Categoria: Conjuntos

30 de junho de 201825 de agosto de 2022

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067.3 – Matemática, logaritmos, divisão de logaritmos de mesma base.

Operações com logaritmos

Divisão de logaritmos

Logaritmos de mesma base

Desde que estudamos aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Isso nos permite supor que com os logaritmos acontece a mesma coisa. Vamos confirmar isso.

${log_a{{b}\over{c}} = x} <=> {(a^x)} = {{b}\over {c}} $

Não esquecendo que devemos ter:

${a >0}$, ${a ≠ 1}$, ${b>0}$ e ${c > 0}$

Usando números

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${log_3{{243}\over{27}} = log_3{(3^5)\over(3^3)}}$

${log_3{3^{(5 – 3)} = log_3{3^2} = 2}}$

“O quociente de dois logaritmos de mesma base, é igual à diferença entre os logaritmos correspondentes.”

Obs.: Nunca se pode esquecer que a matemática é um grande edifício e cada pequena parte, é como se fosse um tijolo. Na multiplicação e divisão de potências de mesma base, valem as mesmas regras. Soma e subtração dos expoentes. Aqui são a soma e diferença dos logaritmos, mas que são os expoentes da base que reproduz o logaritmando.

Vejamos como se aplica isso.

a)${log_2{{64}\over{16}}}$

${log_2{{2^6}\over{2^4}} = {log_2{2^6} – log_2{2^4}}}$

${log_2{{64}\over{16}} = 6 – 4 = 2}$

b)$ {log_m{{a}\over {b}}} = {{log_m{a}} – {log_m{b}}}$

c)${log_5{{3125}\over{125}}} = {log_5{{5^5} – log_5{5^3}}}$

${log_5{{3125}\over{125}} = 5 – 3 = 2}$

Efetue as divisões de logaritmos de mesma base a seguir.

a)${log_7{{343}\over{7}}}$

b)${log_5{{625}\over{15625}}}$

c)${log_2{{512}\over{64}}}$

d)${log_{11}{{161051}\over{121}}}$

e)${log_y{{p}\over{q}}}$

f)${log_h{{f}\over{g}}}$

g)${log_{13}{{371293}\over{2197}}}$

Bons exercícios, vá com calma. Se sentir dificuldades, peça ajuda, que estarei pronto para esclarecer.

Curitiba, 30 de junho de 2018

Décio Adams

7 de janeiro de 20182 de julho de 2020

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01.062 – Matemática, Álgebra. Inequações do 1º grau – Exercícios resolvidos.

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}} $

Observamos que há termos com a variável $x$ tanto no primeiro como no segundo membro da inequação. Igualmente termos independentes da variável. Para obtermos a solução precisamos deixar a variável no primeiro membro e os termos independentes no segundo. Isso fazemos adicionando os simétricos em ambos os lados. Assim:

\[{4x – 7} \lt {2x + 1} \]

\[ \underbrace{\color{blue}{( 4x – 2x)}} +\underbrace{\color{maroon}{ (- 7 + 7) }} \lt \underbrace{\color{blue}{ (2x – 2x)}} + \underbrace{\color{maroon}{( + 1 + 7) }} \]

\[2x + 0 \lt 0 + 8 \] \[{ 2x } \lt { + 8} \]

Para concluir, vamos dividir ambos os membros pelo fator $2$, o que nos deixará a variável $x$ isolada no primeiro membro da inequação. Não há necessidade de mudança de sentido, pois ambos os termos são positivos.

\[ \frac{2x}{2} \lt \frac{+8}{2} \]

\[ x \lt 4 \]

Portanto

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy} {V} = \color{navy}{\{ x\in R | x \lt +4 \}}}\]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 11 + 3x \gt – 8}} $

Vamos isolar $x$ no primeiro membro, adicionando $ – 11$ aos dois membros da inequação.

\[\overbrace{\color{maroon}{ (11 – 11)}} + 3x \gt \overbrace{\color{maroon}{ (-8 -11)}} \] \[ 0 + 3x \gt – 19 \] \[ {3x} \gt {- 19} \]

Dividindo ambos os membros por $3$, iremos isolar $x$ no primeiro membro.

\[ \frac{ (3x) }{ 3 } \gt \frac { (-19) }{ 3 } \] \[x \gt {(-19/3)} \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy} { V = \left\{ x \in R | x \gt \left(-\frac {19}{3}\right)\right \}}} \]

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$ \bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{- 6 + 2x \ge 3x + 1}}$

Temos que adicionar $\color{brown}{+6}$ e $\color{brown}{-3x}$ a ambos os membros da inequação, para isolar a variável $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.

\[ \underbrace{\color{maroon}{ (- 6 + 6)}} +\underbrace{\color{blue}{(2x – 3x)}} \ge \underbrace{\color{blue}{(3x – 3x)}} + \underbrace{\color{maroon}{(1 +6)}}\]

\[ 0 – x \ge 0 + 7 \] \[ {-x} \ge 7 \]

Multiplicamos por $\color{brown}{ -1}$ para deixar $\color{brown}{x}$ com sinal positivo, invertendo dessa maneira a desigualdade.

\[{-x}\cdot {(-1)} \ge {+7}\cdot {(-1)}\] \[ x \le (-7) \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{ x \in R | x \le (-7) \}}}\]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x}} $

Para trazermos a variável para o primeiro membro, adicionamos seu simétrico $\color{brown}{3x}$, bem como o simétrico $\color{brown}{-6}$ do termo independente. Obtemos assim:

\[ \underbrace{\color{maroon}{(6 – 6)}} + 3x \le \underbrace{\color{maroon}{ (5 – 6)}} + \underbrace{\color{blue}{(-3x + 3x)}} \]

\[ 0 + 3x \le -1 + 0 \] \[ 3x \le -1 \]

Dividindo por $\color{brown}{3}$ ambos os membros, temos:

\[ \frac{3x}{3} \le \frac{(-1)}{3} \]

\[ x \le \left(-{\frac{1}{3}}\right) \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({-\frac{1}{3}}\right) \right\}}} \]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y}} $

Adicionando a ambos os membros da inequação os simétricos $\color{brown}{ -4}$ e $\color{brown}{+y}$, teremos:

\[ \underbrace{\color{blue}{(3y + y) }} + \underbrace{\color{maroon}{(4 – 4)}} \le \underbrace{\color{maroon}{(7 – 4)}} + \underbrace{\color{blue}{(-y + y)}} \]

\[ 4y + 0 \le 3 + 0 \]

\[ 4y \le 3 \]

Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{4}$, teremos:

\[ \frac{4y}{4} \le \frac{3}{4} \]

\[ y \le \left(\frac{3}{4}\right) \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({\frac{3}{4}}\right)\right\}}}\]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 15 – 4x \lt 11 + x}}$

Começamos por adicionar aos dois membros os simétricos $\color{brown}{-x}$ e $\color{brown}{-15}$.

\[\underbrace{\color{maroon}{(15 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(-4x – x)}} \lt \underbrace{\color{maroon}{(11 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(x – x)}} \]

\[ 0 – 5x \lt -4 + 0 \] \[ -5x \lt -4 \]

Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{-5}$, isolamos $\color{brown}{x}$ e invertemos a desigualdade de $\color{brown}{\lt}$ para $\color{brown}{\gt}$.

\[\frac{-5x}{-5} \lt \frac{-4}{-5} \] \[ x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \right\}}}\]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 6x + 5\gt 4x – 7}}$

Para isolarmos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro, temos que adicionar aos dois os simétricos de $\color{brown}{4x}$ e $\color{brown}{5}$, ficando assim:

\[\underbrace{\color{blue}{6x -4x}} + \underbrace{\color{maron}{ 5 – 5}} \gt \underbrace{\color{blue}{4x – 4x}} + \underbrace{\color{maroon}{(-7 – 5)}} \]

\[ 2x + 0 \gt 0 – 12 \] \[ 2x \gt -12 \]

Dividimos por $\color{brown}{2}$ ambos os membros e teremos:

\[ \frac{2x}{2} \gt \frac{-12}{2} \] \[ x \gt -6 \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \gt – 6 \}}} \]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 2 + 7x \gt 6x + 4}} $

Adicionando $\color{brown}{-2}$ e $\color{brown}{-6x}$ aos dois membros isolamos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.

\[ \underbrace{\color{maroon}{ 2 – 2}} + \underbrace{\color{blue}{7x – 6x}} \gt \underbrace{\color{blue}{6x – 6x}} + \underbrace{\color{maroon}{4 – 2}} \]

\[ 0 + x \gt 0 + 2 \]

\[ x \gt 2 \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R| x \gt 2\}}} \]

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Curitiba, 02 de junho de 2016

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Republicação)

Décio Adams

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7 de janeiro de 20181 de julho de 2020

01.061 – Matemática, Álgebra. Inequação do primeiro grau.

Inequação! Que é isso?

Lembremos que uma equação é uma igualdade, entre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:

“Menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\lt}} $
“maior do que” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\gt}} $
“menor ou igual a” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\le}} $
“maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{ \ge}} $
“Diferente” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\neq}} $
“Não menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\lt}} $
“Não maior do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\gt}} $
“Não menor ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\le}}$
“Não maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\not\ge}}$

Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x -3 \lt 0}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}}$
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
A determinação do conjunto verdade de uma inequação, é feita de modo semelhante ao procedimento adotado nas equações, com algumas peculiaridades próprias.

Vamos pegar como exemplo a primeira das quatro citadas acima:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x – 3\lt 0}}$.
O objetivo é obter uma desigualdade que indique onde estão localizados os valores que servem para substituir x nessa inequação. Temos então que deixar o x isolado no primeiro membro.
\[ 2x – 3 + 3 \lt 0 + 3 \] \[2x \lt 3 \] \[ {{2x}\over 2} \lt {3\over 2} \] \[ x \lt {3\over 2} \]
Isso nos mostra que todos os números reais, menores do que o número 3/2 servem para x, isto é, transformam a expressão em uma sentença verdadeira. Logo: \[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V =\left\{ x\in R | {x\lt {3\over 2}}\right\}}} \]
Representando o conjunto dos números reais na Reta Real, o conjunto verdade dessa inequação será formado por todos os números associados aos pontos dessa reta, à esquerda do ponto que corresponde ao número 3/2.

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A vez da terceira:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}} $
Aplicando o mesmo procedimento, ficamos com:
\[ 8 – 8 – x \ge 5 – 8 \] \[ -x \ge -3 \]
Observe que o os dois membros da inequação são precedidos do sinal $-$, o que nos indica que para melhor interpretação, devemos multiplicar a expressão toda $-1$. Lembrando da reta numérica, vamos observar que a posição dos números negativos, fica invertida em relação ao zero$(0)$, isto é, quanto maior for o módulo, mais à esquerda ele se situa. A consequência disso é que, a multiplicação de uma inequação por $-1$, inverte o sentido da desigualdade, ou seja se era $\le$, passa para $\ge$ e vice-versa. Vamos ver como fica nosso exemplo.
\[ {(-x \ge – 3)}\cdot{(-1)} \] \[ x\le 3 \]
O conjunto verdade dessa inequação será pois:
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{x\in R|{x\le 3}\}}} \]
Neste caso o número $3$, faz parte do conjunto verdade. Ficam excluídos apenas os números à direita do $3$. Na Reta Real fica:

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O último exemplo:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
Aplicando o raciocínio par isolar a variável, temos:
\[ 4 – 4 + x \le 2x – 4 \] \[ x – 2x \le 2x – 2x – 4 \] \[ -x \le -4 \]
Novamente é preciso multiplicar por $-1$, e inverter o sinal da desigualdade.
\[{(-x \le -4)}\cdot{(-1)} \] \[ x \ge 4 \]
O conjunto verdade será composto por todos os números reais, desde o $4$ inclusive, até infinito$\infty$.
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{x\in R|{x\ge 4}\}}} \]
Na Reta Real, teremos:

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O final da resolução de qualquer inequação de primeiro grau será sempre a variável, seguida de um sinal de desigualdade e depois um número. Se a variável tiver sinal negativo, devemos multiplicar por $\color{Brown}{-1}$ e inverter o sinal da desigualdade. Isso não pode ser esquecido.

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.

$\color{navy}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}$
$\color{navy}{ 11 + 3x \gt – 8} $
$\color{navy}{ – 6 + 2x \ge 3x + 1}$
$\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x} $
$\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y} $
$\color{navy}{15 – 4x \lt 11 +x}$
$\color{navy}{ 6x + 5\gt 4x – 7}$
$\color{navy}{ 2 + 7x \ge 6x + 4} $

Curitiba, 21 de maio de 2016.

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Revisto e republicado)

Décio Adams