Se for função qual é sua classificação?
08. O diagrama de flechas a seguir representa os principais estados do Brasil no conjunto Domínio e os nomes de cidades brasileiras. Os estados estão ligados às suas respectivas capitais. O diagrama representa uma função ou não? Se for função, qual é sua classificação?
No próximo post daremos mais um passo no estudo das funções. Agora elas serão definidas por equações.
O Plano Cartesiano é formado por um par de eixos, preferencialmente ortogonais, que se interceptam em um ponto, denominado origem e ao qual associamos o número $0$ (zero). Um eixo tido geralmente como “horizontal” e o outro “vertical”. O primeiro é denominado eixo das abcissas e o segundo era o eixo das ordenadas.
Cada ponto desse plano pode ser identificado por meio de um par de números, que são medidos sobre os eixos. Os dois números recebem o nome de “par ordenado“. O primeiro é a abcissa ou $x$ e o segundo é a “ordenada” ou $y$. Vamos ver um exemplo de Plano Cartesiano, com alguns pontos identificados pelos pares ordenados.
Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes. Os pontos do primeiro quadrante são identificados por dois números positivos; no segundo quadrante a abcissa é negativa e a ordenada positiva; no terceiro quadrante os dois números do par ordenado são negativos. Por último, no quarto quadrante a abcissa é positiva e a ordenada é negativa. É convencionado universalmente que o sentido dos quadrantes é anti-horário.
Os pontos situados sobre o eixo das abcissas terão todos o valor $0$ (zero) na ordenada, como por exemplo $(5; 0)$. Já os pontos do eixo das ordenadas terão todos como abcissa o valor $0$ (zero), como por exemplo $(0; -7)$
Para facilitar o entendimento desse assunto, vamos retomar o estudo dos conjuntos. Na ocasião vimos várias operações com conjuntos. Aqui iremos ver mais uma de nominada Produto Cartesiano.
Denominamos produto cartesiano do conjunto A, pelo conjunto B, ao conjunto de pares ordenados (x, y), onde o elemento $x$ pertence ao conjunto A e o elemento $y$ pertence ao conjunto B. Isso pode ser traduzido em símbolos matemáticos da seguinte forma:
\begin{align}\color{NavyBlue}{A\times B = \{(x,y)| x\in A \land y\in B \}}\end{align}
Num Diagrama de Venn teremos esse produto assim representado.
Note que de cada elemento do conjunto A, saem quatro setas dirigidas aos elementos do conjunto B. Isso nos indica que o numero de pares ordenados desse produto cartesiano é igual ao produto do número de elementos de ambos os conjuntos.
Esse assunto é de fundamental importância no desenvolvimento dos programas de informática, especialmente na construção dos chamados Bancos de Dados.
Podemos também fazer o produto cartesiano invertido, isto é, trocando a ordem dos conjuntos. Será:
\begin{align}{B X A = \{(1; 1),(1; 2),(1; 3),(3;1),(3;2),(3;3),(5;1),(5;2),(5;3),(7;1),(7;2),(7;3)\}}\end{align}
Se contarmos os pares, também iremos encontrar o número $12$, uma vez que o número de elementos de cada conjunto apenas inverteu a ordem, isto é aplicamos a propriedade comutativa.
Podemos estabelecer o produto cartesiano ${A X A}$, o que equivale a ${A^2}$, e ${B X B}$ equivalendo a ${B^2}$.
Observamos que o conjunto numérico fica cada vez mais amplo. Tanto que para escrever o mesmo, recorremos aos intervalos de reticências entre alguns elementos, uma vez que fica impossível relacionar todos.
Temos ainda o conjunto dos números Reais, no qual reunimos todos os demais conjuntos em um só. Representado por $R$. Pode ser tomado só o lado positivo, o lado negativo ou o conjunto inteiro, excluindo o $0$ (zero).
${R_{+}}$$\Rightarrow$ Números reais positivos, inclusive o zero.
${R_{-}}$$\Rightarrow$ Números reais negativos, incluindo o zero.
${R_{\neq 0}}$$\Rightarrow$ Números reais, excluído o zero.
${R}$$\Rightarrow$ Conjunto dos números reais.
Chegará o momento em que iremos nos deparar com uma nova ampliação do conjunto dos números. Será o momento dos Números imaginários. Reunido aos números Reais formarão o conjunto dos Números complexos.
Vamos exercitar um pouco.
01. Dados os conjuntos ${A= \{3; 5\}}$ e ${B =\{2; 5; 8\}}$, represente-os em um Diagrama de Venn e faça um gráfico de flechas indicando o produto cartesiano ${A X B}$.
O conjunto dos pares ordenados resultante desse produto cartesiano é o que segue.
${A X B = \{(3;2), (3;5), (3;8), (5;2), (5;5), (5;8)\}}$
${n(A X B) = 2\times 3 = 6\,pares}$
02. Use os conjuntos do exercício 01 e faça o produto cartesiano ${B X A}$. Represente um diagrama de flechas num Diagrama de Venn.
${B X A = \{(2;3), (2;5), (5;3), (5;5), (8;3), (8;5)\}}$
${n(B XA) = 3\times 2 = 6\,pares}$
03. Dado o produto cartesiano entre os conjuntos $M$ e $N$. Seus elementos são ${M = \{-3, 0, 4, 7\}}$ e ${N = \{-1, 1, 3\}}$. Determine os pares ordenados do produto e represente-os num plano cartesiano.
${M X N =\{(-3; -1),(-3; 1),(-3; 3),(0;-1),(0; 1),(0; 3),(4; -1),(4; 1),(4;3),(7; -1),(7; 1),(7;3)\}}$
Notamos que os pontos representados ficam alinhados segundo as ordenadas e também segundo as abcissas.
04. Se tomarmos os elementos do conjunto $N$, símbolo dos números naturais, quantos pares ordenados poderemos formar fazendo o produto cartesiano $N^2$?
05. No produto cartesiano de dois conjuntos, pode haver um elemento que seja excluído do produto?
06. Seja o conjunto ${G =\{(x \in Z_{+}| 10\lt x \le 15\}}$. Faça o produto cartesiano ${G X G}$. Escreva o conjunto dos pares ordenados do produto e faça um gráfico de flechas, bem como represente no plano cartesiano.
Havendo dúvidas, peça esclarecimento por um dos canais abaixo listados.
Até aqui fizemos multiplicação, adição, subtração e divisão de polinômios. O que faremos agora é transformar um polinômio numa multiplicação de um termo algébrico por um polinômio, ou um polinômio por outro.
Começaremos pelo caso mais simples. Um polinômio em que todos os termos possuem um fator comum. Colocaremos este fator em “evidência” e multiplicado pelo que resta do polinômio.
Analisando os três termos do polinômio, observamos que todos eles tem em comum:
O fator numérico $3$.
Os fatores literais $ax^2$.
Para obtermos a fatoração do polinômio, iremos multiplicar o mesmo pelos fatores comuns $3ax^2$ e dividir todos os termos pelos mesmos. Vejamos como fica isso;
Note que se trata de um trinômio onde há dois termos que são quadrados: $16 $ e $x^2$. O termo do meio é igual ao produto das raízes dos outros dois termos, multiplicado por $2$. Então podemos fatorar esse trinômio em um produto notável que é o quadrado da soma das raízes dos dois termos quadrados.
Temos o primeiro termo $9x^2$ e o terceiro $25y^2$. O termo do meio é o dobro do produto das raízes quadradas dos outros dois termos, precedido do sinal (-). Logo, a expressão dada pode ser fatorada no quadrado da diferença entre essas raízes. Fica assim:
Antes de fazer exercícios, vejamos mais um exemplo.
\begin{align}\color{Sepia}{4x^2 – 9}\end{align}
Temos um binômio que representa a diferença entre dois quadrados. Como vimos isso permite que podemos fazer o caminho inverso e escrever na forma de um produto da soma pela diferença.
É muito utilizada a fatoração de polinômios que contenham fatores comuns em dois fatores, formando um produto de binômios ou binômio por trinômios. É denominada Fatoração por agrupamento. Fatoramos dois termos e depois os outros dois. Se for possível transformar o polinômio em um produto de binômios, deverão surgir dois fatores comuns entre as partes da primeira etapa. Colocamos em evidência e terminamos o processo.
Temos um fator comum entre os termos $10x + 6$, que é $2$. Também entre os termos $-15xy -9y$, o fator comum é $-3y$. Isso nos permite fatorar os termos dois a dois. Vejamos como fica:
Vamos colocar os polinômios numa chave como fazemos na divisão de números com vários algarismos. Antes vamos verificar se os polinômios estão ordenados segundo os expoentes de uma ou mais variáveis.
Observe que começamos dividindo o primeiro termo do dividendo pelo primeiro do divisor. Multiplicamos todos os termos do divisor e subtraímos os resultados dos termos semelhantes do dividendo. Fica evidente que no primeiro termo o resto deve ser zero. Na sequência colocamos o outro termo do dividendo ao lado do resto e seguimos o procedimento, até que tenhamos utilizado todos os termos do dividendo. Se o resto for zero, a divisão é exata. Se houver resto, no momento de efetuar a multiplicação do quociente pelo divisor, será necessário adicionar esse resto. No exemplo mostrado, a divisão foi exata.
Mais um exemplo de divisão exata entre dois polinômios. Um detalhe a ser sempre levado em consideração é o grau dos polinômios. O divisor nunca poderá ter grau mais elevado do que o dividendo. Isso nos levaria a uma situação impossível de realizar no campo de álgebra.
Podemos notar que o quociente e o divisor são fatores que formam um produto notável, que é conhecido como quadrado da soma multiplicado pela diferença. Ele nos ajuda a entender qualquer outra divisão de polinômios entre si.
Chegou a hora de deixar um trabalho para você fazer.
No estudo da regra de três simples, usamos apenas duas grandezas que se relacionam. Sendo um dos valores desconhecido, é possível descobrir seu valor com o uso dos outros três valores conhecidos, formando uma proporção. A aplicação das regras das proporções nos fornece procedimentos para atingir nossa finalidade.
Quando o problema envolve três ou mais grandezas, a regra simples não nos ajuda. Mas podemos recorrer à chamada Regra de Três composta. Para isso é conveniente elaborar uma tabela com tantas colunas quantas forem as grandezas. Haverá grandezas diretamente proporcionais e as inversamente proporcionais, ocasionando a inversão da ordem em que aparecem no cálculo. Vamos tomar um exemplo.
Sabendo que $5$ torneiras iguais, totalmente abertas, enchem um tanque de $6000$ litros de água, em $4$ horas de fluxo. Se colocarmos $8$ torneiras iguais, enchendo um tanque de $10000$ litros, qual será o tempo para conclusão do processo?
Torneiras
Litros
Horas
5
6000
4
8
10000
X
Analisando o problema, notamos que, se o volume de água permanecer o mesmo, o número maior de torneiras tornará o tempo gasto menor. O que nos leva a concluir que o número de torneiras é inversamente proporcional ao tempo. Se o número de torneiras permanecer constante, haverá uma demora maior do que as 4 horas para encher o tanque de 10000 litros. Volume de água e tempo diretamente proporcionais. Então podemos escrever a proporção da seguinte forma.
$ {4\over X} ={8\over 5}\times{6000\over 10000}$
${4\over X} = {48000\over 50000}$
Multiplicando os extremos e os meios entre si, teremos:
$48000\times X = 4\times 50000$$\Leftrightarrow$$X = {200000\over 48000}$
$$\color{Brown}{X \simeq 4,17 horas}$$
2. Usando um ferro elétrico $1$ hora por dia, durante $20$ dias, o consumo de energia será de $10\, kW/h$. Se o mesmo ferro elétrico for usado $110$ minutos por dia durante $30$ dias, qual será o consumo?
tempo/dia
Dias
Consumo(kW/h)
60
20
10
110
30
x
As grandezas todas são diretamente proporcionais. Usando o ferro por mais dias, aumentará o consumo. Usando o mesmo ferro por mais tempo diariamente o consumo em 20 dias também aumentará. Então a proporção ficará:
$ 1200\times X = 10\times 3300$$\Leftrightarrow$$ X = {10\times 3300\over 1200}$
$$\color{Sepia}{X = 27,5\, kW/h}$$
3. Trabalhando $10$ horas por dia, durante $18$ dias, João recebeu $R\$ 2 100,00$. Se trabalhar $8$ horas por dia, quantos dias ele deverá trabalhar para receber $R\$ 2 700,00$?
Horas/dia
Dias
Remuneração
10
18
2.100,00
8
x
2.700,00
O número de horas diárias é inversamente proporcional ao número de dias. Os dias de trabalho são proporcionais ao valor da remuneração. Então devemos estabelecer a proporção:
4. Em uma empresa, $10$ funcionários produzem $3 000$ peças, trabalhando $8$ horas por dia durante $5$ dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza $7 000$ peças em $15$ dias, trabalhando $4$ horas por dia, será de quanto?
Nº funcionários
Nº peças
h/dia
Dias
10
3000
8
5
X
7000
4
15
O número de peças é proporcional ao número de funcionários. O número de horas dia é inversamente proporcional ao número de funcionários. O número de dias é inversamente proporcional ao número de funcionários. Portanto a proporção fica sendo:
Serão 16 funcionários pois não existe fração de funcionário.
Exercitando.
01. (Unifor–CE) Se $6$ impressoras iguais produzem $1000$ panfletos em $40$ minutos, em quanto tempo $3$ dessas impressoras produziriam $2000$ desses panfletos?
02.(UFMG)- Uma empresa tem $750$ empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante $25$ dias. Se essa empresa tivesse mais $500$ empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?
03.(Unifor–CE)Um texto ocupa $6$ páginas de $45$ linhas cada uma, com $80$ letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para $30$ o número de linhas por página e para $40$ o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.
04.(UFRGS-RS)-Se foram empregados $4\, kg$ de fios para tecer $14$ m de uma maquete de fazenda com $80\,cm$ de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir $350\,m$ de uma maquete de fazenda com $120\,cm$ largura?
05.Em $8 horas$, $20$ caminhões descarregam $160\,m^{3}$ de areia. Em $5 horas$, quantos caminhões serão necessários para descarregar $125\,m^{3}$?
06.Em uma fábrica de brinquedos, $8$ homens montam $20$ carrinhos em $5$ dias. Quantos carrinhos serão montados por $4$ homens em $16$ dias?
07.Dois pedreiros levam $9$ dias para construir um muro com $2\,m$ de altura. Trabalhando $3$ pedreiros e aumentando a altura para $4\,m$, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
08. Três torneiras enchem uma piscina em $10$ horas. Quantas horas levarão $10$ torneiras para encher $2$ piscinas?
09.Uma equipe composta de $15$ homens extrai, em $30$ dias, $3,6$ toneladas de carvão. Se a equipe for aumentada para $20$ homens, em quantos dias conseguirão extrair $5,6$ toneladas de carvão?
10.Vinte operários, trabalhando $8$ horas por dia, gastam $18$ dias para construir um muro de $300\,m$. Quanto tempo levará uma turma de $16$ operários, trabalhando $9$ horas por dia, para construir um muro de $225\,m$?
11.Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando $8\, horas$ por dia, a uma velocidade média de $50\,km/h$. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em $20$ dias, a uma velocidade média de $60\,km/h$?
12.Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz $5400\,m$ de tecido com $90\,cm$ de largura em $50\, minutos$. Quantos metros de tecido, com $1$ metro e $20$ centímetros de largura, seriam produzidos em $25\, minutos$?
Havendo dúvidas na resolução dos exemplos ou sobre o raciocínio a ser desenvolvido de modo geral, use um dos canais abaixo listados para pedir ajuda. Não fique na dúvida. Aproveite para esclarecer tudo sem problema algum.
As razões trigonométricas podem ser estudadas com mais detalhes no que é denominado círculo trigonométrico. Traçamos um círculo, cujo raio convencionamos sendo igual a unidade ($r = 1$). O centro desse círculo se localiza nas coordenadas $(0,0)$ de um plano cartesiano $XOY$. O ponto de intercessão desse círculo com o semi-eixo positivo de , $\overrightarrow{OX}$, é convencionado como sendo a origem dos arcos crescentes. O sentido positivo desses arcos é o anti-horário. Essa convenção é adotada no mundo inteiro.
Os eixos cartesianos $XOY$, dividem o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, denominadas quadrantes. Obedecendo ao sentido dos arcos crescentes, anti-horário, temos:
$0^{0}\leq\alpha\leq(90^{0})$$\rightarrow$ primeiro quadrante;
$(90^{0})\leq\alpha\leq(180^{0})$$\rightarrow$ segundo quadrante;
$(270^{0})\leq\alpha\leq(360^{0})$$\rightarrow$ quarto quadrante.
Isto completa uma volta ou seja o retorno à posição da origem dos arcos crescentes $(360^{0})\leqq(0^{0})$.
Imagine um ponto colorido existente na periferia de uma roda, que gira em torno de um eixo. Se ela girar no sentido dos arcos crescentes (anti-horário), esse ponto irá ocupar uma posição diferente a cada instante. O arco descrito tem a medida denominada pela letra $l$, e o raio do arco tem medida $r$, no círculo trigonométrico. A divisão do comprimento desse arco, pelo raio do círculo, nos dará a medida do ângulo em radianos.
$\alpha = \frac{l}{r}\, rad$
A unidade radiano, como se pode perceber, é definida em função dos elementos do arco. Podemos considerar essa unidade como a unidade natural de ângulos ou arcos. O arco tem o mesmo valor numérico do ângulo, por conta do fato de o raio do círculo trigonométrico ser unitário.
Já a unidade que é mais usada em alguns casos para medir os ângulos é o grau e sua subdivisão em minutos. Estes por sua vez são divididos em segundos. Assim, se um ângulo medir a graus, b minutos e c segundos, escreveremos essa medida da seguinte forma:
$$\alpha = a^{0}b’c”$$.
Em um círculo completo temos $360^{0}$. (Herança do sistema sexagesimal de numeração deixada pelos povos Fenícios e seus ancestrais).
Do estudo da circunferência, sabemos que ela, retificada, isto é, aberta e esticada, mede ${C = 2\pi\cdot r}$
O que nos permite estabelecer que uma volta completa do ponto sobre o círculo, terá descrito um arco de:
$(360^{0}) = 2\pi \,rad$
Expressão Geral dos arcos côngruos
É possível obter inúmeras determinações de um mesmo ângulo, todas elas diferindo entre si de um número inteiro de voltas completas sobre o círculo trigonométrico. Estes arcos são denominados arcos côngruos. Apenas para dar um exemplo, vejamos:
$\frac{1}{3}\cdot \pi \, rad= 2\pi + \frac{1}{3}\cdot\pi\, rad = 4\pi + \frac{1}{3}\cdot\pi\, rad = 6\pi + \frac{1}{3}\cdot\pi \, rad = 8\pi + \frac{1}{3}\cdot\pi \, rad =…..$
Os coeficientes são números pares, pois uma volta completa é igual a $360^{0} = 2\pi\, rad$.
Usando para simbolizar o número inteiro de voltas a letra grega $\kappa$, podemos escrever a expressão dos arcos côngruos, para qualquer arco, dessa forma:
$\alpha = 2\kappa\pi +\frac{n}{D}\cdot\pi \, rad$
O último termo da expressão geral $\frac{n}{D}\cdot\pi $ é a menor determinação positiva do arco. Podemos entender como sendo a parte do arco menor do que uma volta completa sobre o círculo. A razão $\frac{n}{D} \lt 2$ o que implica em $n\lt{2D}$.
O primeiro termo representa o arco total descrito por um ponto em ciclos, ao redor do eixo de rotação que passa pelas coordenadas $(0,0)$ e é perpendicular ao plano $XOY$, nesse ponto.
No caso de o arco ser medido em graus, iremos dividir sua medida por $360^{0}$. O quociente inteiro será o número de voltas $\kappa$ e o resto será $\alpha $, a menor determinação positiva. Resumindo as duas formas de escrever a expressão geral dos arcos côngruos, temos:
$\gamma = 2\kappa\pi + \frac{n}{D}\pi$
$\gamma = \kappa\cdot{360^{0}} + \alpha$
No círculo trigonométrico, fica bem mais simples visualizar e entender as razões trigonométricas. Para cada ângulo, temos um arco correspondente. O vértice sempre está sobre o centro do círculo. As coordenadas do ponto que representa a extremidade do arco, no plano cartesiano, representam os catetos de um triângulo retângulo. O raio unitário é a hipotenusa. Observemos a figura.
O arco $\widehat{AB}$, subtende o ângulo central $\alpha$. Os segmentos $\overline{BB_x}$ e $\overline{B_yO}$ têm a mesma medida e esta é o cateto oposto ao ângulo central subtendido pelo arco. Os segmentos $\overline{BB_y}$ e $\overline{B_xO}$, têm a mesma medida e representam o cateto adjacente ao ângulo central. O segmento $\overline{OB}$ é o próprio raio unitário do círculo trigonométrico e, como vimos, é a hipotenusa do ângulo central subtendido pelo arco.
Nessa nova figura, o arco $\widehat{AB}$ tem a extremidade $B$ no segundo quadrante e portanto o ângulo central subtendido pelo arco está compreendido no intervalo ${\frac{\pi}{2}\leq\alpha\leq{\pi}}$. Podemos notar que a projeção da extremidade sobre o eixo $X$, é um valor negativo, ou seja, o cateto adjacente para cálculo das razões trigonométricas é ${\overline{B_xO}\lt0}$.
Podemos notar que para cada arco do primeiro quadrante, existe um outro, cuja extremidade fica no segundo quadrante. São os denominados ângulos suplementares. Eles têm a característica de possuírem o mesmo valor para o seno e valores simétricos para o cosseno. Isso pode ser observado nas figuras ao lado e a seguir. Vejamos a primeira figura. Percebe-se facilmente que os arcos $\widehat{AB}$ e $\widehat{AC}$, subtendem dois ângulos que, somados totalizam $(180^{0}) = {\pi} rad$. As projeções dos pontos $B$ e $C$ sobre os eixos cartesianos, são $\overline{BB_x} = \overline{CC_x}$ e $\overline{CC_y}=-\overline{BB_y}$, de modo que os valores do seno para ambos são iguais, enquanto os valores do cosseno são simétricos. Isso é sempre válido, em qualquer situação, para ângulos suplementares.
Se fizermos essa observação para todos os pares de ângulos suplementares que possamos imaginar, verificaremos que sempre ocorrerá a mesma coisa. Portanto a razão $sen\alpha$ para todos os ângulos compreendidos entre $(0^{0})\lt\alpha\lt(180^{0})$ é positiva. Já a razão $cos\alpha$ é positiva no intervalo entre $0^{0}\leq\alpha\lt(90^{0})$ e negativa para o intervalo entre $(90^{0})\lt\alpha\leq(180^{0})$.
Vejamos como se comportam as razões trigonométricas do terceiro quadrante, isto é, para ângulos no intervalo entre $(180^{0}\leq\alpha\leq(270^{0})$.
Um arco de origem $(0^{0})$ e extremidade no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, tem projeções ortogonais $\overline{B_{x}O}$ e $\overline{B_{y}O}$, ambas negativas e por tal motivo, tanto a razão “seno” quanto a razão “cosseno” é negativa.
Prolongando o segmento $\overline{BO}$ para o primeiro quadrante, determinamos o ângulo equivalente no primeiro quadrante. Esse procedimento denominamos redução ao primeiro quadrante. Isso nos permite memorizar mais facilmente os valores das razões trigonométricas, que são iguais em módulo. Os sinais veremos numa tabela resumo daqui a pouco.
Um arco $\widehat{AB}$, com extremidade no quarto quadrante, tem as projeções ortogonais com sinal positivo no eixo $X$ e negativo no eixo $Y$. Desse modo teremos a razão seno negativa e a razão cosseno positiva. O prolongando o raio $\overline{OB}$, até encontrar o círculo no segundo quadrante, no ponto $B’$,s podemos depois encontrar o correspondente no primeiro quadrante. O arco $\widehat{AB”}$ é simétrico do arco $\widehat{BA}$, implemento de $\widehat{AB}$
A seguir vamos construir uma tabela com os valores das principais razões trigonométricas em uma volta completa do círculo trigonométrico.
$ângulo$
sen
cos
tg
ctg
sec
csc
$0^{0}$
0
1
0
$\pm\infty$
1
$\infty$
$30^{0}=\frac{\pi}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\sqrt{3}}$
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
2
$45^{0}=\frac{\pi}{4}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
1
1
${\sqrt{2}}$
${\sqrt{2}}$
$60^{0}=\frac{\pi}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$
${\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
2
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$90^{0}=\frac{\pi}{2}$
1
0
$\pm\infty$
0
indet
1
$120^{0}=\frac{2\pi}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
${-\frac{1}{2}}$
$-{\sqrt{3}}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
-2
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$135^{0}=\frac{3\pi}{4}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
${-\frac{\sqrt{2}}{2}}$
-1
-1
${-\sqrt{2}}$
${\sqrt{2}}$
$150^{0}=\frac{5\pi}{6}$
$\frac{1}{2}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
${-\sqrt{3}}$
$\frac{-2\sqrt{3}}{3}$
2
$180^{0}={\pi}$
0
-1
0
${\pm\infty}$
-1
indet
$210^{0}=\frac{7\pi}{6}$
${-\frac{1}{2}}$
${-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\sqrt{3}}$
${-\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
-2
$225^{0}=\frac{5\pi}{4}$
${-\frac{\sqrt{2}}{3}}$
${-\frac{\sqrt{2}}{2}}$
1
1
${-{\sqrt{2}}}$
${-{\sqrt{2}}}$
$240^{0}=\frac{4\pi}{3}$
${-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
${-\frac{1}{2}}$
${\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
-2
${-\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
$270^{0}=\frac{3\pi}{2}$
-1
0
${\pm\infty}$
0
Indet
${-\infty}$
$300^{0}=\frac{5\pi}{3}$
${-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\frac{1}{2}$
${-\sqrt{3}}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
2
${-\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
$315^{0}=\frac{7\pi}{4}$
${-\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
-1
-1
${\sqrt{2}}$
${-{\sqrt{2}}}$
$330^{0}=\frac{11\pi}{6}$
${-\frac{1}{2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
${-{\sqrt{3}}}$
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
-2
Já podemos exercitar alguma coisa. Vejamos:
01. Um ângulo central, subtendido pelo arco $\widehat{AB}$, de origem no ponto “zero” dos arcos crescentes, mede $\alpha = \frac{27}{4}\cdot\pi\, rad$. Encontre a menor determinação desse ângulo e reduza-o ao primeiro quadrante.
Para resolver essa questão vamos obter a sua expressão na forma geral dos arcos, dividindo a medida por $2\pi$. O maior quociente inteiro nos fornece o valor do $\kappa$, isto é, o número de voltas completas. Cada volta, podemos denominar “ciclo”.
A menor determinação positiva desse arco será um arco de $135^{0}$ e equivale ao arco de $45^{0}$ no primeiro quadrante.
02. Um arco começa na origem dos arcos crescentes e sua extremidade está a $3540^{0}$ desse ponto. Determine: a)a expressão geral dos arcos côngruos; b) a menor determinação do arco; c) o equivalente no primeiro quadrante.
Começamos pela determinação do número de ciclos e da menor determinação positiva.
$\frac{3540^{0}}{360^{0}} = 9 ciclos + 320^{0}$
$\kappa = 9 ciclos$$\Rightarrow$ número de voltas completas.
$\alpha = 320^{0}$$\Rightarrow$ menor determinação positiva do arco.
O arco tem dois ciclos completos e a menor determinação positiva é $\alpha = \pi\, rad$
08. Um arco tem a medida de $\gamma = \frac{15\pi}{4}\, rad$. Obtenha a sua menor determinação positiva e escreva a expressão geral dos seus arcos côngruos.
$\alpha = \frac{7}{4}\cdot\pi\, rad$$\rightarrow$ menor determinação positiva do arco.
09. Verifique se os ângulos $\gamma = \frac{25\pi}{3}\, rad$ e $\beta = \frac{37\pi}{3}\, rad$ são côngruos. Escreva a expressão geral dos arcos se forem côngruos.
Os arcos são côngruos e a expressão geral dos mesmos é:
$\zeta = 2\kappa\pi + 1\cdot\pi\, $
Exercícios para resolver.
01. (FEI) Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco de medida $\frac{38}{3}\cdot\pi\, rad $
02. (FEI) Quantos são os valores de m compreendidos entre 30 e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas $(4m+10).180^{0}$ e $(3m-2).180^{0}$ ?
03. Sendo a medida de um arco 5845^{0}. Determine sua menor determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos.
04. Um arco mede ${43}{4}\pi\, rad$. Qual é a sua menor determinação positiva? Escreva a expressão geral dos arcos côngruos.
05. Dois arcos medem ${47}{3}\pi\, rad$ e ${33}{5}\pi\, rad$. Determina as menores determinações desses arcos, verifique se são côngruos e escreva as expressões gerais dos arcos côngruos.
Havendo dúvidas, peça ajuda por meio de um dos canais abaixo listados.
Acabamos de estudar os polígonos regulares e neles foi possível observar que, na medida em que aumenta o número de lados, a forma do polígono torna-se mais arredondada. Inclusive a circunferência inscrita e circunscrita têm a medida de seus raios cada vez mais próximos um do outro. Por essa razão, quando o número de lados tende para o infinito, passamos a ter uma figura denominada circunferência.
Para simplificar, definimos a circunferência como sendo a figura $\lambda(O,R)$ onde o ponto $O$ é o centro e $R$ é a medida do raio. Dessa forma a circunferência é uma linha poligonal fechada, cujos pontos estão todos a uma distância $R$ do ponto $O$.
Os pontos A e B, estão ambos situados a distância $R$ do centro $O$. Por isso dizemos que eles fazem parte da circunferência.
$d_{OA} = R \land d_{OB} = R$$\Leftrightarrow$$d_{OA} = d_{OB}$
Já os pontos $C \land D$, não pertencem à circunferência, pois:
$d_{OC} \lt R$$\Rightarrow$ ponto interior.
$d_{OD}\gt R$$\Rightarrow$ ponto exterior.
Círculo
É frequente confundirmos círculo e circunferência. Como acabamos de ver, a circunferência é a linha poligonal fechada, ou seja, é o perímetro da figura plana, que denominamos círculo.
Assim podemos afirmar que o círculo é uma área plana, limitada por uma circunferência de mesmo raio.
Observemos a figura ao lado. É um círculo, pois tem o perímetro que é uma circunferência e todos os pontos interiores fazem parte da figura.
Comprimento da circunferência:
Houve muitos matemáticos que se empenharam em determinar uma forma de calcular o comprimento da linha perimetral do círculo, ou seja, a sua circunferência. Após muitas tentativas, chegou-se a uma aproximação aceita universalmente, tendo inclusive determinados os algarismos decimais em muitos milhares. O resultado é um número irracional $\pi$, que resulta da divisão do comprimento da circunferência pela medida do raio. As maiores dificuldades residem na determinação, com o máximo de precisão possível dessas medidas.
$C = 2\cdot\pi\cdot R$
Diâmetro
É o dobro da medida do raio. É em verdade uma corda que passa pelo centro. Por isso:
$D = 2\cdot R$
$C = D\cdot\pi$
Área do círculo
Para determinar a área de um círculo usamos a expressão: $A = \pi\cdot R^2$
Um diâmetro divide o círculo ao meio. Cada metade denominamos semi-círculo. Veja a parte em verde na figura que segue.
Qualquer segmento de reta traçado entre dois pontos da circunferência, sem passar pelo centro, é uma corda. Como podemos ver na figura ao lado. Os pontos compreendidos entre os pontos $P$ e $Q$ da corda, formam um arco de círculo. Do mesmo modo também os pontos da circunferência que fazem parte do semi-círculo, são um arco de círculo. Neste caso trata-se de meia circunferência.
Setor circular
Se você já cortou uma “pizza” circular, retirando uma “fatia”, essa mesma é um exemplo de setor circular. Veja na figura ao lado. Podemos calcular a área do setor circular, bastando que tenhamos a medida do ângulo formado pelos lados do setor.
Digamos que a fatia retirada tenha a medida de um ângulo de $60^{0}$ ou seja $\frac{\pi}{3}$.
Se dividirmos a área do círculo em partes iguais, cada uma a $\pi\, rad$ e multiplicarmos pelo ângulo da fatia, teremos a área da mesma.
Ficaria faltando apenas a medida do raio do círculo.
Ângulo central é o ângulo de um setor circular. O vértice fica no centro do círculo.
Vale lembrar que o resto do círculo também será um setor circular.
Coroa circular
Forma-se uma coroa circular se cobrirmos um círculo maior, por um outro, pouco menor que o primeiro, de modo que os centros fiquem coincidentes. Ficará aparecendo apenas uma estreita faixa do primeiro. É essa faixa que denominamos coroa circular.
A área da coroa circular é a diferença entre as áreas dos dois círculos sobrepostos, o que pode ser resumido assim:
01. A respeito da definição básica das circunferências e de suas propriedades, assinale a alternativa correta.
( )a) uma circunferência é uma região plana limitada por um círculo;
( )b) uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o centro é sempre menor do que a constante r;
( )c) uma circunferência possui apenas dois raios e a soma desses dois elementos é igual ao diâmetro;
( )d) uma circunferência de centro O e raio r é um conjunto de todos os pontos cuja distância até O é igual a r;
( )e) círculo é a região do plano limitada por um diâmetro.
02. Dada uma circunferência de centro O e raio r, assinale a alternativa correta:
( )a) dado um ponto A, fora da circunferência, o segmento OA é menor ou igual a r;
( )b) sabendo que $\overline{OA}$ tem comprimento menor do que $r$, pode-se afirmar que A pertence ao círculo limitado por essa circunferência;
( )c) sabendo que $\overline{OA}$ tem comprimento maior do que $r$, pode-se afirmar que A pertence à circunferência;
( )d) o diâmetro do círculo limitado por essa circunferência é igual a $3r$;
( )e) para que o ponto A pertença à circunferência, basta que a distância $\overline{AO}$ seja menor do que $r$.
03. Determinar o diâmetro e a área de um círculo (respectivamente), cujo perímetro mede 36π cm.
( )a) $63,0\, cm \land 300\pi\,cm^{2}$;
( )b) $36,0\, cm \land 324\pi\,cm^{2}$;
( )c) $50,0\, cm \land 324\pi\, cm^{2}$;
( )d) $36,0\, cm \land 300\pi\, cm^{2}$;
( )e) $43,0\, cm \land 324\pi\,cm^{2}$.
04. A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede $D =50\, cm$. Determine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. Adotar$\pi = 3,14$ e supor que a roda não deslize durante a rolagem.
( )a) 2,82 km;
( )b) 3 km;
( )c) 3,6 km;
( )d) 2,75 km;
( )e) 2,91 km.
05. Um morador possui em sua casa um espaço, usado para o cultivo de algumas plantas. O formato desse canteiro é de um setor circular de raio $r =10 m$. Sabendo que o ângulo central desse setor circular é de $\alpha = 60^{0}$, qual é a área do espaço usado para plantio na casa desse jardineiro?
( )a) $52,33\, m^{2}$;
( )b) $10,47\, m^{2}$;
( )c) $31,4\, m^{2}$;
( )d) $20,94\, m^{2}$;
( )e) $100\, m^{2}$.
06. Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de$D= 0,5 m$, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:
( )a) 93 km;
( )b) 196 km;
( )c) 366 km;
( )d) 592 km;
( )e) 291 km.
07. O ponteiro dos minutos de um relógio mede$r = 4\, cm$. Supondo $\pi = 3$, a distância, em centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é:
( )a) 15;
( )b) 12;
( )c) 20;
( )d) 25;
( )e) 10.
08. Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia?
( )a) 122,8 cm;
( )b) 102,4 cm;
( )c) 92,8 cm;
( )d) 50 cm;
( )e) 32,4 cm.
09. Os raios das rodas traseiras de um trator medem $r=75 cm$ e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras mede:
( )a) 20 cm;
( )b) 30 cm;
( )c) 25 cm;
( )d) 18 cm;
( )e) 24 cm.
10. Qual o perímetro de uma circunferência cujo raio mede 3 cm?
Aplicando a fórmula:
$C={2\cdot\pi\cdot r}$
$C={2\cdot{3,14}\cdot 3}
$C=18,84\, cm$
11. (Enem–2010). Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a
( )a) $12\, cm$;
( )b) $12\sqrt{2}\, cm$;
( )c)$24\sqrt{2}\, cm$;
( )d) $6{\left(1 + \sqrt{2}\right)}\, cm$
( )e)$ 12\left({1 +\sqrt{2}}\right)\, cm$
Se ficarem dúvidas, peça ajuda pelos canais abaixo listados. Não guarde suas dificuldades para si. Compartilhe que lhe ajudarei.
Em postagens anteriores, abordamos todos os tipos de polígonos, até os de sete lados.
O que notamos é que os polígonos que apresentam cálculos em si mais complexos são os com número ímpar de lados, especialmente os que correspondem aos números primos. Mas podemos notar que há alguns passos que se tornam repetitivos. As dificuldades ficam por conta das aproximações decimais, dos ângulos com medidas não exatas e as razões trigonométricas.
Vejamos o caso do Octógono.
A divisão do círculo em oito partes, resulta em um ângulo central de $\alpha = 45^{0}$. Os lados formarão ângulos internos que suplementam o ângulo central.
$\hat{i}_{8} = 180^{0} – 45^{0} = 135^{0}$
Desse modo: $\hat{S}_{i_{8}}= {8\cdot{135}^{0}} = 1080^{0}$
Da mesma forma podemos calcular o número de diagonais da figura:
02. Determinar o ângulo central, a medida do lado, do apótema, área de cada triângulo e a área do polígono de 15(quinze) lados inscrito em uma circunferência de raio $R=20,0\, cm$.
Ângulo central:
$\hat{c} = {{360}^{0}}{15} = {24}^{0}$
O ângulo interno:
$\hat{i} = {{180}^{0} – {24}^{0} = {156}^{0}$
Isso indica que o ângulo da base do triângulo será:
01. Um dodecágono está inscrito em uma circunferência, cujo raio mede $R= 16,0\,m$. Determine o apótema, o lado do polígono e as áreas de cada triângulo, bem como do polígono todo.
02. O apótema de um polígono regular de 10 lados mede $a = 25,0\, cm$. Determine a medida do raio da circunferência, o lado do polígono, a área de um triângulo e a area total do polígono.
03. Se um polígono de 18 lados tem o lado medindo $l = 20,0\, cm$. Determine o apótema, o raio da circunferência circunscrita, o ângulo interno, a soma dos ângulos internos, a área do polígono.
04. Uma circunferência tem diâmetro $D=60,0 cm$. Inscrevendo-se nela um polígono de 30(trinta) lados, pede-se: a)a medida do ângulo central; b) a medida dos ângulos internos e a soma dos mesmos; c)o número de diagonais do polígono; d)a medida do apótema e do lado do polígono; e)a área de um triângulo e a área total do polígono.
Havendo dúvidas, peça ajuda por meio de um dos canais que seguem listados abaixo.
01. Se um triângulo isósceles tem o ângulo oposto à base, medindo $\alpha = 60^{0}$, determine o seno e o cosseno do ângulo resultante da justaposição de dois desses triângulos, como mostra a figura.
Sendo um triângulo isósceles e um de seus ângulos mede $\alpha = 60^{0}$, é fácil deduzir que se trata de um triângulo equilátero e os outros dois ângulos têm a mesma medida. Assim, na justaposição como mostra a figura, o que está sendo pedido é $sen{(\alpha + \alpha)}$ e $cos{(\alpha + \alpha)}$. Em outras palavras temos um ângulo duplo.
Indo até a tabela das igualdades ou relações trigonométricas, encontraremos:
04. Dois triângulos são colocados lado a lado, de modo a fazer coincidir um de seus vértices da base. O primeiro é equilátero e o segundo isósceles, onde o ângulo do vértice superior mede $45^{0}$. Determine: a) o seno do ângulo entre os lados dos dois triângulos $\color{red}{\alpha}$; b) o cosseno da soma do ângulo interno do equilátero e o lado do isósceles$\color{red}{(\alpha + \gamma)}$; c) o seno do ângulo formado entre a base do isósceles e o lado do equilátero$\color{red}{(\alpha + \beta)}$.
Os dois triângulos formam o ângulo $\alpha$. Sendo um deles equilátero, seus ângulos são iguais e medem $(60^{0})$. O outro é isósceles e se um de seus ângulos agudos mede $(45^{0})$, não resta dúvida sobre a medida do outro ângulo, que é igual a este. A figura mostra os triângulos colocados de modo que os vértices coincidem. Os ângulos somados totalizam $(180^{0})$, isto é, um ângulo raso.
15. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que o $ cos\alpha={4\over5}$ e $0^{0}< \alpha<90^{0}$, isto é, pertence ao primeiro quadrante.
Se persistirem algumas dúvidas, não hesite em pedir ajuda. Estou sempre pronto para isso. Se momentaneamente não puder atender, farei isso tão logo seja possível. Obrigado pela consulta.
